HE R MITE A STIELTJES

Paris, 6 octobre i883.

MoKSIEtIR,

Vos recherches sur l'évaluation approchée des intégrales ( ' ) ont été présentées à la dernière séance de l'Académie et paraîtront dans les Comptes rendus de cette séance. Mais, votre rédaction dépassant en étendue la limile réglementaire de trois pages d'impression, j'ai dû la diviser en deux parties, de sorte que la fin de voire Note paraîtra seulement dans les Comptes ?'endus de la prochaine semaine.

Permettez-moi, Monsieur, de profiter de cette occasion pour rectifier l'erreur (-) que vous avez reconnue et signalée dans l'énoncé de ma formule, concernant le nombre des solutions de l'équation .r^-H T-+ -■' + i'-\- li- ^ n. Si l'on désigne ce nombre \yâv fÇn), la somme /'(i) -f- /Y '^) -I- ... + /(/?) = F(/?) s'obtient comme il suit :

Désignons par a les entiers impairs i, 3, 5, . . ., el ])ar c et c' les entiers quelconques i, '>., 3, . . .: on a

F(«) = ^E(v/«) + 82;['H^(i^) + .cE,(^,)]

-I- i6\^[rt E(//i — ac) — ■2(— I )'''cE(v/« — 2.CC )\-

Dans cette expression, ¥^(x) est l'entier contenu dans x,

Ei(.r)= E (.r^ -\ —E(x)^ E{:ix) — -jtE{x),

de sorle qu'on a toujours E,(.r)= o ou = i , suivant que la diflérence entre x et le plus grand entier qui y est contenu est inférieure a -j ou bien égale ou supérieure a -•

Voici, dans cet ordre de recherches, les formules que je viens d'obtenir, ])Our le nombre des solutions de l'équation x--i-j'-= n. En

C) Les recherches présentées à l'Académie et mentionnées au dél)ul de cetic lettre sont celles dont il est question dans la lettre 13.

(') La formule rcclifiéc est la seconde formule de la lettre 14.

désignant ce nombre par y"(/i), vous savez qu'Elsenstein a donné, le premier, pour la somme /(i) +/{'■■'-) H- • • --^f {''>-) = F(w), cette expression bien remarquable :

J'ai remarqué qu'en posant

puis

F ( /i ) — 4 ( s + Si — À si ir^

on a aussi

J'obtiens encore pour la somme suivante,

où n^\, mod 4, l'exi^ression que voici

It.'