Correspondance entre Lejeune Dirichlet et Liouville

Permettez-moi de vous exprimer d'abord tout le plaisir que j'ai éprouvé en recevant le diplôme de l'Académie de Berlin; je suis fier d'être deux fois votre collègue. Présentez, je vous prie, à

(1) M™" de Blignières, à qui le Bulletin doit déjà d'avoir publié les inédits «le Galois, a bien voulu me confier dix lettres de Lejeune-Dirichlet, dont sept à Liouville et trois à M'"'' Liouville; elle a retrouvé avec ces lettres plusieurs brouillons de la main de son père, qui correspondent en partie aux lettres de Dirichlet.

Tous ceux qui ont connu Liouville savent qu'il était très droit et très vif; l'âge n'a jamais éteint chez lui la chaleur de ses sentiments, il écrivait avec la même vivacité qu'il sentait : on s'en apercevra assez aux lettres que nous publions ; j'ai cru toutefois devoir supprimer quelques lignes fCt quelques noms propres; sans doute, ces lettres, ou ces brouillons, appartiennent à l'Histoire, mais il ne s'est pas écoulé beaucoup plus de 5o ans depuis que les dernières ont été écrites. D'ailleurs, c'est à un ami très cher qu'il écrivait, et Liouville, bien qu'il ne craignît pas de dire aux gens leurs vérités en face, n'aurait sans doute pas voulu que ses appréciations fussent rendues publiques.

Les lettres de Dirichlet à M'"* Liouville n'intéressent pas la Science; elles contribueront à faire connaître celui qui les a écrites et la nature des relations, évidemment très affectueuses, qui existaient entre lui et la famille Liouville.

Des longues conversations de son père avec Dirichlet, M"'= de Blignières a conservé un souvenir amusant : tous les deux étaient fort loquaces; ils avaient sans doute beaucoup de choses à dire. Liouville ne pouvait pas souffrir les lampes; il s'éclairait avec deux bougies et deux chandelles; pour mesurer le temps aux deux interlocuteurs, on avait recours non à une pendule, ni à un sablier, mais à une vieille méthode que je crois qui remonte au moyen âge : on fichait, à des intervalles réguliers, un certain nombre d'épingles dans une des chandelles; entre T. I.

l'Académie Texpression de ma bien sincère et bien vive reconnaissance. J'ajouterai que \otrc leltre m'a fait autant de plaisir au moins que le diplôme : il n'y a pas de géomètre que j'ai estimé et aimé autant que vous, avant même de vous connaître personnellement, et depuis que je vous connais, je n'ai pas assurément changé d'avis. Jugez avec quel empressement j'accepte vatre idée d'une correspondance mathématique. 11 est vrai que mon empressement pourra passer quelque peu pour de l'égoïsme, car c'est moi qui ai tout à gagner à une telle correspondance.

Je dois maintenant vous expliquer pourquoi j'ai tant tardé à vous répondre.

Le bien-être moral ne guérissant pas le mal physique, j'ai été malade pendant une huitaine de jours. J'ai eu une fièvre assez forte ; j'ai été obligé de garder le lit et de renoncer à tout travail quelconque. Première cause de retard.

Ayant communiqué à diverses personnes les détails mathématiques contenus dans votre lettre, toutes en ont été enchantées et m'ont dit qu'il fallait absolument en présenter un extrait destiné à être imprimé dans le compte rendu; j'ai résisté, j'ai répondu que je n'avais pas votre autorisation^ on n'a pas voulu entendre mes raisons; on m'a dit que votre lettre était si bien faite que vous n'auriez rien à y changer dans le cas où vous auriez désiré qu'elle fût rendue publique, etc., etc. Bref, on a tant insisté que j'ai élé obligé de céder, en sorte qu'un extrait de votre lettre se trouve dans le compte rendu de la séance du 2^ février (*) et dans

deux épingles, celui qui pailail avait le droit de ne pas être interrompu. Quand la dernière épingle tombait, les deux géomètres allaient dormir. J. T.

A. la remarque de M. Tannery j'ajouterai la suivante : Liouville, que j'ai eu l'honneur de suppléer dans son cours de Mécanique rationnelle à la Sorbonne, de 1872 à 1878, m'a répété plus d'une fois que Humboldt, ayant fait à Paris la connaissance de Dirichlet, l'avait fait nommer à lierlin pour avoir le plaisir de causer avec lui. Liouville ajoutait : a Si, à cette époque, Dirichlet avait pu obtenir une petite place à Paris, nous l'aurions sans doute gardé parmi nous. »

(') Comptes rendus, t. X, p. 280; Œuvres de Dirichlet, t. I, p. <J2i. li s'agit surtout de la proposition suivante :

« Si l'équation

s"--t- as"- '-+-.. .4- gs -\- h — 0,

à coefficients entiers, n'a pas de diviseur rationnel, et si parmi ses racines

le cahier de février seulement de mon Journal ('), lequel cahier paraîtra demain seulement. Peut-être ai-je eu tort, peut-être ai-je commis une indiscrétion; si cela est, il faudra me le dire, afin que je ne recommence pas. Et même désormais peut-être feriez-vous bien de m'indiquer ce qui peut se montrer ou se publier et ce qui doit rester entre nous. Quoi qu'il en soit, si j'ai commis ici une faute, pardonnez-la-moi, je vous en prie, en faveur des circonstances atténuantes et considérez qu'après tout vous êtes le premier coupable, car si vous n'aviez pas rendu votre lettre si intéressante, personne n'en aurait demandé la publication.

Cette publication a été une seconde cause du retard pour la réponse que je vous devais, voici comment :

M. Libri ne s'est-il pas avisé [^Compte rendu du il\ février (-)] de présenter sans la lire une Note renfermant des remarques critiques sur votre lettre : j'ai dû attendre que la Note fût imprimée pour en prendre connaissance et y répondre, ce que j'ai fait lundi dernier; désirant, d'ailleurs, vous donner des détails complets sur cette affaire, j'ai cru devoir reculer encore de quelques jours le plaisir de causer avec vous.

Voici les points principaux de la Note de M. Libri :

i" Vous aviez avancé que deux conditions suffisantes étant remplies (savoir que l'équation s"^ -\- as'^ ~^ +. . . + ^5 -f- A = o ait au moins une racine réelle et n'ait pas de diviseurs rationnels), l'équation indéterminée cp(a) o( p) . . . c3(to)=z: i a une infinité de solutions en nombres entiers. M. Libri dit que l'on pourrait peut-être croire que vous regardez ces conditions comme néces- I ^ saires. J'ai répondu que je ne voyais pas pourquoi, lorsque vous avez raison dans tout ce que vous dites, on irait supposer que

il y eu a au moins une qui soit réelle, je dis que Téqualion indéterminée

V{x,y,...,z) =9(a)9(P)...9(o3)::=i, où l'on a posé pour abréger

9 ( a ) = ^ + ay + . . . + a"""' z,

a toujours une infinité de solutions entières. » (') T. V, p. 72.

( - ) Note de M. Libri sur un théorème de M. Dirichlet ( Comptes rendus, t. \ ,

p. 3ii).

vous avez des idées fausses sur les choses dont vous ne parlez pas. Dans une lettre de trois pages qui n'était pas même consacrée tout entière aux Mathématiques, était-il naturel (ai-je ajouté), était-il possible de descendre aux détails minutieux que demande M. Libri?

N'ayant eu la Note à ma disposition que le dimanche matin^ ce n'est que mardi (par conséquent après ma réponse faite) que j'ai vu qu'il aurait été possible de rendre cette réponse bien plus piquante. En effet, M. Libri avance et croit démontrer que l'équation çp(a)cp(J3). . .çp((o)= I a toujours une infinité de solutions dès que le dernier terme h de l'équation

5« -h a^"- ^ -^ . . . ->r- gS -^ Il = O

est égal à zh I , et cela quelle que soit la nature des racines a, [3, ..., 0) et malgré les diviseurs rationnels que l'équation en s pourrait avoir. Or, ce théorème de M. Libri est, par exemple, inexact lorsque l'équation en s se réduit à 5-+ i = o, car on en conclurait que l'équation

a une infinité de solutions, ce qui est absurde. Toutefois, il est juste de dire que dans le cas de l'équation 5^+ 25 -f- i = o, dont le premier membre est décomposable en deux facteurs rationnels^ on arrive à l'équation indéterminée {x — JK)"= ï q'^ii ^7 en efl'et, une infinité de solutions. Mais en quoi cela contredit-il ce que vous avez avancé? Quelle rage a M. Libri de présenter à propos d'une lettre très concise des remarques qui seraient encore ridicules lors même qu'il s'agirait d'un Mémoire détaillé. Surtout, il n'aurait pas dû avancer un théorème faux. N'est-ce pas le cas de dire qu'en voulant mettre des points sur les i de votre lettre, le sot critique les a mis à côté?

Au reste, je présenterai sans doute lundi prochain (^) une addition à ma Note, et je relèverai le théorème inexact de M. Libri.

c\" Il a aussi essayé de répondre à votre ancienne remarque sur

(') Sur un théorème d'Analyse indéterminée ou additions aux observations sur une Note de M. Libri insérée dans le dernier Compte rendu ( Comptes rendus, t. \, p. 38 1).

les formules de Gauss et la détermination du signe du radical carré. Il déclare n'avoir jamais compris le sens ou le but de votre observation. Je crois, dans ma réponse, l'avoir bien fait comprendre sinon à lui, du moins au public. Groiriez-vous que, dans sa réplique, il a été jusqu'à vous citer vous-même comme une autorité en sa faveur et qu'il a rapporté (en altérant passablement) ce que vous lui avez dit un jour à ce sujet en présence de M. Gournot Vojez pourtant à quel rôle stupide on s'expose quand on veut régner par le charlatanisme.

Voilà une bien longue lettre et pourtant une lettre bien vide. Excusez-moi; ce n'est pas tout à fait ma faute. Il faut même que j'ajoute encore deux mots. A. propos de votre théorème sur les formes quadratiques qui renferment une infinité de nombres premiers, M. Libri croit qu'il serait peut-être possible de le déduire d'un théorème connu par Euler dès l'année 1770 : il n'a pas même dit quel est ce théorème d'Euler. J'ai beaucoup ri de cette phrase, mais j'ai eu soin de déclarer que je n'avais rien à répondre à une assertion si prudente et si vague.

Vous trouverez aussi dans son factum un pompeux éloge de ses propres méthodes pour la résolution des équations indéterminées. Ge sera à vous de voir si vous daignez oui ou non répondre à toutes ces pauvretés.

Permettez-moi de ne pas compter cette lettre comme une réponse suffisante à la vôtre et de vous écrire de nouveau d'ici à une quinzaine de jours. Je tâcherai de trouver un sujet plus intéressant que celui d'aujourd'hui (').

Vale et me ama.

DIRICHLET A LIOUVILLE

Monsieur et triss cher Ami,

L'amitié que vous voulez bien avoir pour moi et dont vous m'avez donné récemment de nouvelles preuves qui m'ont vivement pé-

(') En tète de sa lettre, Liouville a bien écrit 5 février; d'après le contenu, il est clair que la lettre a été écrite dans la semaine qui précédait le lundi 9 mars. C'est sans doute 5 mars qu'il faut lire.

nétré, me font espérer que vous excuserez mon long silence et que vous ne l'attribuerez qu'à des occupations indispensables et qui ne souflfraient aucun retard. Sans ces occupations, je n'aurais pas attendu jusqu'à présent pour vous remercier de l'accueil indulgent que vous avez bien voulu faire aux communications mathématiques contenues dans ma dernière lettre. En vous parlant de ces premiers essais sur une matière encore neuve, j'étais loin de penser que vous les jugeriez assez favorablement pour les croire dignes des lionneurs du compte rendu. Mais comme en définitive dans ce que j'ai avancé, il n'y a rien qui ne soit littéralement exact, je ne vois d'autre mal à la publicité que ces essais ont reçue, que l'ennui que vous avez eu de faire justice des sottes attaques de M. Libri. Permettez-moi de vous exprimer toute ma reconnaissance pour le service de véritable amitié que vous m'avez rendu par votre excellente réponse et de vous assurer que l'obligation que je vous en dois est d'autant plus grande que je sens bien que vous m'avez beaucoup mieux défendu et pour le fond et pour la forme que je n'aurais pu le faire moi-même.

En voyant le dédain avec lequel M. Libri parle des fonctions homogènes que Lagrange a le premier considérées et qui ont le malheur de n'être pas les plus générales de leur degré, je n'ai pas pu m'empêcher de rire. Il faut avoir un esprit aussi superficiel que l'est celui de M. Libri pour mesurer l'importance d'une expression analytique sur le nombre plus ou moins grand des indéterminées ([u'elle renferme. Pour juger ainsi, il faudrait donc dire aussi que la congruence binôme x^^ — a ^ o (mod X), qui dès que n >» 2 n'est plus la plus générale de son degré, ne présente aucun intérêt <et cependant il n'y £a] personne qui ne sache, et M. Libri lui-même devrait le savoir, à combien de difficultés et à combien de résultats intéressants la théorie de cette congruence particulière (théorie qui ne s'étend, même jusqu'à présent, malgré les travaux de plusieurs géomètres, qu'aux cas où /i = 3 et n = 4) donne lieu. Si M. Libri s'était livré à une éjtude approfondie et laborieuse du sujet, il aurait reconnu que les fonctions homogènes décomposées en facteurs linéaires (plus générales que celles de Lagrarge en ce seul point qu'on ne suppose aucun de leurs coefficients égal à l'unité) présentent, malgré leur forme pa**ticulière ou plutôt en v^ertu de cette forme, le plus grand intéjrê.t ^çj. sont aussi étendues

que les formes quadratiques auxquelles elles se réduisent dans le cas du second degré. Je crois pouvoir assurer, d'après les recherches suivies que j'ai faites sur cette matière depuis plus de six mois, qu'il y a peu de sujets plus féconds et que les propriétés de ces expressions répandent une vive lumière non seulement sur la science des nombres, mais encore sur le calcul intégral et particulièrement sur les transcendantes abéliennes avec lesquelles le sujet a des rapports très intimes et très nombreux et je puis ajouter que la théorie de ces fonctions se lie aussi à une branche d'analyse encore très peu cultivée et qui se réduit presque dans son état actuel au théorème si célèbre de Lambert sur l'irrationnalité de t: et de ^©n carré, l^es résultats que j'ai déjà obtenus et ceux que j'entrevois d'une manière assez distincte pour être sûr d'y parvenir dans un temps donné, sont déjà assez nombreux pour fournir matière à un Ouvrage d'une certaine étendue et j'ai lieu d'espérer qu'à mesure que j'avancerai dans mon travail, le sujet s'étendra déplus en plus. Lorsque j'aurai réuni un certain nombre de résultats sous une forme que je pourrai croire définitive, je vous demanderai la permission de vous les communiquer, et votre approbation, si je suis assez heureux [)our l'obtenir, sera pour moi un encouragement à entreprendre la rédaction d'un Traité étendu sur la matière.

Je viens de voir avec le plus vif intérêt l'extension que vous avez donnée à vos recherches sur les fonctions elliptiques ( ' ) et (|ue vous êtes parvenu à prouver que ces transcendantes, considérées comme fonctions de leur module, ne sauraient s'exprimer sous forme finie. J'espère que votre travail ne tardera pas à paraître dans votre journal à moins que vous ne l'ayez destiné pour la collection de l'Académie. Dansée dernier cas, je vous prierai de m'en faire parvenir un exemplaire particulier dès que l'impression en sera achevée.

Quoique depuis l'été dernier, où j'ai vu M. Poisson n'étant déjà plus que l'ombre de lui-même, je fusse préparé à sa mort, la nouvelle de cet événement m'a vivement affecté. La perte que la Science a faite sera longtemps et vivement Dcssentie; elle est malheureusement déjà assez grande pour qu'il ne soit pas nécessaire

( ' ) Mémoire Sur les transcendantes elliptiques de première et de seconde espèce, considérées comme fonctions de leur module {Comptes rendus, t. X, j). 2 ; Journal de Liouville, t. V, p. .|')i).

de l'exagérer en disant avec M. Cousin que nous avons perdu le premier de nos géomètres. Pourquoi faut-il qu'aux regrets universels qu'inspire le mort illustre se mêle le souvenir des nombreuses injustices dont s'est rendu coupable l'homme au pouvoir? Parmi ces injustices, il n'y en a pas de plus grandes et qui exigent une réparation plus prompte que celle qui a été commise envers notre ingénieux ami Sturm qui a été laissé dans une position subalterne et qui s'est vu préférer des charlatans adroits pour qui la Science n'est qu'un moyen de parvenir. Espérons que M. Poinsot s'empressera de faire à notre ami une position digne de lui et qui lui permette d'ajouter de nouvelles découvertes à celles dont la Science lui est déjà redevable : quoique j'aie écrit à M. Sturm, il y a près de six mois, comme il est correspondant encore plus paresseux que moi-même, je n'espère guère avoir de ses nouvelles directes; veuillez donc me dire ce qui a été fait ou ce qui sera fait pour lui.

Me permettrez-vous de vous charger d'une petite commission? Voici de quoi il s'agit : M. de Humboldt vient de publier dans le Journal de Crelle (*), ainsi que dans celui de Schumacher, la première lettre que Lagrange, encore à Berlin, a écrite à Laplace, et de laquelle résulte ce fait très curieux et entièrement inconnu que Laplace, qui venait seulement de débuter, a eu le désir de s'établir à Berlin et a été sur le point d'y être nommé comme Membre de l'Académie. 11 paraît que le succès de la négociation a été empêché par la nomination de Laplace à l'Académie des Sciences de Paris, et pour éclaircir entièrement ce point historique qui a beaucoup d'intérêt pour M. de Humboldt, il désirerait connaître l'époque précise de cette nomination. Si vous pouviez me fournir ce renseignement qui doit résulter de l'inspection des plumitifs (-) pour 1773 et 1774? vous rendriez un véritable service à M. de Humboldt qui paraît y attacher le plus grand prix.

Adieu, cher ami, et ne manquez pas de me donner promptement de vos nouvelles. Je sais bien que mon long silence ne me donne

(') Ein fruhercr Brief Lagrange' s an Laplace {Journal de Crelle, t. 20, p. 309).

(2) Peul-ctre n'esl-il pas inutile dédire que Diriclilet emploie ce mot dans son vrai sens : « Papier original sur lequel on écrit les sommaires des juj^einents d'un tribunal, les délibérations d'une compagnie» (Littué).

pas le droit de compter sur une réponse prompte; mais je vous promels d'être plus exact à l'avenir.

Présentez, s'il vous plaît, mes respects à M"'^ Liouville, et rappelez-moi au souvenir de nos amis.

Tout à vous

LEJEUNE-DIRIGHLET.

Berlin, le 6 mai i84o.

Si vous voyez M. Riess, qui est enchanté de l'excellent accueil que vous lui avez fait, dites-lui bien des choses de ma part.

M. Gauss (*), qui est beaucoup occupé de problèmes généraux relatifs à l'attraction, vient de lire un Mémoire étendu sur cette matière à la Société de Guttingen. Il en a donné un extrait de trois pages dans les Gottinger Gelehrte Anzeigen (-), mars i84o, que vous jugerez peut-être convenable d'insérer dans votre journal. Si la feuille littéraire citée ne se trouve pas à Paris, faites-le-moi savoir, je vous ferais alors parvenir la traduction de l'article en question. J'appelle également votre attention sur les Œuvres complètes d'Abel, qui viennent de paraître et dans lesquelles se trouvent plusieurs morceaux inédits.

LIOUVILLE A DIRICHLET.

Mon Cher Monsieur Dirichlet

Je dois d'abord vous remercier de votre bonne lettre. Vous comprenez sans peine quel vif plaisir j'ai eu en la lisant. Je ne regrette plus l'indiscrétion que j'ai commise en publiant sans autorisation votre Note dans le Compte rendu; je m'en félicite, au contraire, puisqu'elle m'a valu un témoignage d'amitié si flatteur pour moi. Il y a là, sans doute, de quoi compenser cent fois pour une l'ennui que j'éprouve à m'occuper de M. Libri, c'est-à-dire

(') Ce dernier paragraphe est écrit dans la marge de la première page.

(^) Gauss, Werke, t. V, p. 3o5; c'est un court résumé des célèbres Allgemeine Lehrsàtze, etc. (t. V, p. 197), dont Liouville a publié une traduction dans sou Journal, t. VII, p. :>73.

d'un homme qui, dans l'Académie du moins, commence à être méprisé presque autant qu'il le mérite.

Vous avez bien raison de dire qu'il ne faut pas mesurer l'importance d'une expression analytique sur le nombre plus ou moins grand des arbitraires qu'elle renferme. C'est presque toujours en limitant le nombre et l'étendue de ces arbitraires que l'on parvient à découvrir des propriétés saillantes et à saisir la clef des théories. Le cercle n'est pas, assurément, la courbe la plus générale de son espèce. S'avisera-t-on de blâmer les géomètres qui ont consacré leurs veilles à l'étude des propriétés si fécondes et si nombreuses du cercle?

Continuez donc vos recherches et laissez votre critique intégrer toutes les équations linéaires aux différences finies, et toutes les équations diOercntielles du premier ordre : laissez-le renfermer dans une seule formule toute la théorie des nombres, ou bien résoudre le fameux problème des échecs : Deux personnes jouant le mieux possible, trouver en série convergente après combien de coups U une d'elles sera nécessairement échec et mat. Ces théories oe/ie;'a/e5 sont bien belles, mais comment se fait-il qu'elles ne puissent servir dans aucun cas particulier?

J'ai étudié depuis un an, avec beaucoup de soin, ce que vous avez écrit sur la théorie des nombres, et j'ai parcouru les Auteurs qui vous ont précédé. 11 est sûr à mes yeux que vous êtes dans la bonne voie et que vos derniers Mémoires renferment des théories absolument neuves dont rien jusqu'ici ne pouvait donner l'idée. J'ai profité du Cours dont je suis chargé au Collège de France pour développer au public quelques-unes de vos méthodes : malheureusement, le Cours est spécialement consacré à la Physique mathématique, en sorte que je n'ai pu donnera cette espèce d'excursion dans le domaine de l'analyse pure le temps que j'aurais désiré. Je me suis borné à exposer votre démonstration des séries périodiques, celle des séries de M. Gauss, le théorème sur la progression arithmétique dans le cas seulement où la raison est un nombre premier, enfin les propositions relatives aux signes des (piantités ( ' ) 26 — S^, A — B, etc. C'est une bien petite partie

(') Ces notations sont celles de Dirichlet dans son Mémoire Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres (Journal de C relie, t. 18, p. -!■';);

de vos belles recherches, mais vous comprendrez que je ne pouvais faire davantage, ayant devant moi des auditeurs étrangers aux premiers principes de la théorie des nombres et pour lesquels il fallait reprendre chaque question ab ovo.

En préparant ces leçons, j'ai naturellement essayé d'ajouter quelques gouttes d'eau à votre rivière. Ainsi, j'ai reconnu que la relation entre S^ — Sa et A — B que l'on obtient en éliminant le déterminant ( ' ) A entre les deux formules que vous avez données peut (ainsi que beaucoup d'autres relations du même genre) être obtenue directement par les principes les plus élémentaires; ces relations ne dépendent nullement des séries de M. Gauss. Mais vous pensez bien qu'une telle remarqye (qui n'a pas pu, d'ailleurs vous échapper) n'a jamais eu à mes yeux grande importance. J'en attachais moins encore à quelques exemples de détermination de signe difierents des exemples ^b — Sa, Srt- — 2^-, etc., que vous avez présentés. Une telle généralisation s'offrait d'elle-même et vous appartenait d'avance : il aurait fallu être slupide pour ne pas l'apercevoir à la première lecture des quelques lignes consacrées par vous à ce sujet. Jugez donc de mon étonnement de me voir cité par M. Cauchy dans les deux Notes (-) qu'il s'est avisé de publier à votre suite, surtout dans celle du i i mai. Je ne vois guère dans ces Notes qu'une amplification de bon écolier, rédigée sur le texte du maître :

Je n'ai pas pu travailler beaucoup cette année : outre le Mémoire sur les fonctions elliptiques, j'ai composé une Note sur l'équation

Œuvres, t. I, p. 36o ) \ a ci b désignent respeclivenient les résidus et non-résidus <^iuadratiques d'un nonnbre premier, moindres que ce nombre; A et B désignent i-espectivement combien il y a de résidus et de non-résidus quadratiques, moindres que la moitié du nombre premier.

(') Dans le iMétnoire de Diriclilet, h représente non le déterminant d'une forme quadratique, mais le nombre de formes quadratiques distinctes (non proprement équivalentes) d'un déterminant donné. Au reste, Liouville avait primitivement écrit : « en éliminant le radical des deux formules que vous avez ».

(-) Tliéorèmes divers sur les résidus et les non-résidus quadratiques {Comptes rendus, t. X, i6 mars 1840^ p. 4«>7 5 Œuvres, 1'° série, t. V, p. i35). — Sur quelques séries dignes de remarques, qui se présentent dans la théorie des nombres {Comptes rendus, t. X, n mai i84o, p. 719; Œuvres, i'" série, t. V, p. ,99).

(le Riccati (^) dont je trouve directement les cas d'intégrabilité et de non-intégrabilité : je tâcherai de vous donner une idée de cela dans une lettre que je remettrai à M. Riess. J'ai une réponse (un peu longue) à votre objection sur les séries dont les termes dépendent des fonctions V; et de plus une nouvelle méthode pour sommer ces séries : je suis très content de cette méthode dont je vous avais déjà indiqué le ])rincipe lors de votre séjour à Paris; elle est très simple et très élégante (^): j'attends les vacances pour polir tout cela. Au milieu des ennuyeuses occupations qui m'accablent, le temps me manque pour des recherches suivies.

Adieu, tout à vous.

P. S. Condorcet ayant été adjoint à M. de Fouchy, secrétaire, la place d'associé mécanicien qu'il occupait à été donnée à M, Desmarest, adjoint mécanicien, et celle d'adjoint à M. Delaplace. Voici les dates. Samedi 20 mars 1773 : L'Académie ayant procédé suivant la forme ordinaire à l'élection de deux sujets pour remplir la place d'associé mécanicien de M. de Condorcet, les premières voix ont été pour M. Desmarest et les secondes pour M. Delaplace. Mercredi 24 mars 1773 : On donna avis que le Roi a nommé M. Desmarest pour remplir la place d'associé mécanicien vacante par l'adjonction de M. de Condorcet au secrétariat. Sa Majesté désire aussi que l'Académie procède à l'élection pour la place d'adjoint vacante par la promotion de M. Desmarest. Mercredi 3i mars: L'Académie ayant procédé suivant la forme ordinaire à l'élection de deux candidats pour remplir la place d'adjoint mécanicien vacante par la promotion de M. Desmarest, MM. les Pensionnaires et Associés mécaniciens ont proposé MM. Delaplace, Marguerit, Monge, Legendre et Mauduit. Après quoi, l'Académie ayant été au scrutin, les premières voix ont été pour M. Delaplace et les secondes pour M. Marguerit. Samedi 24 avril 1773 : Le Roi a nommé M. Delaplace pour remplir à l'Académie des Sciences la place d'adjoint mécanicien vacante par la ])romotion de M. Desmarest à celle d'associé.

(') JicDiarques noin'e/lcs su/- L'équation de liiccali {Comptes rendus, t. XI,

( ^ ) Sur les conditions de convergence d'une certaine classe de séries {Comptes rendus, t. XI, p. 61')).

LIOU VILLE A DIIUCHLET.

Paris, 7 juillet i84o.

Mon cher Monsieur Dirichlet,

M. Cauchy vient de nous communiquer un théorème à la fois si général et si simple, que je crois vous rendre un \Tai service en vous donnant l'énoncé huit jours avant le compte rendu (*). Ce théorème est relatif à l'intégration des équations différentielles ou à différences partielles linéraires, à coefficients constants ou variables. M. Cauchy prouve que, si l'on saifintégrer ces équations lorsqu'elles n'ont aucun terme indépendant des variables principales, on en conclura de suite les intégrales relatives au cas où l'on ajouterait à leurs seconds membres des fonctions connues quelconques.

Par exemple, pour intégrer

on cherchera une fonction '| ou à(x,y, ^, G) qui pour t = ^ se réduise à m(x^y^ 9) et satisfasse en outre à l'équation ( i ) privée de second membre. Cela posé, la valeur complète de o sera

cp = / 4; <^G H- M,

u désignant l'intégrale de l'équation (i) privée de second membre. Pour s'en convaincre, il suffit de vérifier que l'équation (i) est

satisfaite pour ^= à d^. Or on a

do

et, par suite,

(') Comptes rendus, t. X, p. 967, et t. XI, p. i. — Œuvres de Cauchy, ° série, t. V, p. 286 et 249.

puisque l'cquation 6(x, y, ^}, ^) = m{x, y^ ^), où 9 est indéterminé, entraîne celle-ci à(x^ y^ t^ t) = 7cj(x, y, t). Dès lors la quantité

-^ -f- f(x, y, /) '- -i-Fix, r,t) — -

est égale à

c'est-à-dire ti5(^^,j^, /), puisque la fonction

11 y a des règles tout aussi simples et que vous trouverez de suite soit pour une équation contenant des dérivées d'ordre supérieur par rapport à t, soit pour un système quelconque d'équations linéaires d'ordre quelconque. Au surplus tous les cas peuvent se ramener (en augmentant, s'il le faut, le nombre des variables principales) à celui où d n'existe que des dérivées du premier ordre par rapport à ^ et où, de plus, chaque équation ne contient qu'une seule dérivée relative à cette variable t.

Adieu, mon cher ami, tout à vous,