X -r'^ x-^ ' ' ' ■ Si : So

constitue un résultat définitif et que je juge le couronnement de vos recherches. Ce n'est point du premier coup que vous y êtes parvenu, mais vous n'avez pas à regretter vos efforts; il n'y a certainement rien dans les nombreux travaux dont les fractions continues ont été le sujet, de notre temj)s, qui approche de votre beau théorème. l-,e point de vue sous lequel vous vous êtes placé est entièrement nouveau et, quand j'ai, autrefois, touché à la question en m'occupant du théorèuie de Slurm, c'est d'un autre côté que je me suis dirigé, comme \ous aHez voir, par la remarque suivante, qui est d'ailleurs sans portée. Vous savez qu'en posant

\ —{X— a){x — b). . .{X — /), si l'on envisage la forme quadralicjue

qui estime fonction symétrique des racines, le non)l)re des carrés est égal au nombre des racines réelles moindres que x, augmenté du nombre des couples des racines imaginaires. Et si l'on pose

F -^^kij.Xi\,, il, A- = o, t, -i, . . .), A,v,= Ayr, ,.,

les coeflicients de ces carrés sont la suite des déterminants

Ao,o ■

Ao,, A,,,

Généralisons en remplaçant la forme F par celle-ci

et soit

puis

(X -I- aY-+-. . .)2-h

V2 Y" AB(a — 6)2

Va -^ ABG(a — 6)2(a — c)2(è — c)2

J'observerai que les quantités Aq, A,, A^, ... ne changent point en remplaçant dans <1> l'indéterminée X par