STIELTJES A II ERMITE

La tlaye, 17 octobic i883.

Monsieur,

Il semble bien c[ue la manière que j'ai suivie pour arriver à votre transformation de

dilFère de celle que vous avez employée. Je forme le Tableau

■ip — \

La somme de tous les nombres de ce Tableau sera égale à 4^sl l'on a eu soin de changer les nombres de la première, troisième el cinquième ligne horizontale en + i , ceux de la deuxième, quatrième et sixième ligne horizontale en — i . De plus, si l'on désigne

par s(/) - - E ( — — j le nombre des nombres impairs i , 3, 5, -, . . .

qui ne surpassent pas t (l étant entier ou non), on voit facilement que la première ligne verticale contient £( -) -^ E ( ) nombres.

la seconde liiine verticale en contient ef - ) = E( — — ], la troi-

sième eZ-jr— E(— ; — ), etc. Soit encore <f{x) la somme des X premiers termes de cette série

en sorte que la somme des nomlires de la yj*"^'™'' ligne verticale est

Considérons maintenant votre nombre \ :

d'où

donc

c'est-à-dire la À"'""' ligne Ao/7'^o/?/rt/e contient }v nombres au moins^ la X. -h 1"'"° en contient A au plus. Maintenant on pourra obtenir la somme de tous les nombres de (A) (après le changement indiqué en ± i) en prenant d'abord les À premières lignes Iwrizontales ; cela donne

4o CORItESPO.XDANCE d'hEUMITE ET DE STIELTJES.

puis on prendra les ). ])remières lignes verticales : cela donne

On aura maintenant compté deux fois les nombres qui sont écrits dans un carré avec le côté )> ; il faut encore retrancher leur somme qui est égale à ).©().); donc

Cela ne diffère pas essentiellement de la formule que vous avez obtenue.

Le même raisonnement s'applique pour transformer l'expression

avec cette seule différence que o{x) sera maintenant la somme des X premiers termes de la série

Vous voyez, donc bien. Monsieur, combien fut simple l'application de votre transformation à ce nouvel exemple

dès que j'avais trouvé la démonstration que vous venez de lire de votre formule.

Je suis trop pressé, en ce moment, ])our ajouter encore d'autres développements. L'Ecole Polytechnique de Delft est une école civile; tous nos ingénieurs civils, des mines, etc., sortent de cette école. Dans les deux premières années, les élèves ont à suivre des cours d'Anal jse, de Géométrie analytique et descriptive. La Mécanique fait partie du cours des deux dernières années, le cours complet comprenant quatre années. En arrivant, les élèves possèdent les éléments de la Géométrie descriptive, mais ils n'oni point de notion encore de la Géométrie analytique et de l'Analyse.

Je ne trouve rien à changer à la Note que vous avez bien voulu transcrire, et qui pourra paraître dans les Comptes fendus si cela vous paraît utile. Veuillez, encore cette fois, recevoir les remercîments de votre très dévoué.

LKTTRI': 2i. 4'

p. s. — Veuillez bien adresser mes lettres encore à Lejde; ordinairement elles me parviendront ainsi ])lus tôt. Vous aurez bien remarqué que je n'avais point encoi'e reçu votre dernière lettre quand je vous acbessais ma lettre du i 5 octoln"e.