IlERMITE A STIELTJES

Paris, 2j mars 1889.

Mon cher Ami,

M. Darboux, à qui j'ai communiqué vos charmantes formules de développements en fractions continues, en a été aussi enchanté (uie moi; nous vous prions tous deux de vouloir nous fournir la liste complète avec les indications des recueils, de toutes vos publications mathématiques, nous aurons à en faire usage. M. Bertrand, j'ai le plaisir de vous le dire, n'a fait aucune difficulté à l'insertion dans les Comptes rendus de votre dernière Note. Vos remarques sont excellentes et désolantes, je me les étais faites déjà en grande partie et, dans ce que je vais écrire, je n'aurai garde de dissimuler tout ce qu'il j a tie hasardeux et d'obscur à prendre pour valeur approchée de la somme

lintéiirale

f {■>..v-h\y^"'q^--''-^^i'- dx.

(hiel dommage, car le dé\eloppement suivant les puissances descendantes de m que vous ramenez au calcul de

s'ul)lient très facilement sans recourir au procédé de Laplace. Ou a, en effet,

/ .r"'-' e--'^ dx ~ w"' e-"> 1 -, \ -, -H . • • 1 •

Mai> voici de bien autres difficultés à l'égard des fonctions 0

LETTKE I8'l. 383

à deux variables. Il s'agit d'obtenir la \aleiir asjmptotique pour ni et n très grands de la série double

si^a^m fjî,i c-^S"-+i/"'i' + ''l'"-t (a, b = o, \, ■>.,.. .),

question en apparence toute semblable à celle des 0 elliptiques, or il s'en faut du loiil au tout; la fonction de deux variables

^ini ■i-2/i (j—(g.r-+2/i.vy + k)-)

où (^g\ h, k) est une forme définie positive, passe par deux maxima ! l'ar conséquent, tout s'effondre, il devient impossible d'appliquer la méthode de Laplace qui suppose essentiellement un seul et unique maximum.

Et, en même temps, vojez comment se révèle la singularité |)leine de mystères des fonctions de deux variables. Deux maxima comportent un minimum dans leur intervalle, s'il s'agit des fonctions d'une seule variable; rien de pareil pour deux variables; que peut-on entendre, en effet, par un système/? et q de valeurs intermédiaires entre a et ùj a' el O'I

En vous demandant d'a\oir la bonté de me rappeler et de me dire où Dirichlel a donnt'; la formule importante dont vous a\iez si habilement tiré une démonstration de l'égalité de 1\L Lipschilz

je vous renouvelle, mou cher ami, l'assurance de tout mon dé- N ouement.