STIELTJES A II ERMITE

Leyde, 2^ novembre i883

Comme les remarques suivantes concernent encore l'application de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, j'espère que vous voudrez bien les considérer avec indulgence.

En premier lieu, je trouve, par un calcul qui n'offre point de difficulté,

(37,7 = 0, =tT,±2, ±3, ±4, ...)

ou bien Mais on a :

e(5r2)62(5r2) 03(^2) =,22] (-1) ^ sq-^ (>• = . , 3, 5, 7, 9, . . . ),

donc

On en tire ce théorème, dans lequel N désigne un nombre entier (positif) quelconque :

(3) ^^(-O 2'sF(4N-252) = (-r) ^ ^^Î^'-'^J-)

la sommation, dans le second membre, ayant rapport à toutes les solutions de

le second membre étant égal à zéro s'il n'existe point de représentation de N par x- -\- 2y'-. Par exemple,

NiN-l)

N=9.5, 25 =(±5)2+ '2.02; (— i) 2 ^(.r-2— ■ij^) = 2.15,

N = 26, pas de représentation par x--h 2j'2, F(io2i — 3F(86)-^5F(54)- 7F(6) = 4 — 3.10 + 5.8 — 7.2 =0.

(— I) ^ 2(072 — 272) = 4 [9 18 -4- 25 — 2] = — 56, 2[F(io6) — 3F(90) + 5F(58) — 7F(io)]

J'avais d'abord obtenu la relation (3) par des considérations arithmétiques; c'est en réfléchissant sur cette formule que j'ai eu l'idée d'inlroduire ces séries 'En'-q'^^. Voici encore une autre formule du même genre :