STIELTJES A H ERMITE

Leyde, 28 octobre i883.

Monsieur,

Certainement je ne suis point mécontent de ce que vous avez communiqué à l'Académie quelques formules que j'ai rencontrées en méditant sur les résultats que vous avez bien voulu me communiquer. Mais, comme je l'ai déjà dit, tout cela est facile; toutefois, cela met sur la voie de déduire d'autres formules plus difficiles.

J'ai consulté de nouveau vos beaux Mémoires dans les Tomes VIT et IX (2^ série) du Journal de Mathématiques , et je crois maintenant être sûr- de pouvoir démontrer à ma manière arithmétique les formules de M. Rronecker et d'autres H[ui résultent de la théorie des fonctions elliptiques. Toutefois, dans mes recherches, je fais usage de votre manière d'introduire la notion de classe, c'est-à-dire, elle est remplacée par celle du nombre des fomnes d'un système complet de formes réduites. Pour moi, je n'ai point de doute que ma méthode n'ait pas une grande analogie (ou peut-être ne diffère pas essentiellement) de celle que M. Liouville a suivie dans ses recherches. Mais, pour le moment, je n'ai pu consulter encore c[ue les deux volumes précités du Journal de Mathématiques, et je ne sais pas encore si M. Liouville n'a pas exposé sa méthode dans un autre endroit. Vous m'obligerez infiniment en

( ' ) La Note aux Comptes rendus mentionnée au début de cette lettre est insérée dans le nuuiéro du 22 octobre et intitulée : Sur quelques tliéorèmes aritfimétiques (extrait d'une lettre adressée à Hermite). Cette Note a trois pages dont la troisième contient, avec de légers changements de rédaction, la seconde moitié de la lettre 20 du 10 octobre. Les deux premières pages devaient se trouver dans la lettre du 20 octobre, qui manque.

L'expression de '^^{x) donnée à la fin du post-scriptum diiïère de celle donnée dans la lettre 22.

me renseignant sur ce point. En ce moment, j'ai en effet reconnu la source de plusieurs des théorèmes de M. Liouville. Mais, en tout cas, pour pouvoir dire quelque chose de plus certain sur cet objet, je devrai faire une étude sérieuse des résultats de M. Liouville dans leur ensemble, ce que je n'ai pu faire encore et ce que je ne pourrai faire dans les premiers mois.

Je veux ajouter quelques remarques sur vos dernières formules. En premier lieu, n^ 3 modS. Alors

F(3:)^F(ii)-.-...-F(«) = 4.(3) + -|;(ii)-H...-^.^(«}

-^i^^{k)E{\^'iir^^c) (A- -3, II, .... rt)

^^y t{;(/)E(V;r^TH-|) (/ = 7, i5, ..., rt-4): dans votre lettre, vous avez écrit, par une inadvertance

Cette formule est équivalente à celle-ci :

en ce sens que l'on déduit immédiatement l'une de ces formules de l'autre. Mais cette dernière formule se trouve, sous une forme un peu différente, dans la lettre que M. Liouville vous a adressée (t. VII du Journal, p. 43, 44)- H tlit • " Or, je trouve que ce nombre (des solutions 771 = i'--^ i''--\- i"- où /, /', i" sont impairs et positifs) s'exprime aussi au moyen de p'(/i)[ = tl;(/i)], par

M. Liouville dit lui-même, du reste, que cette formule se tire aussi de vos formules.

Quant à vos formules pour les sommes

J;(3) ± 6(7) + 4'(iO ±- • -^ '}'(4N 4- 3),

j'ai reconnu qu'on peut les déduire directement de la définition même de la fonction »];. Il j a encore d'autres formules du même genre, par exemple,

46 CORRESPOXDA.XCE U HEUMITE ET DE STIELTJES.

On doit avoir des formules analogues pour la i'ouclion

tandis nue

<^in) = S( — ij 2 .

par exemple,

cp(3) + cp(7}-T-...-^cp(4N^3)

mais tout cela est très facile.

^ ous êtes tellement au courant dans cet ordre de recherches que j'ose vous prier (sans que cela doive vous coûter de la peine) de vouloir bien m'indiquer si les formules de M. Kronecker ont été l'objet d'autres recherches, que je ne connais pas encore. Mais il n'j a pas de hâte : dans ces premiers mois je ne puis songer à des études sérieuses.

Je vous prie, Monsieur, d'agréer l'expression de mon respect et de mon entier dévouement.