UERMITE A STIELTJES

t'ouras ( Cliarenle-Inféficure), \\ août i883.

Moi

Vos Communications sur la propriété arithmétique dont je vous avais donné bien succinctement l'énoncé m'ont extrêmement intéressé, en ajoutant encore à l'estime cpie m'avait inspirée votre pénétration et votre beau talent en Analyse. Je n'ai point suivi tout à fait la voie que vous avez découverte, et, touten arrivant au même résultat, j'y ai été conduit par une autre méthode. Je m'étais proposé, Monsieur, d'entrer avec vous dans des développements étendus sur ce sujet, et c'est dans cette espérance que j'ai ajourné ma réponse à votre dernière lettre; mais un état d'indisposition m'a contraint de mettre les vacances à profit, non pour travailler comme je l'aurais voulu, mais pour prendre le repos dont j'avais besoin. En attendant que je me remette à l'ouvrage, permettez-moi cependant de vous dire, en peu de mots, comment j'ai été amené aux décompositions d'un entier en cinq carrés. Dans le principe, je n'avais en vue que les foi^mes quadratiques de déterminant négatif et, en désignant par F(D) le nombre des classes de déterminant — D, j'avais voulu tenter la recherche de la valeur, pour D

très grand, de— ^ ^ — rr Mais mes eflorls n ont pas

eu de succès, et je n'en retiens que la formule suivante dont j'ai donné communication à M. Kronecker, il y a quelque temps. Soit D = 4'^ — ï ' <'t désignant par F(D) le nombre des classes proprement primitives de déterminant — D, on a

les diverses'sommes étant prises en supposant v =: o. i, 2. . . •. ji'^-

<[ii'à ce que les quantités sous le signe E, assujetties à la condition d'être positives, deviennent moindres que l'unité.

Cette expression de la fonction sommatoire de F(D) ne m'ajanl point servi pour l'objet que j'avais en vue, j'ai cherché dans le voisinage. J'ai supposé n impair et considéré les décompositions d'un entier en trois carrés impairs, puis en trois carrés quelconques, puis en cinq. C'est alors que j'ai entrevu, comme consolation de mon insuccès, quelques remarques qui ne m'ont point paru sans intérêt, et, en ce qui concerne la décomposition en cinq carrés impairs, l'introduction d'une fonction numérique qui s'ofTre tout naturellement et d'elle-même. Cette fonction est la somme des diviseurs ô d'un nombre impair, tels qu'en faisant n = ùù , on ait ù^rj mod4 et o<<35', La fonction correspondante au cas de la décomposition en trois carrés impairs est la somme des diviseurs tels que l'on ait 0<<2Ô'. Mais ces recherches demandent plus d'efforts que je ne puis en faire en ce moment, et je dois, en me proposant de vous communiquer mes résultats, attendre que j'aie repris courage à l'ouvrage, afin de ne point m'exposera vous envoyer encore des formules inexactes.

Je pense aussi. Monsieur, à vos belles recherches sur le développement en fraction continue de l'intégrale de Tchebicheff et de Heine, et, comme l'Algèbre est chose plus facile que l'Arithmétique, j'ai vu, sans avoir à travailler pour cela, ce que sans doute vous avez remarqué vous-même : qu'on a sous la même forme le numérateur et le dénominateur des réduites de [x — ay-^ix — b)'^ où a -f- [3 = un entier k. Supposons k ])Ositif; dans une réduite de

rang quelconque —, A se détermine en posant

D;^. [(,r — a)"+=' (a? — b j«+P \ = {x — a)« (.r — b )? A, et B par la relation semblable

D:i:+''[(^ — a ;"+''-=' (^ -6)"+/'-P] = ix — a)-'J-{x ~ b)- \^^\

et, en écrivant ceci, il me semble voir que le résultat subsiste, que k soit positif ou négatif.

Je dois, dans quelques jours, partir pour la Bretagne, d'où j'espère pouvoir vous écrire en traitant les questions plus à fond qu'aujourd'hui; veuillez en attendant. Monsieur, recevoir l'expression

28 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT DE SÏIELTJES.

(le mes senliments de bien sincère sympathie el l'assurance de ma plus haute estime.