STIELTJES A HERMITE
Leyde, 24 novembre i883.
Mo
NSIEUR,
Permettez-moi de compléter les formules que je vous ai déjà communiquées, et d'indiquer, en même temps, comment j'ai pu vérifier partiellement ces formules à l'aide de la théorie des fonctions elliptiques.
Soit, d parcourant les diviseurs impairs de /?,
«ï>(n) = \ I — I <:/, dd = n, en sorte que Q.W{n) est le nombre total des représentations de n
par X- -{- ly-. On a alors [F(/?) toujours dans le sens de M. Kronecker]
(A) /i=i(mod8) XF(n — 87-2) = }t>(n) + ivF(/0
(B) n = 3, 5 (modS) S F(ai — 8/-2) = {*(«)
(C) 71 = 3, 5, 7 (mod8) ^¥{n — j.s'^) = \^{n) -^ \W{n)
D'ailleurs W[n)^= o lorsque /z ^ 5, 'j (modS). Partons maintenant du développement
s f iKx^'
en différentiant et posant après a: =: ^ ? on trouvera, à cause de
;n — = i / T7 , dn — = \/k ,
(•) ^^\/ni-A-')=^2^^- ^^^, ^ (5 = 1, 3, 5, 7, ...,).
Soit, comme à l'ordinaire
6(^)=:l — iq ^-xq* — 25-9-+-...,
on a
et, changeant ^ en q-.
y — ^^ — =^^iq-\
de plus,
, /2"FK ^, ^
en sorte que le premier membre de l'équation (i) devient
|e2(5r)0,(5-2)63(gr),
ou bien, à cause de
QHq) = niq')-n(q-),
(2) [e|(g-)-el('7^)ie2(y^)03(?) = ^^^~|'y^'
J'emprunte maintenant les formules suivantes à M. Kronecker (Monatsberichte der Berliner Akademie, 1875, p. 229)
(4) 82F(8n+3)/"^^ = 0|(fy),
La formule (4) est du reste la même que celle que vous avez donnée dans \e Journal de LiouvlUe, 1^ série, t. VII, 1862, p. 38. Dans ces formules, on a généralement
FU) = F(/i);
seulement si n est un carré impair
F(«) = F\n\—\ (n = I, 9, 9.5, 49, . . . ). Comme on a
on voit facilement que la formule (3) se décompose d'elle-même dans les deux suivantes :
A l'aide des formules (3), ( ^), nous trouverons
En posant maintenant, avec M. Kronecker,
(i>'(n}—'Z{ — ^f) ^ d (<:/ diviseur de n), le développement du second membre de (5) donnera
La comparaison avec le développement du premier membre donne
«=i(mod8) ^\n)= aSFCn — 8 z'^),
n = 3 (mod8) *'(«)=— 4 5:F(« — 8/-2) -r- 42:F(7i — '252),
n=5(mod8j *'(«)= •2SF( /i — 8/-2) — 8S F(« — 25^ ),
rt = 7 (mod8) *'(«)= 4SFl'/i — 2s2)
Il est facile, maintenant d'introduire la fonction F{n) au lieu de F(n); on trouve
n=i(mod8) ^'{n)-^W{n)^ ■y.ZFin — Sr^ ),
/i = 3 (mod8) *'(«)-+- iIf(>) = — 4SF('/i — 8/-2|^4SF(n — 252), rt = 5(mod8) *'(>)= 2SF(/«— 8/-^) — 8SF(rt — 2s2),
71 = 7 (modS) <ï>'(/0= 4SF(n — 252).
Ces relations résultent aussi directement des formules (A), (B), (G) en remarquant que
lorsque
lorsque
(modS).
Mais pour retrouver les formules (A), (B), (G) elles-mêmes, il serait nécessaire de recourir à d'autres formules de la théorie des fonctions elliptiques, formules que je n'ai pas encore cherchées. Toutefois, cela ne sera pas difficile, probablement.
J'ai encore retrouvé quelques relations dans lesquelles les déterminants sont compris dans la suite 3k^ — n ; voici les plus simples
«^5(modi2) SF(«-3/-2j = r,(/0 ^ ^ . o ,
n = 7(modi2) ^F(n — 3/-2) = |r,(n)
7l(«) signifiant la somme des diviseurs de n de la forme laA" ± 5, diminuée de la somme des diviseurs compris dans la forme
58 CORRESPONDANCE b'uERMITE ET DE STIELTJES.
12/rrhi. Peut-être on ])ourra ol)tenir ces formules encore au moyen de la liiéorle des fonctions elliptiques, en faisant usage de la transformation du troisième ordre des fonctions 8; c'est ce que
je me propose d'étudier Dans une de ses nombreuses Notices,
M. Liouville a donné la relation
C'est une formule qui appartient évidemment à la même catégorie, et qu'il faudra retrouver.
Voici une question, Monsieur, qui s'est présentée à moi, à l'occasion de ces études. En posant
61 ( .r, q ) — -2 q '* si n x — iq* ^\r\'ix -^ -iq '* sin 5 a: — ...
on sait que
6'i(o, q)= fXq^— 3q~'*-^5q^—...) = 9(0)9,(0)63(0).
Maintenant, je crois voir qu'il serait utile de connaître de même
une expression de
en fonction des B. Quelques formules que j'ai obtenues d'une manière arithmétique me font soupçonner qu'il existe une telle expression de ^n-q"' par les fonctions B. Mais je n'ai pas encore tâché d'étudier cette question. Peut-être une telle expression estelle déjà donnée sans que j'en aie connaissance. Dans ce cas, si une telle formule vous serait connue, vous m'obligeriez beaucoup de m'en avertir quand cela vous conviendra.
Crojez-moi toujours, avec le plus grand respect, votre très dévoué.
P. S. — En parcourant, dans ces derniers jours, le beau Rapport de M. Smith sur les progrès de la théorie des nombres, spécialement dans le Rapport de i865, ce qui a rapport aux formules de M. Kronecker, j'y ai rencontré cette expression 8[2 H-( — i)"]X(/i) pour le nombre des représentations de /? par x- -\- y- + z- -{- l- . De même, la relation
n = -j (modSj I.F(n — \Gr^-) =^ 15(«) — 0"(«)
que je vous ai communiquée i^J{/i) somme des diviseurs, Ç'{n) somme des diviseurs << \/nj est une conséquence directe de deux formules données par M. Smith. Mais probablement cette formule rentre dans celles I-VIII de M. Kroneckcr.
