STIELTJES A II ERMITE

Monsieur,

Je ne crois pouvoir mieux répondre à votre lettre qu'en vous envoyant une démonstration de ma série — h C — C(5 +. • • qui me semble à l'abri de toute objection ( ' ).

L'idée de considérer ^(^ + i) comme définie par

est bien naturellement indiquée par la forme des coefficients C. Toutefois, ce n'est pas ainsi que j'ai trouvé d'abord ces coefficients. Mais on peut aussi, avec certaines précautions, obtenir le développement de cette façon et détruire tous les doutes. L'équation dont je fais usage,

Ç ( s -(- I ) = - -h — î— / ( — -) x^ e-^ dx

' s X\.{s)J^ Veï^— I xj

est valable pour partie réelle de 5 >■ — i , et étend ainsi déjà la définition originelle (originale).

Mais on a

se '- — : x^-\- . . ,,

et l'on peut écrire ainsi :

Ç(5-i-i)= i + i + — !— / i~ l^l\xse-^dx (PR5>— -2),

5 2 n(5)J|j Ve*- — 1 X 2/ ^ ■"

TTl—, -7: x)x-'e-^dx (PR«>— 4),

~xAx^e-^dx (PR5>G

(') Voir à la fin de cette lettre.

IJ2 CORRESPONDANCK D IlEHMITE ET DE STIELTJES.

I ; n(i) étanl holomorplie dans tout le plan, on reconnaît aussi, en procédant ainsi, le caractère analjlique de la fonction s (')•

J'avais cru, un moment, que ce procédé ne différerait j:)as au fond de votre méthode; mais cela ne me semble pas vrai et, tandis cjue votre méthode donne aussitôt les valeurs de "^{o), J^( — i), Ç( — :>.)..., les expressions précédentes donnent

/ Bi , „ B.2 — . [-4.3.2 ^—

et ce n'est qu'ajîrès avoir profité de ces relations /Il B,

I i .. Bi

qu'on trouve les valeurs définitives.

Ces relations (A), du reste, découlent de

Cette fonction X^ présente pour moi encore bien des difficultés; par exemple, jusqu'à présent, je ne vois aucun moyen sûr d'évaluer

(') Dans CCS formules, n(5) désigne, suivant les notations de Gauss, la fonction culérienne r(5-hi), et PRs la partie réelle de la variable imaginaire s.

LETTRE 75. l53

à peu près l'ordre de grandeur de Ca lorsque A" est grand. Je penche un peu pour croire que les Ca eux-mêmes (sans être divisés par 1.2. . .k) diminuent rapidement; mais je ne vois pas clair et peux me tromper.

Je vous remercie encore d'avance, Monsieur, pour la rédaction de

votre démonstration de ^(; H- i) = - + (j'(:;) et sais avec le plus

profond respect votre serviteur bien dévoué.

Développement de (j(.y + i).

Je pars de la relation

G'(s + I ) = --- — • / dx,

que j'écris d'abord sous la forme

ce qui met en évidence déjà que

Q{s -\- i) ■ =G (pour s = o),

G étant la constante bien connue d'Euler.

En développant l'intégrale suivant les puissances de s, 11 vient

où

«„=^ {-l--'-:^y\0^X)ndx.

Je vais calculer maintenant la valeur de a„. Pour cela, je rappelle que

n(5)= / xse-'^dx, d'où, en dilTérentiant n fois,

n(«)(o)= / {\ogx)" e-"^ dx = k l {\o^x -\-\o^k)n e-i^^ dx, (2) / {\o^x -h\ozk)"e-''x dx = j\\"{o) (/.•>o).

En posant, pour abréger, log^ -+- logA' = T, on aura

/ {logx)"e-^-^ dx = I Çï — \ogk)"e-'''^ dx,

el développant la formule du binôme, on trouve, à l'aide de (2),

1) / {\o^x)"e-''-': dx ^0

Al k \.i k

En prenant successivement ^ := 1 , 2, 3, . . . , r, et faisant l'addition

^) J i^e-^ {lo^xydx

n'Ho)(--4--H-3

" r. ,/ X /'oS2 loi;3 loï/-\

Le premier membre peut se mettre sous la forme

-+- / (l0ga?)«(5?^

— / ( ! )e-('-+"'^(lo£r^)" f/a7.

La première intégrale est précisément «„, la troisième tend évidemment vers zéro; quant à la seconde, en la désignant pary(/'), il vient

/'(/•)= j e-'''-+^ix{\o^x)" dx c'est-à-dire, d'après (3),

■^''^''-■)nu-.-(o)''°8<'- -*-■>''-...,

donc,/(r) s'évanouissant avec r,

Il vient donc

n „ , , , Uoga logr i r . . n"-i(o) — ^ 4-...M 2 [|og(,. + ,)]2

»("« — I) ^^ I(l0g2)2 (log/-)- f ri / 1,1

et, pour /• = 00, en posant

G = - H-.- -f-. . .H logf/'-t-i) (r = zo).

^ (log2)^" (log;-)^' T r, ,

C/,= ^ — ^-^ +...4- ^ ^ ^ ^ log(r + i)U-+i

(;- = cr., /c =1, 2, 3, ...),

Celte valeur de «„ montre bien que la série

est le produit des deux séries

et

TT/ X n(i)/ N n^o) , n"(o)

Or la première série étant le développement de n(5), l'équation (i) donne

l56 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET DE STIELTJES.