STIELTJES A H ERMITE

Leyde, 6 septembre 1884.

MoN!

J'ai appris avec (bien) beaucoup de tristesse cette mauvaise nouvelle de votre santé, que vous me donnez dans votre dernière lettre. Veuillez accepter mes vœux sincères pour votre rétablissement ! Je suis sûr que partout, dans le monde mathématique, on en fera de même.

Votre lettre m'a fait reprendre l'étude de ce théorème sur les substitutions orthogonales et j'ai réussi, dans le cas de quatre variables, par un calcul qui ne laisse pas d'être un peu pénible. Le raisonnement suivant laisse à désirer sur un point, mais il s'applique à un nombre quelconque, pair, de variables.

Soient

a -f- Art h ^ \b (? -h Ac d -h \d

Art ' d" -}- \d'

les coefficients de deux substitutions orthosronales de détermi-

(') La lettre de Stielljcs a été publiée (par extrait) dans le Tome ^I, p. Sig-Sao des Acta mathématica, sous le litre : Un théorème d'Algèbre. — On peut rapprocher ce travail de Stieltjes d'un travail antérieur : Sur le déplacement d'un système invariaO/e dont un point est fixe {Archives néerlandaises des Sciences exactes et naturelles, t. XIX, p. Sya-Sgo; iS84).

liant -}- 1 , et de plus

■. + i Art 6 + I \b

\a Aô Ac Af/

\a"' . . .. Ul'"

En multiplianl, il vient

(aa) (ab) (ac) (ad)

(ab) (bb) (bc) (bd)

(ca)

(da) (dd)

en posant

(aa) = (a -h { \a) \a -h (a' -+- { \a') Aa'-

(ab) = (a-i-lXa) \b h- ( a' + \ \a' ) \b' -

en sorte qu'on a

(aa) = (bb) = (ce) — (dd) = o, (^ab) = — (ba), (ac)— — (ca).

c'est-à-dire le déterminant S est gauche.

Supposons R = o, cela entraîne S = o. Mais S étant gauche, la condition S = o entraîne que tous les mineurs de S s'évanouissent [cette remarque, qui s'applique à un déterminant gauche d'un ordre quelconque /?«//"^ n'a peut-être pas encore été formulée expressément (peut-être)].

En supposant maintenant que D n'est pas zéro, on en conclut aisément que tous les mineurs de R s'évanouissent aussi. En effet, en nommant D^, D^^, . . ., les mineurs de D, on aura

(art) (ab)

(da)

(ad)

(dd)

et les mineurs de R s'expriment linéairement par les mineurs des deux déterminants à gauche, il vient, par exemple,

DRa = 'èiaa) ^« + ^{ab) ^b + S(„,.; Ac -h S,

Rfl étant mineur de R, S^a^), S,^ad) étant des mineurs de S qui s'évanouissent lorsque S = o.

l34 CORRESPONDANCE d'iIEKMITE ET DE STIELTJES.

Il reste à faire voir que, lorsque R = o, on n'a pas en même lemps D = (I.

Dans le cas irun nombre pair de variables, ces deux dclerminants D et R sont de même nature parce qu'il est alors permis de changer de signe tous les nombres du Tableau.

\ ly .

Dans le cas d'un nombre impair de variables, D est identiquement zéro, et la démonstration précédente ne peut s'appliquer ( ' ).

J'ai été vivement frappé par cette belle remarque de M. Rosanes,

que vous avez portée à ma connaissance. Que c'est simple! On en

1 , 1 • -Al c 1 , , 1 ni n — [ ) , . déduit aussitôt les lormules générales avec arbitraires pour

la transformation d'une forme (juadratique en elle-même, qu'on vous doit (à vous), en même temps que l'expression rationnelle d'une substitution orthogonale due à Cajlej et qui a coûté tant de peine à Euler.

Si vous le jugez (cela) convenable, je verrai avec plaisir que vous publiez ce que bon vous semblera (semble) de ma lettre. Mais toutefois, cela ne doit pas vous coûter (causer) de la peine.

Je suis toujours, Monsieur, votre sincèrement dévoué.

P . S . — 11 j a (juelques jours, ma femme est accouchée duii hls. Heureusement la mère et l'enfant se portent très bien.