HERMITE A STIELTJES

Paris, 21 juin i8S5.

MOJVSIEIJR,

Vous avez mille fols raison, et j'ai grandement fait erreur en croyant que la partie entière dans votre équation

n'était pas convergente dans tout le plan. C'est ce que j'ai reconnu au moyen de l'expression dont Riemann fait usage, à savoir :

Écrivant, en efï'ct,

x^dx r x^dx /** x^ dr

/""■ xUlx r x^dx r x^dx

on volt d'abord que la seconde intégrale, qui n'est plus infinie pour s = o, détermine une fonction holomorphe de cette variable, si l'on convient de j)rendre parmi les diverses déteruiinations de .r^ ce que

LETTRr: 73.

j'observe qu'en supposant mod.i' <^ 2~ el a fortiori .x <ii, on a, en série convergente,

d'où

Jr x^dx r e-^ — i ~ s

Tl en résulte facilement que le second membre représente une fonction analytique de s dans toute l'étendue du plan, fonction méromorphe, admettant pour pôles 5 = 0, — i, — 2, .... Mais

est la fonction holomorphe

de sorte que le produit

a perdu tous ses pôles, à l'exce|)tion du seul pôle 5 := o et, en même temps, on voit que le résidu correspondant à ce pôle est bien égal à l'unité.

En m'excusant de vous avoir fait un reproche si mal fondé, je m'en permettrai un nouveau. Pourquoi, Monsieur, dans votre beau résultat, et qui m'a on ne peut plus intéressé,

(logi)'^' (logn)'^' (logn)^+>

écrivez-vous le premier terme et ne commencez-vous pas par le

, (log2)''''o T 1 7 -1

seconu ^ — - — • L,e cas de A' = o ne sera pas exceptionnel, avec cette minime précaution.

En vous renouvelant. Monsieur, l'expression de ma plus haute estime et de toute ma sympathie.