HERMITE A STIELTJES

Flanville, pai" Nuiseville (Loi'raine), 17 avril 1889.

Mojv CHER Ami,

Votre lettre, qui m'intéresse vivement, me parvient en Lorraine où j'ai été appelé par un deuil de famille, comme je vous l'ai écrit avant de partir. Je m'empresse de vous informer que, dans l'un de ses nombreux Mémoires dont je pourrai, s'il est nécessaire, obtenir l'indication en m'adressant à lui-même, M. Catalan a obtenu la propriété du coeflicient binomial [in)„ à laquelle vous avez été conduit. De quelle manière l'a-t-il démontrée, je ne le sais, mais voici la mienne. Considérant, en général, l'expression

je désigne par 0 le plus grand commun diviseur de m -\- i et /i, et je pose la relation

où A et B sont entiers. Cela étant et après Tavoir écrite ainsi

rj = (m — 71 -T- I ) A -f- ( A -1- B ) n, je multiplie les deux nombres par le facteur ni (ni — \). . .{m — /i -1- a )

ce qui donne facilement

0 = (777),, A -(- {m)„-iB.

En représentant par E le second membre qui est entier, on a

4l6 COUUKSI'ONDANCK DUKinUTE El DE SHELTJES.

donc

,...., m — n + \ o • el vous voyez ainsi que {lujn est <li\isiljle |)ar =;^ boit

ni = 2/«, les entiers 'in -\- \ et n soni |»remiers entre eux, o ^ i el le coefficient (2 /i),/ est elleclivemenl divisible par /? -|- i ; mais votre méthode, tirée d'une identité algébrique, est puisée à la vraie source des plus iuiportanles |)ropriétés des noinl)res. Je vois avec infiniiuenl de plaisir combien vous avez heureusement jirofité du rap|)rochcment si original et dont personne n'avait jamais eu l'idée de la décomposition en carrés des formes quadratiques à un nombre infini d'indéterminées avec la théorie des fractions coiitinues algébriques. Le Mémoire auquel vous travaillez sera extrêmement intéressant, on se rappellera peut-être en vous lisant, qu'autrefois, il y a bien des années, les fonctions Y, V( , Vo, ... du théorème de Sturm, qui ont pour origine un développement en fraction continue, ont été aussi rattachées à la décomposition en carrés d'une forme (puidraticpic, mais ces questions sont maintenant si loin de moi, qu'il me faudrait pour j revenir un eflort que je n'ai pas le courage de faire. Et puis je vais lâcher de rédiger les applications de la méthode de Laplacc dont je dois faire un article pour rinslitiit de Bologne. En com|Uant au besoin sur \ous, mon cher ami, pour ce travail si quelque chose survient qui me fasse obstacle, je vous renouvelle, avec mes félicitations pour tout ce que vous venez de rencontrer, l'assurance y\v mon bien allectueiix attachement.