STŒLTJES A HERMITE

Toulouse, j» avril i88<).

CuEIt MOJNSIEUR,

Vous avez parfaitement raison, parmi quelques Mémoires de M. Catalan, que je possède grâce à l'obligeance de l'auteur, se trouve un article Sur les nombres (Je Segner. M. Catalan désigne par T,, le nombre de manières dont un polygone convexe de n côtés peut être décomposé en triangles au moyen de ses diagonales. L'on a T/, =: 2, T5=5.To=i4, ..., ce sont précisément

LETTRK 196. 417

les valeurs de A2, A3, A4, ..., et il doit y avoir là-dessus des articles dans les Tomes III et IV (i""^ série) du Journal de Liouville. Je reviens un instant sur mes formules

(I) V VA/+a-X,-X/, = Co(«o,t)Xo-l-«o,iXi+«o,2X2-t-.. .)-

-+- CoCiC2(ai,iXi-{- a, ,2X2-1-. . .)- -1- CqCi CiC^Ci^ia^^i X2 -+-. . . )'-

(II) 2 7 A,-HA-hiX,-X/,= CoCi(6o,oXoH- 60,1X1-1- 60,2X2 -H. . .f

-1- CflC) 0263(61,1 Xi-i- 61, 9X9 -t-. . .)-

-I- CuCi 02036405(62,2X2-1-. . . )^

pour remarquer que leur vérification est, pour ainsi dire, immédiate.

En effet, supposons que, par le développement des seconds membres, on obtienne

je dis d'abord que l'on a

En effet,

ot/,A-i-i = Coao,j«o,/,-i-i -t- f''oOi02ai,/«i,A-4-i -t-. . . ,

S,-, A- = OqO, 60,, -60, /,■ -I- OoOiC2C36i,/6,,/, -H ...

mais les lois de récurrence sont

60, «= «0,/(-^- C2«l,/i, 61, «= «1,hH- 04«2,«, 62,» = «2, /(-H C,ja3,„,

et

4l8 CORRESl'OiNDANCE D'iIEK.MITK ET l)K STIKLTJES.

Exprimons donc les ao,/f+) p^'r les b^>^k et les b^^i par les «o,/? ••• r on aura

a/,/. + i = Coao,/(cièo,A-) + CoCj C2ai,j(èo,/r4- 636,, a-)

-i- CoCiC2r3C4a2,/(6i,/.-t- Cibi^/,.) -t-. . . , ^iz•,/.■ = CoCièo,A(«o,/-i- caai,/) + CoCj C.2C36, ,/,(«],/+ c^ao,,-)

-H CoCiC.2C3C:,Csb.2^/,(a.2^i-\- Cnasj)^. . ..

L'idenlité de ces expressions est manifeste. Il est clair qu'on a pour la même raison

donc

d'où il est facile de conclure que l'on a généralement lorsque

On voit par là qu'il existe effectivement une série de quantités

Ao, Al, A2, As, ...

qui satisfont identiquement aux relations (1) et (II).

Ce point établi, on connaît aussi les valeurs des déterminants

Ao Al ... \,i- \

et l'on en conclut que la série

Al A,

Ao A, A2 A3 X X- x'^ X*

donne la fraction continue

LETriiiî li)(i 4 19

Vous voyez que celte vérification est bien simple, mais j'ai été conduit à ces formules par lexamen attentif de certains cas particuliers, principalement ceux que j'ai indiqués dans les Comptes rendus dernièrement.

Mais je vais montrer maintenant que l'on peut se dispenser de considérer la forjne cpiadra tique

à condition d'écrire la fraction continue sous une forme légèrement modifiée.

On a, en eflet, aussi

Ao Al A2 £0

X X- X-^ ' ' ' Cl C-i

X ^ t\-\- Cû ■

la /?'"'"= réduite, ici, est identique avec la (2/?)'^'""' réduite de la [)remière fraction continue.

D'autre part, d'après Talgoritlime, on a

au,n+\ = Ci-(- C2-t-. . .-+- Cin+],

en sorte qu'on peut énoncer cette proposition : U idenlité

22 ^'+/-^' ^'^ = îo [ X + a, X , -t- a2 X2 + . . . J2 -»-E,[X,+ 3.,X, + ...]-^

entraîne cette autre identité

Ao A, A2 A.-,