STIELTJES A HERMITE

Leyde, 25 avril 1884.

MojVSIEUR,

Permettez-moi de vous communiquer le résultat d'une recherche que j'avais projetée depuis longtemps, mais que je n'ai exécutée que dans ces derniers jours. Le résultat simple auquel j'arrive, c'est que la quadrature de Gauss

f{x)clx = Ai/(Xi) -\- k^fi^X.,)^...^ knf{Xa)

s'applique avec une approximation indéfinie (en augmentant /i) à toute fonction intégrable.

Supposons x^<iXi<i . . . <C,x,i'i on sait cjue

Al-+- A2-+-. . .+ A,; = 2

et mon résultat est une conséquence immédiate de la définition

d'une intégrale définie et des inégalités suivantes dont j'ai véi'ifié

la justesse :

— 1 <a7i< — iH-A,,

— 1 -i-Ai<:r2< — i-i-Ai-f-Aj,

J'ai supposé n assez grand : alors on peut vérifier ces inégalités pour celles (ceux) des racines Xh qui ne sont pas proches des limites ± i , à l'aide des valeurs approchées des Xu-, ^k qu'on obtient sans difficulté. Toutefois il est un peu pénible d'obtenir les A^ avec une approximation suffisante.

Ensuite, j'ai considéré les racines extrêmes qui diffèrent peu de ± I et j'arrive aux formules suivantes.

Soient j', , JK25 J)'3j • . . , les racines de

■1/2 yZ

rangées dans leur ordre nalurel de grandeur (on a à peu près

j/f= ' ' — ^lorsque k est gi-and ; cela donne ;>', ^ i , 38^9 ...

au lieu de 1 ,44^^^ —

Alors on obtient les plus grandes racines de X//=:o, .r , > ^0 >> X:j . . . en substituant JK) , jk^? ^37 • • • au lieu de y dans

l'expression

%y 8u Hv

Par exemple, on trouvera jCi par

I '- -1- — ? iii i | ^ ,

(•2/t-Hl)- ('2/1 -H ij» (2/1 + 1)'"'

Pour /ï = 2, l'erreur restante est o, 000046.

Pour II = 3, elle est o, 000004 ; pour de plus grandes valeurs de n elle devient insensible sur les six premiers chiffres.

Je développe une expression analogue pour obtenir les coefficients correspondants A, A0A3 . . . dont je n'écris ici que le premier terme

La vérification des inégalités données plus haut conduit alors à celles-ci qui ont effectivement lieu :

Une légère indisposition m'a obligé d'abandonner l'Arithmétique pour quelque temps ; mais maintenant j'éprouve de nouveau l'attrait de ces études ; toutefois je ne pourrai faire beaucoup faute de loisir.

En vous souhaitant un sort plus heureux, Monsieur, je (me) signe votre très dévoué.

100 CORRESPONDANCE D UERMITE ET DE STIELTJES.