HERMITE A STIELTJES

Paris, 2 mai 1884.

Monsieur,

Votre lettre m'a vivement intéressé par les beaux résultats qu'elle contient; elle ajoute encore, s'il est possible, à mes sentiments de haute estime et de sympathie pour votre beau talent. J'ai eu dernièrement l'occasion, que j'ai mise à profit, d'exprimer ces sentiments à votre compatriote M. Bierens de Haan, venu, comme moi, à Edimbourg pour assister aux fêtes du cinquième centenaire de l'Université, et M. Picard qui m'accompagnait a fait de même de son propre mouvement. Ce me serait une vive satisfaction si le témoignage de mon opinion sur votre mérite scientifique pouvait vous servir en quelque chose et contribuer à vous faire obtenir une situation digne de vous et qui vous permit de vous livrer en entier aux recherches que vous avez entreprises. Permettez-moi, Monsieur, de vous prier de disposer de moi, si vous en avez l'occasion : je ne puis douter que mon confrère et ami M. Tisserand ne s'empresse, à ma demande, de joindre son témoignage d'astronome et de géomètre au mien. La publication, dans les Comptes rendus, des résultats de vos travaux, pouvant ne pas être inutile pour appeler sur vous l'attention, je viens vous demander s'il vous convient que je présente à l'Académie votre Communication du 28 avril et, en attendant votre décision, je me permets une remarque au sujet de l'équation

Si vous faites j^ = \ — ) vous avez la fonction de Bessel qui joue

un si grand rôle dans la théorie de la chaleur et autres applications physiques. Or, l'équation dont vous obtenez les racines par la formule a|q>rochée

a été l'objet des recherches d'un géomètre extrêmement distingué

M. Boussinesq, qui obtient l'expression

A- i\ . Ik i\2 /i

C'est dans les Comptes rendus, t. LXXII, p. 48o, que vous trouverez l'exposé de ses recherches sur ce sujet, qui a longuement occupé M. de Saint-Venant; ne jugeriez-vous pas à propos d'en prendre connaissance et de le citer en le rapprochant des vôtres?

La liaison que vous avez découverte, liaison cachée et qui m'échappe entièrement entre les racines de l'équation de Bessel et l'équation X„=:o, me semble on ne peut plus intéressante, ainsi que votre expression des coefficients A par la formule

Vous avez indiqué trop succinctement votre point fondamental, que l'extension à une fonction intégrable de la formule d'approximation de Gauss est une conséquence immédiate des inégalités