HERMITE A STIELTJES

La Bourboule, i" septembre I88i^.

Monsieur,

Un commencement de diabète, qui n'a pas été sans quelque influence sur mon travail depuis l'année dernière et que je soigne en prenant les eaux, ne me met guère en disposition de faire de l'Analyse. Cependant j'ai pris le plus grand plaisir à votre théorème si nouveau sur les mineurs du déterminant

et, si j'étais en meilleure santé, j'essaierais de retrouver votre démonstration. Permettez-moi, au moins, d'appeler votre attention sur une remarque très belle de M. Rosanes, sur les transformations en elles-mêmes des formes quadratiques, qui conduit immédiatement aux expressions des substitutions orthogonales que j'ai données autrefois. Considérez la substitution que j'écris, dans le cas de trois variables seulement,

a.r -I- a' y -+- a" z = aX -f-^Y -:-cZ, bx -r- h' y -^ b" z =: a'X -t- 6'Y -4- c'Z,

ex -T- c'y -+- c" z = a"\ -f- 6" Y -i- c"Z.

Vous vérifierez sur-le-champ qu'on en conclut

x{ax -+- a' y -H a!' z) -^ y{hx -l- h' y -\- h" z) -t- z{cx -+- c'y -H c"c )

= X(«X -t- a'Y ^ cc"Z) + Y(6X 4- 6'Y -\- b"'l)-h Z(c\ -^ c'Y -^ c'Z ),

cest-à-dire une transformation en elle-même de la forme

En particulier, les relations

X — ^ty — [JL s = X -i- V Y — [ji Z, ^ix -{- y — \z = — > X -H- Y + X Z, — \}.x -t- \y -^ z — [j. X — À Y -H Z,

où 1, 'J-, V sont les indéterminées d'Olinde Rodrigues, résultent.

l32 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.

comme vous voyez, de la remarque de M. Rosanes. Je ne sais si ces expressions, sous forme rationnelle en \, pi, v, permettraient de démontrer votre proposition et surtout de la généraliser, ce qui serait extrêmement important. En tout cas, permettez-moi de publier dans les Acta mathématica (' ) votre lettre que mon éloignement de Paris m'empéclie de donner aux Comptes rendus et qui intéressera vivement, indépendamment de son application mécanique, et veuillez, en même temps, recevoir la nouvelle assurance de mes sentiments de haute estime et de sincère amitié.