STŒLTJES A HERMITE

Toulouse, 2j mars i88(j.

Cher Monsieur.

La vraie démonstration de mes propositions concernant la décomposition en carrés de certaines formes quadratiques est si excessivement simple, (ju'il est vraiment humiliant de n'y a^oir pas songé tout de suite.

38 'i CORKESPONDANCE d'hERMITK El DE STIELÏJES.

•le considrre les dérivées d'ordre pair de /'(./) = séc j:*, r- = tang-x / = sécx(ao),

' yC') = sécx{a.î-ir- b^z -h CîZ-), /■(«) = séca;( «3 -t- b-i z -i-- T:; ;:- -4- (•/■{ ^•■' ),

( ■>. ) sec J^ = 7 •

D'après le lliéorèine de Taylor

(Kl hirii, (Ml suhstiliiant les \aletirs (i), (:{) - [séc(j7 -h /j) + sec C.r — A )|

sec:r \

-f- rt.. -

z séca\

z- séCvT 1

Mais

I «éc(.r -T- /i) + séci'j;' — /<)]

séca" iéc.h séc./' «éc A

I — tang2^ lang'^A i — ;taiig'-A

= sécj'- Séc/j(l -f- â; tang2/, -i- -i l;,|io'. /, ;-;;:! tim-'' A - ..),

(lOri. par e()mj)araison aNec (.n,

^ec/i = «0 -f- (1 1 -i- fi-, -T- . . ,

, , , , , b' , II* scc/t tanir- /< = h, h «o

scc/t laiig'A = c'o -I- . .

D a|)rrs cela, en se rappelant (jiie :; t^ lani;-./'. on Noil <pi<;

LETTRE 18i. 385

second membre de (3) peut s'écrire

tandis que le premier membre est

-^ —f [(x^hY'^-^{x-hf"\,

soil i-\-/x=nj en comparant de part et d'autre le coefficient de x^^/i'-^', on trouve immédiatement

( 4 ) «/J = «/■ «A + bi b/^- -+- Ci ca- -i- . . .

et, en particulier,

Le théorème sur les dérivées d'ordre impair s'obtient par la considération de

- [séc(a? -h h) — séc(.r — h)]

et, avec de légères modificatioias qui se présentent d'elles-mêmes, le même raisonnement s'applique aux autres cas des fonctions

tanga", snx, cna^, dna^.

Je viens de voir que, dans le Tome 79 du Journal de Crelle, M. Stern, dans un Mémoire sur les nombres eulériens, a développé aussi les dérivées de sécr, ( )> en introduisant

/ gx g— x\2

des polynômes en tang-^, f — ^ 1 • Il a considéré les mêmes

nombres «/, 6,-, c/, ... que moi, mais les relations (4) et (5) lui ont

386 CORRESPONDANCE DUEliMlTi; ET DE STIELTJES.

échappé. 11 se borne à discuter les relations entre les «,-, bi, Ci, . . . qui résultent du calcul de proche en proche des dérivées, d'où il tire diverses consécpiences relatives aux nombres eulériens, etc.

Dans le Tome 88 du même journal, il considère aussi les dérivées de lang^; mais ici, au lieu d'introduire des polynômes en tang-.r, il introduit des polynômes en sin-o;. C'est là, je suppose, la cause que les résultats qu'il obtient ne présentent pas une analogie complète avec ceux de son premier Mémoire. S'il avait aussi introduit ici des polynômes en tang-.r, je ne doute pas que l'analogie n'eût été complète.

Mais, réfléchissant sur l'application aux fonctions elliptiques, je me suis aperçu que, si, dans mon cas, on emploie le théorème de l'addition, on pourrait, par une légère modification, déduire ce théorème par des considérations analogues.

Cependant, après avoir ainsi retrouvé le théorème de l'addition, j'ai vu que cette démonstration est exactement celle qu'Eisenstein a donnée (dans ses Mémoires réunis, avec une Préface de Gauss, p. i55-i58).

Au lieu de recourir à la formule d'Euler, j'ai eu l'idée, pour voir avec quelle approximation on a

"^ fj^.m fjh'- — I (2 3" -H I)2'"çri2i-l-lj- ^37^

de me servir d une formule d'Abel [CSiinfes, t. I, p. 38),

/•" , I , /•" dt [ oi a -h fi) — o(a — fi)~\

La démonstration d'Abel n'a pas de rigueur, mais, récemment, j'ai retrouvé cette formule et vu qu'elle est applicable sous certaines conditions. Ces conditions, du reste, je ne me les rappelle pas distinctement en ce moment.

Dans le premier cas, il j aurait égalité absolue, mais, dans le second cas, on est amené à une intégrale qui n'a pas de sens. Tout cela me parait indiquer que le problème de trouver la valeur

LKTTRE 185. 887

asjmpto tique de

est. extrêmement difficile. Dès que j'aurai un peu de loisir, je me propose de voir si, en attribuant à q une valeur fixe, cette expression ne change pas de signe en donnant à m des valeurs de plus en plus grandes. Gela ne m'étonnerait pas, et serait une nouvelle preuve de la difficulté de cette question.

Je vous renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mon entier dévouement.