STIELTJES A HERMITE

Leyde, i4 décembre i883.

Monsieur,

Je prends la liberté de vous adresser en même temps la suite de ma Note sur le théorème de M. Liouville ( ' ). J'y ai ajouté encore trois théorèmes du même genre. Vous avez bien remarqué que dans

(') Sur un théorème de M. Liouville. Note de M. Stieltjes, présentée par M. Ilermile {Comptes rendus, 17 décembre i883).

toutes les relations de ce genre qvie j'ai rencontrées il n'entre point des valeurs de F(8A-h7)- J^ ^^^ propose de tâcher de combler cette lacune et j'ai quelque espérance de réussir, mais je dois encore ajourner un peu cette recherche parce que ma santé ne me permet pas encore de m'appliquer trop à ces études. Certainement, si elle réussit, la démonstration analytique sera un peu plus difficile parce que la fonction génératrice

ou bien

que vous avez donnée, est d'une nature plus compliquée que dans les aTitres cas.

Agréez, Monsieur, l'assurance des sentiments respectueux de votre serviteur dévoué.

39 — Il ERMITE A STIELTJES.

Paris, i5 décembre i883.

Monsieur,

Votre Note sur un théorème de Liouville a été présentée à la séance de l'Académie de lundi dernier et paraîtra dans les Comptes rendus de cette séance. Je me rends compte, par les indications contenues dans votre dernière lettre, des difficultés qu'il vous a fallu surmonter, et aussi de la joie que vous avez dû éprouver en voyant les fonctions de seconde espèce disparaître dans le calcul de la somme S2(^- — ?>y')q^°"^^''"\ Vous aurez certainement donné le premier exemple de l'emploi, pour l'arithmétique, de la transformation du troisième ordre, et je suis bien sûr que M. Kroneckcr et d'autres s'intéresseront vivement à vos résultats. En tout cas, vous travaillez avec une telle activité que je ne puis vous suivre que de loin. J'en suis encore aux formules (A), (B), (C) de M. Kroneckcr qui ont été mentionnées dans votre lettre du :î4 novembre et qui m'ont rappelé, en réveillant d'anciens souvenirs, une recherche à laquelle je suis revenu. M. Lipscliitz, avec qui je suis depiiis longtemps lié, m'y a encouragé, et, en me bornant à la pre-

mière (p. ^.aç) des MonalsbericJite) voici mon procédé de démonsl ration :

Je remarque d'abord que, pour un délerminaiil

AG — B2££E9. (mod4),

toutes l€s formes, et en particulier les formes réduites, peuvent se répartir en trois catégories, représentées de celte manière :

(a, a', rt"), («, b, ■>.a'), (art, b, a'),

OÙ a, a', a" sont des nombres impairs et b un nombre pair. Ceci posé, excluons les formes ambiguës, qui, dans le cas actuel, sont toutes données en supposant b ^= o; supposons de plus le coefficient mojen positif; il est clair qu'il suffira de changer b en ^ b pour obtenir la totalité des formes réduites non ambiguës. Maintenant, je ramène ces formes à Jin seul type, le premier, représenté par (a, a', a"); mais, au lieu de limiter le coefficient moyen par la condition 'la! <^ a, j'admettrai qu'il reçoive la série des valeurs

Considérez, en effet, les réduites («, è, 2a'); elles deviennent par la substitution a: = X + Y, y ■=^ — ^', au déterminant — i : («, a — 6, a -\- ia! — ib) et rentrent par conséquent dans le premier type, le coefficient a — b ayant pour limite supérieure a — a, et le coefficient a + a a' — ib étant supérieur à a d'après la condition ib <Cia' .

Envisagez, en second lieu, les réduites représentées par (aa, b, a'); elles sont improprement équivalentes à (<ï', b, 2«)et ces dernières formes sont elles-mêmes, comme nous venons de voir, improprement équivalentes à (a', a' — b, r//+2rt — o,b). Or, on retrouve encore par le coefficient a' — b la limite supérieure a' — 2 et la condition a'-i-^a — '2b^a'. De là je conclus que les formes réduites de ces deux types (a, b, 2fl'), (aa, b, a') sont équivalentes, les premières improprement, et les secondes proprement, aux formes (a, a', a") dans lesquelles nous supposons «'=[, 3, 5, ..., a — 2 et d' ^ a! . Ces dernières formes peuvent donc être employées à représenter la totalité des classes non ambiguës, en leur joignant celles qui n'en diffèrent que par le signe du coefficient moyen : {a, — «', «"V

Ce point établi, je fais le produit des séries suivantes :

^'•^'TW-^S-'t^T^ («=.,3,-,...,

r sin.r

J'intègre ensuite entre les limites zéro et - • Si l'on remarque que l'on a

/*2 sinax , t:

/ —. dx = - :

J ?<\nx 1

on trouve ainsi

cr n' n 11"''

jLd 1 — C/'< ^ l

où d' passe par la suite des valeurs

Développons maintenant le second membre suivant les puissances croissantes de q et il viendra immédiatement

r/ai =

na n- ini

a" prenant, comme a, les valeurs impaires i, 3, 5, ....

Des deux séries auxquelles nous sommes ainsi amenés la première est évidemment

2^4?(Njg'2 (N=:i,3, 5, ...).

Soit ensuite

il est clair que 2N est le déterminant changé de signe de la forme (a, a", a + 2a'). Sous la condition relative à a" , cette expression, comme nous l'avons vu, fournit la moitié du nombre des classes

74 CORRESPONDANCE d'hERMITE KT DE STIELTJES.

non ambiguës: d'ailleurs, le nombre des classes ambiguës est précisémenl '^(Nj, comme Gauss l'a établi; désignant donc par F(2N) le nombre total des classes de formes quadratiques de déterminant — 2N, on trouve le beau résultat de M. Kronecker

et l'on obtient pareillement les équations (13) et ( C i de l'illustre géomètre. Ma dernière lettre (^) contient une erreur qui tient à ce que j'ai écrit 83 au lieu de B, et ma formule obtient par là une autre signification que celle que j'ai indiquée; une autre fois j'y reviendrai. Tous mes vœux, Monsieur, pour le succès de votre travail et la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.