STIELTJES A HE R MITE

Leydc, 10 octobre i883.

Monsieur,

Vous m'avez fait un très grand |)laisir en m'écrivanl votre dernière lettre, et encore une fois vous m'avez fait votre débiteur en

3o nORUESPOXDANCE d'hERMITE KT DE STIELTJES.

présenlanl mou travail à l'Académie. Vous ne dites rien de votre santé : j'espère bien sincèrement qu'elle soit complètement rétablie. Maintenant (pie j'ai sous mes yeux voire formule pour

je vois bien <|ue seulement quelques légères erreurs d'écriture dans votre premier énoncé m'avaient empêché de la bien comprendre. Mes efforts pour découvrir ces erreurs moi-même ont été inutiles. Voici comment j'avais tâché de retrouver votre formule :

Le nombre des représentations de n par x- -\- y- -\- ^- + t' est

où je désigne par o'(|/?) la somme des diviseurs impairs de n. C'est ce qu'on peut déduire de la dernière formule des Fundamenta no^'a [OEavres de Jacobi, t. 1, p. 289)

Vit/ \^ y V' — 'Z H-g- \ — q^ l~-q- )

A l'aide de ce résultat, on trouve facilement

-i-(-i)"8[^'(rt)-2^'(/e — r^) + -.>.^'(/î — 22)+ 2^'(n — 32) +...],

où il faut continuer les séries jusqu'à ce que les arguments deviennent négatifs. Si n est un carré, il faut prendre g''{o) = — r*

Partant de cette expression, on trouve, ]iour

^ ff'(n)±: Zg'{n~ i)^5g'{n — \) ± 7 -'( « — 9) -^-. . . -h3^'(« — 2)±5^'(/v — 5)-+-.. .

±: 'iff'in — 3) -i- 5ff'( n — 6) ±5,^'(/( — -) -(-5^'(n — 8).

(Pour avoir P, prendre le signe supérieur; pour Q, le signe inférieur).

J'avais pensé, par analogie à ce qui se passait dans le cas de la décomposition d'un nombre S/.-l- 5 en 5 carrés impairs, que cette

LETTRE 20. 3l

formule résullerail aussi, par une Iransforaiation facile, de celle que vous avez donnée. Mais en lâchant de transformer voire formule je n'ai point vu se confirmer celte prévision, de sorte que je n'ai point trouvé une méthode pour arrivera votre formule. Cependant je n'ai pas encore pu faire le calcul avec le soin nécessaire et je me propose d'j revenir.

Comme je trouve toujours un plaisir à accompagner des recherches abstraites par des calculs numériques, j'ai été vivement frappé par la transformation que vous m'avez indiquée de cette expression

Votre transformation, en effet, permet de calculer cette somme pour des valeurs de n j)Our lesquelles le calcul direct serait rebutant, quoique je vois bien qu'on ne doit point envisager celle transformation seulement sous ce point de vue. En effet, je me rappelle d'avoir vu dans le second Volume des Œuvres de Gauss ( ' ) d'autres formules encore plus faciles pour ce calcul, déduites de cette considération que

est le nombre des points dont les deux coordonnées rectangulaires X, y sont des nombres entiers, situés à l'intérieur d'un cercle décrit de l'oi^igine avec le rajon \jn.

Quoi qu'il en soit, j'ai voulu appliquer votre transformation à d'autres cas pour en bien comprendre le sens. J'ai considéré à cet effet le nombre f{n) des représentations de n par x--^ 'iy- ; on a

f{n) = 'i.{d^+ di — di — d-,),

OÙ dx, G?3, (5^3, â?7 signifient les nombres des diviseurs de n qui sonl compris dans les formes 8/i -f- i , 8/i -|- 3, 8A" -f- 5, 8/: -|- 'j. C'est ce que j'ai trouvé par la considération du développement de

(') Cf. Gauss, Werke, l. II, p. 270, ■>■](), 29^

32 COIinnSPONOANCE d'iIKUMITE et de STIELTJES.

on en concluL

|.;,2^-Er4)-E"'

ij-y-]

lin faisant usage d'une transformation analogue à celle que vous avez donnée, j'obtiens les formules suivantes :

Soit o{x) une fonction numérique définie pour des valeurs entières de X par

cp(4A--i-3) =1, ^' ' 4

c'est-à-dire '^{x) est égale à la somme des x premiers termes delà série