STIELTJES A H ERMITE

Leyde, 4 aug. iS83.

Je hasarde à vous présenter le développement plus complet de la remarque que je vous ai déjà communiquée ('). J'ai étendu ma démonstration au cas que la fonction ^J (x) dans l'intégrale

f{x)(J{x)dx

n'est assujettie qu'à la restriction d'être continue et de ne présenter qu'un nombre fini de maxima et mininia.

Ensuite j'ai ajouté quelques conséquences concernant le développement en fraction continue :

On peut affirmer queXo, )m, ^^2' • • • sont tous positifs et que a„, ai, ao, . . . sont tous compris entre a et b.

Je ne sais si cela était connu, mais je ne le trouve pas dans le Mémoire de M. Heine {Monatsber. der Berl. Akad., i866). M. Heine, dans son Ti^aité des fonctions spliéi-iques {\..\^ p. 20G. •i" édition), cite encore des travaux de MM. Clii-istoffel et Tcliebjchef sans donner une indication précise où on peut les trouver. Je n'ai pu consulter que le Mémoire de Christoffel sur les quadratures mécaniques (^Borcliardt, 55), que vous citez aussi dans votre Cours de l'Ecole Polytechnique, et le Mémoire de M. Tchebychef dans le Journal de Liouville, 'i^ série, t. HI.

Je suis. Monsieur, avec le plus profond respect, votre bien dévoué.

(') Nous n'avons pas la trace de cette précédente Communication. La présente lettre accompagnait évidemment l'envoi d'une Note insérée aux Comptes rendus des I" et 8 octobre sous le titre : Sur l'évaluation approchée des inté<^rales. (Note de M. Stieltjcs, présentée par M. Hermile.)

l4 COURESPONDAISCK d'hI'RMITE ET DE SllELUES.