HERMITE A STIELTJES

Paris, 5 mai 188^.

Mon 5

Ne sojez pas fâché si, après avoir lu, avec toute l'attention dont je suis capable, votre dernière lettre, je viens de nouveau vous faire part de difficultés qui n'en sont certainement pas, dans le fond, et que quelques développements feront évanouir. On sait, ditesvous, qu'en désignant par G (.r ) un poljnome en x du degré in — i au plus, on peut poser :

f{x) G{x) dx = \,/(x, ) + A,/(..-,) +. . .-^- A„/(^„),

les quantités x^^ X-y, ^« étant comprises entre a et b. Je dois

vous avouer que cette propriété m'est complètement inconnue, si inconnue cjue je ne vois aucun moyen d'y parvenir et de l'établir. Je ne vois pas non plus pourquoi ayant trouvé, en supposant

(x-xi,y

une valeur positive pour A^, vous concluez immédiatement que pour tout autre polynôme cette constante sera la même, et, par cela seul, sûrement positive. En attendant que, par f[uelques mots d'explications, vous dissipiez les ténèbres de mon esprit, permettezmoi de vous demander s'il vous conviendrait de Aonner n\\^ A nnale s

(') Pendant le voyage annonce à la fin de la Lettre 47.

de V École normale supérieure, dont M. Tisserand est le rédacteiii" en chef, un Mémoire étendu et bien complet, sur cette question des quadratures qui a été le sujet de vos dernières lettres ('). Aussitôt que je connaîtrai vos intentions, j'en ferai part à M. Tisserand qui sera, j'en suis certain d'avance, exti^êmement satisfait d'offrir un jMémoire de vous à ses lecteurs. Mais, pour nombre d'entre eux, il est d'une absolue nécessité de ne supprimer, dans les développements, aucun intermédiaire; je me range, tout le premier, dans cette catégorie ; la peine à prendre et l'effort à faire pour combler les solutions de continuité que je trouve dans un travail, sont un motif suffisant pour me détourner d'en faire l'étude. La question de l'intégration par approximation est de la plus haute importance, et le point de vue auquel vous vous êtes placé en envisageant les fonctions intégrables d'après Riemann est entièrement neuf et intéressera vivement les géomètres. C'est donc une occasion, Monsieur, d'attacher votre nom à un sujet élémentaire et fondamental en Analyse; je n'ai |ias besoin de vous dire combien je serais heureux de le faire connaître en exposant vos recherches à mes élèves de la Sorbonnc.

En vous renouvelant. Monsieur, l'expression de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.