HERMITE A STIELTJES

Pai'is, 5 novembre i883.

Mowi

Recevez tous mes compliments pour le beau théorème concernant la décomposition en cinq carrés des nombres N^o modS, que vous m'avez communiqué et que je présenterai aujourd'hui à l'Académie pour qu'il soit publié dans le prochain numéro des Comptes rendus [^). A votre lettre j'ajoute une courte Note dans laquelle je donne, pour le même objet cjue vous avez eu en vue, la propriété suivante, qui se tire des formules de la théorie des fonctions elliptiques. Décomposons de toutes les manières un

(') Entre la lettre 26 et la lettre 27, il existe une lettre de Slieltjes à Ilerniite contenant la Note : 5m/' la décomposition d'un nombre en cinq carrés, publiée aux Comptes rendus du 5 novembre. Cette lettre manque.

entier n 's^ i mod4 en deux facteurs d et d' assujelLis à la condition suivante : <:/'> 3<i, et posons

7/«) ^^-iC^d-d').

Le nombre des décompositions de N (en cinq carrés impairs, à racines positives) sera

Je saisis cette occasion pour vous donner l'assurance que AI. Liouville n'a rien publié sur l'Arithmétique en dehors des nombreuses Notices contenues dans les derniers ^ olumes de son Journal de Malhéniatiques. J'aurais bien préféré, au lieu de fragments disjecli meinhra poëtœ, un seul et unique Mémoire bien condensé, où le lecteur aurait à la fois le principe et les diverses applications de la méthode. Mais M. Liouville, à qui j'ai exprimé ce désir, n'a point voulu le satisfaire, sans doute pour se réserver à lui seul la récolte plus complète de toutes les conséquences de sa découverte première. Sur ce même sujet, vous trouverez dans les Comptes rendus une ou deux Notes du P. Joubert, entre 1860 et i8jo; mais c'est un géomètre allemand extrêmement distingué, M. J. Gierster, dont les recherches vous intéresseront par leur importance. M. Gierster a suivi la voie ouverte par M. Kronecker, et ce m'est un regret de n'avoir pu, à cause de l'allemand, lire et étudier ses travaux qui me semblent extrêmement remar-quables. Cette difficulté n'existant pas pour vous, permettez-moi, IV'Ionsieur, de vous adresser un exemplaire, que l'auteur a eu la bonté de m'envojer, de l'un de ses Mémoires, et que vous pourrez conserver aussi longtemps qu'il vous sera utile. Vous trouverez, en consultant la table des matières des Matkeniatische Annalen, ses autres publications sur ce sujet; mais j'ai lieu de penser que c'est celle que je joins à ma lettre qui est la plus étendue et la plus importante.

En vous souhaitant, avec la continuation de vos succès, un bon courage pour mener de front le travail de recherches avec les leçons et les devoirs d'enseignement, je vous prie. Monsieur, de recevoir la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien sincèrement dévoués.

48 COKIIESPONDANCE D IlERMITE ET DE STIELTJES.