SriELTJES A HERMITE

Leyde, i5 novembre i883.

jMojvsieur,

Depuis que je vous ai adressé ma dernière lettre, j'ai pu consulter les Disqu. Arithin. J'ai vu alors que le théorème auquel j'ai été conduit par des considérations d'une autre nature est encore, un simple corollaire de ce que Legendre a trouvé par induction et de ce que Gauss a prouvé dans son Art. 292 (je n'ai à ma disposition que la traduction par Pouillet-Delisle, p. 349-35o). J'aurais donc dû mentionner cette circonstance. Pour le moment, je ne puis que vous prier de retirer ma Note et de ne la point pi'ésenter à l'Académie. En effet, Monsieur, je sens bien qu'il faudra attendre jusqu'à ce que j'aurai la tête libre et pourrai approfondir plus à mon aise toutes ces choses, avant que de publier mes études. Voici encore quelques formules (si vous voulez bien en prendre t'onnaissance ) qui pourront se déduire, sans doute, toutes de la

même source, c'esl-à-dire de la relation découverte par Legendre entre F(n) et la représentation de n par trois carrés.

Soit c£>(/z) = S( — i) - , cl parcourant tous les diviseurs impairs de n {n pair ou impair) et prenons F{n) toujours dans le sens de M. Kronecker. Convenons encore que, dans les sommations, il faudra prendre s =^ i, 3, 5, ... et /• ^ o, ± i, ±2, ±3, ....

Alors on aura

n = i (mocl8) F(nj = 2 ^^ y

si n est un carré, il faudra continuer jusqu'à ^(o)

n = 3 (modS) F(/i)= Vç /2 = 5(mod8) F(n) = 2\^

Encore, n étant le double d'un nombre impair

re = 2 (mod^) F(«) = > o(n — 52) =^ - '

En distinguant, dans cette dernière formule, les cas /i = 8/iH-2, 8A" + 6 et faisant attention que cp(4A- + 3) = o, on pourra écrire

■^ / n — 16 r- \ n = '2(mod8) F{n}— X'f( 7^ ■)'

ns6(mod8) F(n)^'i\o

Comme on a généralement

les formules précédentes donnent toujours une expression de F(n) excepté seulement dans le cas /i = 4^(8r + 7). Ces nombres ^k(^^^ s^ rj'j étant précisément ceux qu'on ne peut repi-ésenter par X- -\-j- + z^.

A l'égard de ces déterminants SA + 7, j'ai encore trouvé la

relation

SF(rt — i6/-2) = !-*(«) — «I>'(n),

$(n) désignant la somme des diviseurs de n, <!>'(/«) la somme des diviseurs inférieurs à y/«.

Ija formule VII de M. Kronecker fait connaître la somme

Celte somme est une fonction arithmétique de n un peu moins simple que celle plus haut.

Les théorèmes de Legendre doivent donner facilement les exprès sions asymptotiques de

F(i) + F(9; + F(i7) + F(2)-4-F(io)-t-F(i8) + F(3)+F(ii)-f-F(i9)H- F(5) + F(i3) + F(2i)-f- F(6) + F(i4)-4-F(22)-H

+ F(n), + F(n), + F(n), -■.-Fin).

Ces expressions sont égales à 7^^-, tandis que la valeur approchée de