STIELTJES A HERMITE
Leyde, 3 mai 1884.
Monsieur,
Je viens répondre à votre lettre pleine de bonté par quelques développements sur la question que j'avais agitée. Ces développements sont probablement trop étendus pour permettre de les publier dans les Comptes rendus. Je composerais cependant avec
I02 CORRESPONDANCE D IlERMITE ET DE STIELTJES.
})laisir une rédaction pour quelque Journal et je demande votre conseil sur un choix.
Comme vous verrez, la manière dont je traite maintenant la question n'a rien de commun avec celle que j'ai décrite succinctement dans ma lettre précédente. Elle est infiniment plus simple.
J'ai toujours été frappé par cette circonstance que, tandis que la définition même d'une intégrale définie
(A) / G(.T)r/.r = lim[ôlG(^l)^32G(b)-^...-^5„G(t^)]
permet toujours de calculer sa valeur avec vine approximation indéfinie, cela n'était point du tout démontré si, en appliquant une quadrature mécanique, on calcule
(B) AiG(^i) + A2G(^2)+...-^A„G(3"«).
Si l'on prend, avec Mewton et Cotes, les ^i, .To, . . ., ^„ en progression arithmétique, les A,, ne sont pas toujours positifs (comme on le voit par les valeurs calculées par Cotes et reproduites dans le Mémoire de Gauss), et cette circonstance m'a fait croire qu'il j a bien peu d'espérance d'arriver, dans ce cas, à un résultat simple. [Toutefois je n'ai pas cherché si, peut-être aussi dans ce cas, les A;ne finissent pas par (de) devenir tous positifs, n augmentant.]
Mais, dans la quadrature de Gauss, les A^ sont tous positifs, en sorte qu'on est porté naturellement à chercher si l'expression (B) ne rentre pas dans celle qui figure au second membre de (A) en prenant, comme il est permis de le faire (en efi'ct A, + Ao H- . . . + A„ = 6 — a) o, = A, , ôo = Ao, . . . , o„=A„. Mais, pour que celte identification soit possible, on
devra avoir
« < ^1 < « -1- A] < j~2 < « -t- A] -H Ao < . . .
inégalités qui expriment que x^ x^, ^n sont compris dans les
intervalles choisis.
C'est ce qui a lieu, en eft"et, et ce que j'avais vérifié d'abord d'une manière fort pénible en me servant d'expressions approchées des Xr et des A^, en supposant n très grand.
Je vais établir maintenant une proposition plus générale : Soiiy(:r) une fonction qui reste constamment positive dans l'intervalle a — b.
LETTRE cO. I03
On sait qu'on peiil déterminer n constantes ^i, .To, . . ., x„ « < ^1 < -^2 < • • . < •^w < ^ et n autres constantes A,, Ao, • • ., A„ de manière que l'on ait
l f{x)G{x)dx = A,/(jri)-HA2/(.r,) + ...+ A„/(.r„)
toutes les fois que G(^) est un polynôme en x du degré 2« — i au plus.
Les A/f sont tous positifs : c'est ce que l'on voit en prenant
(X—Xiy'...{x — Xn)-,
{x — XkY cela donne
/ f{x)G{x)dx = \kG{xk).
Les Ay; étant positifs et
Ai-h A2-1-. . .-t- A,j= / f{x)dx,
on pouri\i déterminer /? — i constantes j^,, y^-, • ■■, J'»-i de manière que
« < 7i < J'2 < • • • < J«-i < ^ et
Ai= / f{x)dx, A2= / f(x)dx,
I f{x)dx, .... A„i= / f(x)dx.
On aura alors aussi
A,j= / f(x)dx.
Je dis maintenant, et c'est ma proposition fondamentale : que ces constantes j^,, y 2, ■ ■ -, Jn-\ séparent ;r,, X2-, ■ • -, ocn- Donc
a < J"i < Ji < x-i < j2 < .r.j < . . . < j„-, < Xn < b.
Il faut remarquer que la démonstration que les A/t sont positifs se fonde seulement sur l'exactitude de (i), Q{x) étant un polynôme du degré in — 2 au plus (et non in — i). Aussi, dans la démonstration suivante de la proposition fondamentale nous ferons usage de (i) seulement dans le cas que G(.r) est du degré in — 2.
io4
Je détermine un poljnome du degré m — ■>., T(^) par les conditions suivantes :
T(^/,)= I, TCr/,+i) = o, T(.r/,^o) = o,
T'(.ri) = o,
Ces conditions étant au nombre de in — i, le poljnome T(^) est parfaitement défini par cela, et l'on aura
f{x)i:{.x)dx = Ai + A2-
Les racines de l'équation
sont (d'après le théorème de Rolle).
Nombre.
ia) Xi, X2, ..., a-A i
(6) ^1, ^2, •• , ;/,-! 'Vi<çi<^i<h<^i<--<^/^-i<^A Z^ — I
(c) 37/,+], :rAM-2, .-.. .r„, ;; — A-
Le nombre total de ces racines est m — 3 ; T' [x) étant du degré in — 3, l'équation ne saurait en avoir davantage, et toutes ces racines sont simples.
Il est facile d'a[)rès cela de se représenter la marche de la l'onction T(.r) ou de la ligne j'^= T(.r). Dans la figure ci-dessous, c'est
Oi^ a^Xj
la ligne en trait plein; en effet, la ligne pointillée ne saurait convenir parce qu'il en résulterait au moins une racine de T'{x) = o fnlre x^ et x^^^^ qui n^ existe pas.
On voit :
1° Que T(^) est toujours positif dans l'intervalle <7, b]
2" Que I estla valeur mmî/?zi<mdeT(:r) dansl'intervallert — x^.
De l'équation
Ai+ A2-+-...+ Â/,= / f{x)i:{x)dx
nous pouvons donc conclure
Ai+A2-+-...-i-AA.> ^ f{x)'Y{x)dx, et enfin (a) Aj-t- A,-!-. . .-t- A/,> / f{x)dx.
On démontrera d'une manière parfaitement analogue, en considérant l'autre limite b de l'intégrale
A/,+ 1 -4- Aa+o -h . . . + A;î > / f{x)dx;
mais,
Ai-i- A2-I-.. .-4- A„= / fix)dx, donc (P) Ai-^A2^-...^-AA.< / /{x)dx.
Ces deux inégalités (a) et ([3) font bien voir que la quantité jka définie par
Ai+ A2 + . . .-i- A/,-= / f{x)dx
reste comprise entre Xk et x^j^k- C'est la proposition qu'il fallait démontrer.
Avant que j'eusse trouvé cette démonstration, j'avais constaté l'exactitude dans les cas suivants :
J-i \/i — x^ n.Ld''l 111 \
1 ^i — X- (t(x) dx = — ^ — y s\n- ( — ^^ ) Cl' ( cos — ^ ),
J^ ' ii-^iAd V /i ^ I / •' V ;i -i- 1 /
r i/'-^i^qix)dx=~^^S.\n^-J^^q(co.^^)..
{j(x) du degré m — i au plus.
I06 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.
Quand j'éLais, dernièrement, à Paris ('), j'ai été votre auditeur à la première leçon de votre cours du second semestre, et c'est même de ce temps que datent mes nouvelles réflexionssur la question que je viens de résoudre enfin.
Si mon séjour eût été un peu plus long, j'aurais certainement tâché d'avoir le plaisir de vous parler. jMais alors, l'heure du dîner me semblait trop proche et je suis parti le lendemain matin.
Votre très dévoué.
