COS

Peut-être je reviendrai encore sur ce sujet et, s'il m'arrive (à) d'obtenir quelque résultat net, j'en ferai un petit article.

En étudiant, autrefois, le Mémoire de Lagrange : Sur V usage des fractions continues dans le Calcul intégral [OEuvres, t. IV, p. 3oi), j'avais remarqué qu'en appliquant la méthode de Lagrange à l'équation non linéaire

c'est-à-dire en développant une solution particulière en fraction

continue, on est amené à la fraction continue que Gauss a donnée pour

cf(a, P -+- 1, Y + ', 3-) #(a, [3, Y,^)

En posant y = - .

^(a, pH-i, Y + i, ^)

est donc une solution particulière de

(i) x{i — x) ~ — ^(z{i — z) -h ((x — {i)xz — ; — —X = o,

et l'on trouve encore facilement cette autre solution

P(a — Y) .'fd — a, I— p, 2 — Y, ^)

En me rappelant celte remarque, j'ai obtenu maintenant l'intégrale générale.

Guidé par les résultats obtenus par Lagrange, j'ai supposé que l'intégrale générale serait

A.f (g, [j, Y, 37) + B^(a — y)xuri(i — a, i — p, 2 — y, -t) Ag^(a, p -t-i, Y-i-i, a?) -H By(i— y) «■^^(i — ^» — ^7 i — Y, ^)

avec la constante arbitraire A:B, en sorte qu'on obtient :;, et ^^ en posant B = o ou A = o, u étant une fonction de ^ qu'il faul encore déterminer.

Or, en posant

p = \^{iy., p, Y, ^) -H Bp(a — y)x Ur'f{i — a, i — '^, 2 — y, x),

q = Â.f(a, p + I, Y-t-i, x) -^ By{i — '() u § {y — :c, — p, i — y, x),

j'ai trouvé (') qu'en déterminant « par

/ . \ du ,

c'est-à-dire en prenant

(') A l'aide des relations entre les formules contiguës de Gauss. {Note de l'auteur.)

on a

dx I — X 7 1 — X

dx x{i — x) x{i — x)

d'où l'on lire

en sorte qu'on trouve, pour- = c-, l'équation (i) dont l'intégrale générale est par conséquent

, Ai(a, ^, Y- a7) + Bp(-;t — y) ^'-y(i — 37)r-^-P ^(i — a, i — .3, 2 — 7, a:)

A3^(a, p + i, Y + i, ^)-+-By(i — Y):3?-y(i — iP)T-='-P J^(i — «, — 3, i — y, •^■)

En remplaçant x par - el prenant a ^ 00, on trouve

dz ^ ^ 3

' dx ' Y

avec

En remplaçant ^ par-^» en prenant a = co, ^ = 00, on trouve

encore

avec l'intégrale

A3^/a, j3 + i,y + i,^^+By(i-y)^-^^'^'(i-«, -P, i-ï, ^) ^^""'^'*'

Enfin, remplaçons :r par -^ et prenons [i = co,

(•2a) ^-7 yz{\ — z) — xz '-37 = 0,

dx Y

kiL, p, Y, ^) +B(a-Y)^'-re-''j(i-a, i p, 2 — y, f )

AJU, ^ + 1, Y+i,-gj -r By(i — Y)^-Te'^-^(^i — a, — P, '" T' "pj

Mais ces équations ne diffèrent pas réellement de [2) et de (2') comme on le voit en changeant .r en — x et remarquant que

donne

pour CT = 00.

Veuillez bien agréer de nouveau, Monsieur, l'assurance de ma reconnaissance et de mes sentiments bien dévoués.