STIELTJES A IIERMITE

Leyde, 8 décembre 1880.

Monsieur,

Je vous prie de vouloir bien présentera l'Académie la Note cijointe ( ' ). L'espace m'a manqué pour indiquer comment la théorie des fonctions elliptiques conduit à ces formules; mais il n'y aura pas d'inconvenance, je l'espère, si je doiiu*; la démonslraliou du

(' ) 5a/' un théorème de Liouville. Noie de M. Slielljes, présentée par M. llerniile {Comptes rendus, 10 décembre i883).

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théorème de M. Liouville dans une autre Note. Je pourrai alors encore indiquer les formules qui donnent les trois autres théorèmes.

J'ai été, d'abord, un peu efïVayé des calculs que demandait la vérification du théorème IV. Posons

Ji=^(—i)'-sq'x^F(8n^5)q « (s = i, 3. 5, 7, . . .).

Le théorème IV fait voir que dans le développement

^^= aiq ■+- a>q--h a^cj^ -+- aiq'*-i- . . . la partie paire

«2 q^ + «i q'*^ Ctf, q^ -^ . . .

est égale à

V V(a72 — 3r5)72(<'-i-3.i5) (r, j = o, ± i, ±2, ±3 ) (j7+jk impair)

ou bien qu'on a

4^ étant ce que devient t^par le changement de ^ en — q. Or, je trouve

1 K^ ., ,g sina| / K 2 K ~

3/3tt3 ' ' sinaf \cl\ d'où

ai = ain -77 ' ^2 = ^"" "T"

uK' ., sin ni

3^/3-3 .inafA::,

Après quelques réductions on obtient

-^^ -^- = — — — s in ai cosai sinar, .

C'est la même valeur que je trouve pom^

J'ai calculé d'abord la somme

^^(JT- — 3j'-)<^'^' + 3j2 (toujours x~y impair)

qui s'exprime par

CORRESPONDANCE D nEHMITE ET DE STIIÎLTJES.

/\K^k^ sinaîcosaf

■.^3^3 sina.

Le changement de g en q- donne la valeur déjà écrite de

Pour avoir la somme j'ai pris comme point de départ les sommations des séries

où j'ai remplacé q par q^, etc. Les fonctions de seconde espèce sont éliminées dans le résultat, mais elles entraînent bien des longueurs dans le calcul qui, par là, a seulement le caractère d'une vérification. Mais, d'autre part, les démonstrations arithmétiques demandent aussi quelques développements. Le théorème III a été obtenu seulement en suivant la voie que je vous ai indiquée; je n'en ai pas encore une démonstration arithmétique comme des autres théorèmes.

Agréez, Monsieur, l'assurance des sentiments respectueux de votre serviteur dévoué.