H ERMITE A STIELTJES

Paris, 19 octol)ie i883.

MOJNSIEUII,

La démonstration que vous venez de me communiquer de ma transformation de la somme

C=Kff)-Ef"

m'a fait le plus grand plaisir, et mon intention, qui, j'es]ière, ne vous contrariera pas, sera d'insérer votre lettre du i^ octobre dans mon travail, en disant que vous me l'avez adressée en réponse à la communication de l'énoncé de ma proposition. Les méthodes en Arithmétique sont loin de se présenter aussi variées et aussi nombreuses qu'en Analyse, et je ne puis m'empêcher de croire qu'il sera utile de donner pour parvenir aux mêmes conclusions, deux procédés très différents, surtout lorsque le vôtre s'applique à des (juestions que, par le mien, je ne puis aborder. En effet. Monsieur, je suis moins que vous, vir aritliineticus, comme dit Jacobi : je ne fais que recueillir chemin faisant, dans le champ des fonctions elliptiques, quelques résultats faisant suite au n" 40, p. io3 des Fondamenta, et mon travail s'intitulera par conséquent : Sur quelques nouvelles applications à V Arithmétique de la théorie des fonctions elliptiques. Je compléterai, si vous voulez bien, en ce qui concerne les nombres ^n -f- i, ce que je vous ai précédemment dil sur la somme des valeurs de la fonction ^{x) où co(^) est la somme des diviseurs impairs de x, en considérant les nombres 4 n -- . ) .

Soit

je distinguerai deux cas suivant que 4 '? -^ ■'> est différent d'un

!\2 CORIU-SI'ONDA.NC.K l) llKHMITi; KT DK STIKLTJKS.

carr('', ou hini éi;;)! à iiu carré. On a dans le |)reiiiier, la lormiile

C5 ( 0 -H 'i ( j ) -4- . . . -4- o ( . rt -+- 1 I — '-i 7 1'- M 7,

dans le second cas. le terme algébiiqne se modifie, et j'oliliens alors

cp(r)-f-ç(5)-^. ..-^o(/in^i) = 'A^Ï{.'- ("^^)

Mais vos devoirs à 1 École Polytechnique vont réclamer tout votre temps et, comme je le fais moi-même, vous allez, Monsieur, renoncer aux recherches pour ne songer <]u'à vos leçons. Je vois que l'Ecole de Delft ressemble bien plus à notre Ecole Centrale <ju'à TEcole Polytechnique, pour son objet, comme pour l'enseignement qui y est donné, et c'est en vous remerciant des détails cfue vous avez eu la bonté de me donner pour satisfaire à ma curiosité que je vous renouvelle l'expression de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.