Il ERMITE A STIELTJES

Kouras ( Charcnle-Iuférieurc), 7 août i8S3. Monsieur,

Je serai absent de Paris et en voyage pendant la durée des vacances, c'est-à-dire jusque dans le courant du mois d'octobre, de sorte qu'il ne me sera point possible de présenter à l'Académie, avant cette époque, le travail extrêmement remarquable que vous m'avez fait Thonneur de m'adresser. Les propriétés que vous avez découvertes des polynômes P„(^) et Q/, (.r) m'ont vivement intéressé, et les conséquences que vous en avez déduites, sur les quantités A et a, ajoutent des résultats tout nouveaux à la belle théorie de développement en fraction continue de l'intégrale

dz = o.

Je vous félicite, Monsieur, bien vivement du succès de vos efforts, et je me promets de mettre votre beau travail à profit l'année prochaine pour mes leçons de la Sorbonne. Il me rappelle une remarque que j'ai faite autrefois et que je prends la liberté de vous communiquer, en y joignant une question à laquelle vous serez, mieux que moi, en mesure de répondre. Soit

D^[{x — ay^+^ix — h )''+?] ={cc ~ a)^{.r — b )^ ll(>),

de sorte que n(x) soit un polynôme entier de degré n, et supposons que 0L-{-[i soit un nombre entier A. On pourra écrire, en désignant par 'f{x) la partie entière,

(X — ay^+'-^ {ce — by^^^ = ^{x) -^ ^ "^^2 ^••• puis

où <ï>(j?) est un polynôme de degré n + /.". Nous avons donc ainsi :

(x-a)Hx-b)?n(x)=^l>(.r)+-^^ + Jl--^...

M ( x) de sorte que la fraction ., / e^'t hi /i"""^ réduite du développement

LETTRE 14. iS

en fraction continue de la quantité [x — a)'^{x — b)'^. Gela étant, je demande si, en supposant a et b réels, l'équation U(^x) ^= o a

ses racines réelles. Pour y. = , 3 = 5 on se trouve dans le

cas de vos théorèmes, mais pour d'autres valeurs, en supposant par exemple A" = — i, le polynôme ^(x) aurait-il encoix les propriétés de la dérivée du dénominateur $(^)?

Permettez-moi, puisque vous êtes nn ami de l'Arithmétique, de vous dire un mot d'une recherche qui m'occupe en ce moment. En supposant n ^ 5 mod 8, et désignant pary(/i) le nombre des décompositions de n en cinq carrés impairs dont les racines sont positives, j'obtiens la relation suivante où E(.r) désigne l'entier contenu dans x :

\/n — /l an' -+

le signe 1] s'appliquant à tous les entiers impairs a et a', tels qu'on ait /i >■ 4 <^«'- Soit ensuite E|(^) une nouvelle fonction égale à zéro ou à l'unité,

Ei{x)=e(x-\ — )— E(^) ou bien E{ix) — 2E(^),

En désignant par F (n) le nombre total des décompositions de n en cinq carrés, on a

-H 1 6 ^ [a E (y/« — aa' ) — 2 ( — 1 /' c E {^11 — 4 ce' )] ■

Dans cette formule a et a' sont tous les entiers impairs, c, c' les entiers quelconques tels que n >> aa', n >- 4 ce'.

Les formules analogues pour trois carrés sont plus simples; j'ai vérifié le premier théorème pour n = 21, mais je me trompe si facilement dans les calculs nuuiériques qu'à mon grand regret je ne me suis pas risqué à aller plus loin.

En vous renouvelant. Monsieur, mes félicitations et mes remercîments pour votre Communication, veuillez recevoir l'assurance de mon meilleur souvenir et de mes sentiments tout dévoués.

l6 C0UUES1MI.M)ANCE DIIEKMITE F.T DE STIELTJES.