HERMITE A STIELTJES

Flaaville (Lorraine), ! juillet 1884.

Monsieur,

J'entrevois bien des difficultés au sujet de l'expression approchée des racines de X„ =^ o par la formule Xk^ cos -^^-^^ tt; -|- s.

Je n'ai point réussi à voir de quelle manière vous parvenez à la forme éléffante x^^ { \ ; ) cos tt, et ie crains bien

lettrp: 59. 129

maintenant de vous avoir engagé, en vous proposant cette question, dans une de ces voies où les difficultés sont trop grandes pour le but à atteindre. Vous aurez plus de profit à suivre vos inspirations; les recherches que vous me communiquez sur l'équation

x{i — ^)jk' -+- Y^ -l-(p — ot.) xy -\ *— ^ xj^ — y = o

sont très belles et je viens vous demander de les publier soit dans les Comptes rendus, et, en deux articles, vos lettres du 2-! et du 28 juin dépasseraient l'étendue réglementaire, soit dans les Annales de l'Ecole Normale supérieure. Peut-être j aurait-il quelque avantage pour vous à paraître dans ce Recueil, d'un accès beaucoup moins facile que les Comptes rendus, et qui vous donne droit à un tirage à part. M. Tisserand, à qui vous ferez grand plaisir en lui envoyant une nouvelle communication, m'a appris de vous, Monsieur, une circonstance qui m'a rappelé de désolants souvenirs de mon temps d'écolier. J'ai eu aussi les examens en horreur, et j'ai passé une année, étant élève de mathématiques spéciales, à lire à la bibliothèque Sainte-Geneviève les mémoires des collections académiques, les ouvrages d'Euler, etc. au lieu de me mettre en mesure de répondre sur les questions de géométrie, de statique, etc. M. X... m'avait pris en aversion et j'ai expié par un liLinnliant échec mes fantaisies d'écolier savant. Plus tard, je n'ai |ju prendre sur moi de subir les examens de licence es sciences mathématiques lorsque cela eût été bien nécessaire, et ces examens que je \ ais faire dans quelques jours en revenant à Paris et interrogeant sur mon Cours, je les passerais fort mal, car mes leçons faites, je les oublie. Je vous renouvelle mes félicitations au sujet du titre que vous avez reçu du Sénat académique et qui vous dispense des concours ; vous avez mieux que cela à faire ; au besoin, M. Tisserand et moi, nous nous en porterions garants.

En attendant. Monsieur, un mot de vous sur une carte postale, qui me fasse connaître vos intentions pour la publication de vos deux dernières lettres, je vous offre la nouvelle assurance de mes sentiments de haute estime et d'amitié.

Les quatre formules données par Jacobi, dans ses recherches sur la rotation pour les développements en séries simples de sinus et

l3o CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELÏJES.

cosinus (les quantités —^rr- — — -> ... doivent être coniplélées par

douze autres, dont une partie appartient à un type anal vtiijue différent, que voiei :

cot ;-^ {a -h in ÎK' ) ~zi\ e '^

On suppose dans le second membre /? = o, ±i, ±2, etc., et quant à £, on doit le prendre = -4- i , o, — i suivant que n est positif, nul ou négatif. En développant ensuite suivant les puissances croissantes de q, on trouve

>\\ W (o)ll( T-h a) -X -iza v^ . -( mx -^ Jia)

■ n-^ rn = cot -p. -f- cot -— -+- > ^'""sin

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