STIELTJES A HERMITE

Leyde, 27 juin 1884.

Monsieur,

Veuillez bien me pardonner d'avoir ajourné trop longtemps de vous remercier pour votre dernière lettre, ce que j'aurais dû faire d'autant plus que je ne doute point que c'est surtout à l'intérêt que vous avez bien voulu montrer pour moi que je dois la distinction que le Sénat académique m'a accordée.

Je ne suis point en état de vous donner une réponse satisfaisante,

concernant les racines de X« = o en partant de

y n-K sinb L\ ■i/ 1 J

J'avais seulement remarqué que, dans la valeur approchée de la racine qu'elle donne

(\k I) TT

37^= COS h £ (A- = I, '2, ... , II),

£ est de l'ordre (de) ^- En tenant compte des termes en — jj on obtient la valeur plus approchée

Xk= I -; COS • / , ,

Dans cette expression, on a /?-£'= o pour n :=co, en supposant

toutefois que le rapport — reste fini et différent de zéro ou de

V unité. Mais je n'ai pas poussé plus loin les approximations; il semble que les termes suivants deviennent assez compliqués ; ils

doivent contenir sin — ■> cos — Je crois entrevoir que

4 /î -t- 2 \ll, -\- i ^

tous ces termes deviennent de l'ordre (de) — ; en posant /i = i , 2, . . . ,

en sorte que la formule générale serait

, r . (4/c — i)TiV'-2

F:(2/i-f-i)^- sin-^-i ^ ,

„ , r • -11 • > sin ( 4 A- — Oti r étant une lonction rationnelle et entière en — -•