X— 1 '■'' — 1 , TV 0 < N
Neee3 (^mod8), ■2y{ — \}-^'^~^sVl^—^]=( — i) » 2^{x'-—iy^)
la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes les solutions de N = .r-+ ajK", x et y étant positifs et impairs. Par exemple,
>>' = 99. 99 = r- -4- 2.72= j2 i 2.52=, 92 j 2.32; donc
2F(49)-+-6F(45)-ioF(37) — i4F(25) + i8F(9)
Le second membre devient o quand il n'y a point de solution de N = X- -j- 2y'-. Par exemple, N = 35, pas de solution
Ce théorème est une conséquence du développement en série que voici :
OÙ il faut attribuer à x el y sevilement les valeurs i, 3, 5, n. En efl'et, on a
o(\/^)o.>(vA})o,(\/ry) = 2:s(-i) 2 ,,,yi et
^Wq) (ijy^) (hUj ) = (i-'( cj )i)i( q).
Maintenant, j'observe que la formule de M. Rronecker,
i /, F ( 4 /i -+- u '7 '' = d-, ( q ) 9fj ( q ).
donne, à cause de
iV F(8« ^-5)/""^^= ^■i(q)^{q-'
donc
>^ F(8« — \) q "^ '• — \ F('8/i H- j ) ^'"^ '* = ^'iiq) 62(^ ).
\ l'aide de ces formules, nous aurons
La comparaison des développements des deux nombres donne notre formule
N ci^ 3 ( modS j, — Il- " sv[ ) = (—!) " 7 (■^■-— -•2J'--)
\ --= a;2-f- lyi, x,y r-: ,, :j, -,, ;. . . . ).
Comme vous le voyez, ces deux formules se met lent à côté de celle donnée par M. Liouville i .Journal de M allié m. ^ 'i'' série, I. \1\ .
66 CORRESPONDANCE d'hERMITE El DE STIELTJES.
année iSGy ; p. i ).
(5) N = i(mod'2), V(— i)~^^F(4N — 52)=V(.r2— y2)
(s = i, 3,5,7, N=x^--hy\ a; = i, 3, 5, 7, . . .,
Dans la formule (3j les arguments des fonctions F sont de la forme 4^'+ 2; dans la formule (4) ces arguments sont de la forme 4 ^- + i ; enfin, dans (5) ils sont de la forme 8A'H- o. Dans tout ce qui précède, F(/î) désigne le nombre des classes du déterminant — n pour lesquelles un au moins des coefficients extrêmes est pair. Seulement si n est un carré impair [ce qui peut seulement arriver dans la formule (4)] il faut retrancher ^ du nombre de ces classes.
Dans la démonstration à l'aide de la théorie des fonctions elliptiques de la formule donnée par M. Liouville, j'ai fait usage de cette formule :
iG
= iG<7 n impair.
"y (— I )'>cf'
Il ri^'i^ — 2«
= \(S^2^[s^-l'^)q-''-+''-= iG^/,/^
/( 71) = '^(s-'^— t-), n = s'--h r^ ( A- = i, j, j, . . . ; ^ = o, d= 2, ± 4, . . .), k'-^I' = i6(q — G^-'-^9^5-^io7i3 3o^i7)ij^2o
-+- 42^-5 — 70 ^^'^ -h 187^'— 54 '7** 4- 49?''^ + (jOfySS, , )
ou bien, par le changement de q en rf,
---- AA' = fi 2^ fis)q^ s = I , o , 5,
J'ai observé que cette fonction arithmétique f{s) jouit de celte propriété
Par exemple.
/( m )/( n } = /( mn ).
m el n étant premiers entre eux. Soit maintenant q un nombre premier de la forme /\k -{- ^, on aura
En désignant par p un nombre premier de la forme 4^' H- ', ou pourra calculer les valeurs successives de
à l'aide de la relation
mais il faut déjà connaître /(p) = ^(a- — b-), p = a- -\- ù'^ , a impair.
Mais la valeur générale de /(p" ) se met sous une forme élégante en introduisant les facteurs complexes de p. Soit
vy = a -h bi, w =^ a — bi, p = mm', on a
fip) =m^-{-m'- —(m'* — m"*)Um^ — rrs'-i )■
/( /?2 ) z= ra^ -f- m-m'-^ m''' =(m^ — rn'^ ):{ m- — m'- ),
, . . /., ,. sin(2A- -I- 2 ) a sinfa/: -f- '2)7. ,
m = /•( cosa + t sina ), f ( pi^ ) = ^-^ /-^a — :^ pi,
sinaa suaaa '
Celte fonction arithmétique présente donc une certaine analogie avec la fonction ù[n) que M. Kronecker a introduite dans son Mémoire dans les Comptes rendus de V Académie de Berlin (avril 18^5)011 l'on trouve ces formules :
En posant de toutes les manières
n^X'-^y"^, r = I, 3, 5, 7, . . ., a? = o, ± 1, ifc 2, rb 3, . . . ,
on a
y-' £2(rt) = S(— i) ' y [on suppose rt = I ou /i = 2(inod4)].
Veuillez bien excuser la longueur de cette lettre; mais je croyais
68 COURESPONDANCE D'HERMITE ET DE STIELTJES.
devoir VOUS indiquer comment on peut arriver à ces relations (3), (4), (5).
Grojez-moi toujours votre entièrement dévoué.
Mo]
