STIELTJES A HERMITE

Leyde, 3o juin 1884.

Monsieur,

Permettez-moi de revenir encore, pour une dernière fois, sur le sujet de ma dernière lettre, parce que je viens de faire une remarque qui éclaircit une circonstance qui semble singulière.

En elî'et, j'avais trouvé que l'équation

admet deux intégrales particulières a et v telles cjue le rapport - : ;^ est constant, ^JE*, et :^, étant deux intégrales particulières de

d- V , r, -. t dv , f. .

La raison bien simple de cette circonstance est qu'on passe de (i) à (p.) par

on en conclut à cause de

y — Jl>J(a, p -hi, Y -H 1, X) -f- 'l)l)2-TcT(a — -;, fi -t- i — y, i — y, x), w = X(\ — x) '^-Tcf (a — Y, p H-i — Y, 1 — Y, x) -l- llb^rTd — ^•)-^-ycF(a, P -+- I, Y + 1, ar) ou bien

w = Ao(i — ir)-?.f (1 — a, — [3, 1 — Y, X)

-+-a)l)a7Y(i — a7)^^-rj(a, ,3-4-1, '{ -^i, ^)-

La comparaison avec l'autre forme de l'intégrale ol)lenne donne :

(3) (i-:r)-p^"(i-a, — p, I — Y, ;r)=:ae^-''*'~^' ^',

(4) a:-y(i — .rj''-Y.'7(a, p + i, Y + I, 57) = Ge-^ "'' ''* ^''•''.

Les seules choses que j'aie obtenues, à proprement dire, sont donc ces deux identités (3) et (4) faciles à vérifier d'ailleurs par différentiation logarithmique. Je rappelle

'^ = P(a — y)^^-T(i — ^)T-='-Pcf (i — a, i — !3, 2— y, ce),

^1= Y(i-ï)-^-Y(i — -rK-^-Pcl^Ci-a, -P, i-Y, ^),

on relombe ainsi sur deux relations identiques entre trois fonctions rf. En considérant le cas particulier traité par M. Cajlej, j'ai obtenu cette relation :

sinam'^-— - —

Donc

,2K 4 sin am2 -— =

Posant /,-= -> l'avais trouvé antérieurement

G4oi['iG",59, logsin = 9,954 3521, logsin2 =: 9,908 704*2;

la fraction conlinue m'a donné

logsin- = 9,908 7043.

D'après les règles de M. Schwarz, ■^ ( ,-t > ^ ' ^ ? A" j cl S' (-, —^, ^> k-j sont toutes les deux fonctions algébriques de A\ Leur rapport l'est donc aussi, comme nous le voyons aussi par la valeur sin-am — r- • Je crains Lien, Monsieur, d'avoir demandé trop de votre indulffence, mais ce résultat — : •:r— = const. me sembla bien singulier avant que j'en aie (avais) aperçu la raison si simple.

Voire très dévoué.

P. S. — Voici une des formules les plus remarquables auxquelles (à laquelle) j'ai été amené (comme expression d'un théorème d'Arithmétique) :

■Cf

-i-981 (1 — 2g-8-i+ ag-s-f^)

^ ^(4« + l>2(l a^-S-l'-h 2</-8-2' ...± 2^-8'»') ^,(V«+3)2(j 2 9-8.1î i 2^-8-2' . . .± iq-'^n'-).