LIOU VILLE A HAUSSMANN

Paris, 4 décen)bie i856.

MoiNSlKUK,

Je reçois la lellre par laquelle vous m'annoncez que la Société royale des Sciences de Gœllingue vient de m'adnietlre au nombre de ses associés étiangers. Ce témoignage d'estime de la part d'un corps si distingué me louche vivement et me pénètre de reconnaissance.

Veuillez, Monsiein-, recevoir mes remerciements empressés et transmettre à mes nouveaux confrères l'expression de ma profonde gratitude.

A M. Haussmann, secrétaire perpétuel.

DIRICIILET A MADAME LIOUVILLE.

Oui, Madame, après tant de services que vous avez daigné me rendre, j'ose vous en demander un nouveau qui aurait [)our moi plus de pi'ix encore que l'enq)lette de la fameuse robe qui (ait toujours l'admiration de la société de Gœttingue. Mais malgré l'impoifcance que j'attache à la chose (pie je voudrais obtenir par votre bienveillante intervention, je dois vous prier instamment de regarder ma prière comme non avenue, si la chose pouvait vous causer le moindre embarras et ne se trouvait pas, en quelque sorte, sous votre main. Voici, Madame, de quoi il s'agit. Je crois vous avoir dit qu'une de mes nièces prévoyant qu'à la mort de son père — événement survenu depuis — elle se trouverait piesque sans forlunc, avait eu le bon esprit de se formera l'état d'institutrice et (pTaprès avoir fait un bon examen et obtenu un di[)lôme, elle s'était engagée dans un pensionnat de Londres où elle fonctionne dt;piiis près de deux ans. (^elLe jeune peisoiine — el en la nommant ainsi, je la flatte un peu puisque ma nièi'e a passé la trentaine — avant de retourner en Allemagne, voudrait se perfectionner dans la langue française et se placer à cet effet vers l^âques, où son

engagement actuel finit, dans quelque pensionnat de Paris. Si donc, Madame, parmi les personnes avec lesquelles vous êtes en relation à Paris, se trouvait quelque maîtresse de pension et que, l'occasion se présentant, vous voulussiez vous informer auprès d'elle, si elle pourrait employer une jeune allemande sachant, outre sa langue, assez bien l'anglais et les éléments des nombreuses sciences dont on est dans l'usage de donner une teinluie aux jeunes demoiselles, je vous devrais une éternelle reconnaissance. Dans le cas où la réponse serait favorable, veuillez. Madame, me le dire en deux mois et me donner en même temps l'adresse de la maîtresse de pension pour que ma nièce puisse lui écrire et lui envoyer ses certificats. — Mais, je le répète, Madame, prenez que je n'ai rien dit si vous ne connaissez [)as de maîtresse de pension et si le service que je vous demande pouvait exiger des démarches qui vous donnassent le moindre souci.

Puis-je vous prier d'agréer les amitiés de Mad. Dirichlet ainsi que mes hommages respectueux et [de] nous rappeler au souvenir de toute votre famille?

P. S. — Il est sans doute superflu d'ajouter que si ma nièce pouvait se placer dans quelque famille, cela vaudrait mieux encore.

Votre dévoué

G. lejeune-dirighlii:t.

Gœttingue, ce 12 déc. i856.

DIRICHLET A LIOU VILLE.

Mon cher ami.

Par le plus singulier des hasards, je me trouve en mesure de lever la difficulté qui vous tourmente, sans que cela me coûte aucun effort d'esprit et voici comment. Outre M. Riemann dont je vous ai déjà parlé, nous avons ici un autre jeune agrégé de l'Université, fort distingué, M. Dedekind ( ' ) qui s'est beaucoup occupé de la théorie des équations — il connaît à fond les travaux de Galois — et de celle des congruences. Ce j(Mine savant ayant

(•) En marge : il y a de lui deux ou trois Mémoires d'elle.

leniarqiK', il y a déjà cjiielqiie temps, la lacune dont il s'agit dans le Mémoire de M. Kunimer (') s'est attaclié à la combler et, après j être parvenu à la suite de plusieurs tentatives infructueuses, il m'a fait part du moyen très simple dont il avait fait usage, et c'est ce moyen de Dedekind que je vais vous indiquer.

Conservant les notations de Rummer, il s'agit de prouver que la congruence o (jk) ^ o (mod^) aura e racines réelles si le nombre premier q satisfait à la condition cjf^\ [moàn). Avant de le faire, précisons bien le sens de la [)roposilion (pii consiste en ceci : il existe toujours des entiers u^ u^^ . . ., Ue-\ lels qu'on a identiquement

?(r) = (/ — ")(7 — "i)---(7 — "e-i) (mod</),

c'est-à-dire qu'en développant suivant les puissances de la quantité entièrement indéterminée y^ les coefficients des puissances semblables sont congrus mod^.

Le sens d'une congruence renfermant une indéterminée y ainsi fixé, rien n'empêclie d'étendre la définition au cas où les coefficients ne sont plus des entiers, mais des fonctions entières à

(') Je n'ai pas su préciser le Mémoire auquel il est fait allusion ici. Un peu plus loin, Dirichlet signale le Mémoire du Tome 53 (1857), p. 142-148, du Journal de d'elle : Ueber die den Gaussischen Perioden der Kreistheiluiig eiitspreclienden Congruenzwurzeln, où Kummer « revient sur le point en litige et le traite rigoureusement » ; il est à remarquer que Kummer, après avoir énoncé le théorème en question, et avant d'en donner une nouvelle démonstration, renvoie le lecteur d'une part au Mémoire du Tome 35 (1889), p. 827 : Ueber die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Priinfactoren, où il a donné divers développements relatifs à ce théorème, et, d'autre part, au Mémoire du Tome 30 (i845), p. 107-116 : Ueber die Divisoren gewisser Formen der Zahlen, welche aus der Théorie der Kreistheilung entstehen, où il en aurait donné une première démonstration rigoureuse : « Dièses habe ich zuerst in der Abhandlung . . .streng bewiescn. »

Quant aux notations qui ne sont pas expliquées dans la lettre de Dirichlet, leur sens résulte sans difficulté des divers Mémoires de Kummer.

Le nombre n est premier, n — i = ef; "OaC» == o, i, . . ., e — i) est une période au sens de Gauss, c'est-à-dire qu'on a

71^= a?" H- ols''+'-- -^ (xs''+^'^ -{-...-{- as^+^f-'^',

en désignant par a une racine imaginaire de l'équation x" — i = o et par g une racine primitive de la congruence a;"~'= i (mod/i); enfin 9 (y) est le polynôme y-\-A^y-'-h...-+-X^, à coefficients entiers, dont les racines sont les périodes Tf\,

coefticienls entiers des périodes yj, Tj,, ..., les coefficients étant regardés comme congrus lorsque, dans leur diflerence qu'on peut mettre, et cela d'une manière unique, sous la forme C'^l + Cl 7]i -f- . . . , c, c, , ... sont tous divisibles par le module q. Cela posé, considérons la congruence évidemment identique

z{z — i) . . . (^ — ^ + i) = ^'7 — z (mod^),

qui ne perdra pas ce caractère en j remplaçant :; pai" y — '^laj y étant une nouvelle variable^ il vient ainsi

= {y~'hayi~{y — \a)=y'i—y — {-r:i — 'r^) (mod^).

Va\ remplaçant r^a par 1^ somme des racines que cette lettre désigne et ayant ensuite égard à la condition qf ^ i (mod^i), on trouve facilement

ce qui réduit le second membre ày^ — y. Posant a = o, I, ..., e — I

et multipliant, il viendra

?(jK)cp(7 — i)...ç(jK — ^+I) = (JK'^— J)^=^JK^(JK — ir---(jK — ^ + l)^ (mod^).

De cette dernière congruence on conclut sur le champ la proposition fpi'il s'agit d'établir; il suffit d'j appliqu(îr un théorème connu et d'ailleurs facile à prouver. Vowv énoncer ce théorème, soient y(j^), f\{y)-) fn{y) des polvnomes à coefficienis entiers, les coefficients des [)lus hauts ternies étant supposés pour plus de simplicité égaux à Tunité. Si maintenant nous disons que/(jK) ^st divisible \)i\v J\[y) (mod^) lorsqu'il existe une congruence identique

Ay)^fi(y)My) (mod^)

et que nous appellions le polynôme f{y) irréductible suivant le module q loiscpi'il n'est divisible par aucun polynôme de degré inférieur, en exceptant le degré zéro, mod^, le théorème en question consiste en ce (pi'un polynôme iiréductible (mod^) qui divise (mod^yr) le produit d'autres polynômes, divise nécessairement (modry) l'un de ces derniers. Or, toute expression du pre-

micr degré étant irréductible, l'application du théorème à notre dernière cong. donne immédiatement comme je l'ai déjà dit, la proposition en question.

Il j a deux Mémoires très intéressants de M. Schonemann sur les congruences renfermant une variable y et rapportées à un module premier [Crelle, vol. 19, p. 3o6 (<), vol. 31, p. 269 (2)] dont le premier contient (à la page citée) une proposition qui est au fond la même que celle dont M. Kummer fait usage et dont nous venons de nous occuper (3). M. Kummer ne faisant pas mention des ingénieuses recherches de Schonemann, il faut croire qu'il ne les a pas connues. J'ajoute en terminant cette longue lettre que dans le dernier cahier de Grelle-Borchardt, vol. 53, cah. 2, que je viens de recevoir, M. K. revient de son côté sur le point en litige et le traite rigoureusement, mais, je crois, d'une manière moins simple que Dedekind.

Veuillez remercier Madame Liouville en mon nom de la communication qu'elle a bien voulu me faire, lui présenter mes respects et les compliments de Mad. Dirichlet, et nous rappeler au souvenir de toute la famille.

Votre tout dévoué

DIRICHLET.

Gœttingue, ce i" fév. 1857.

P. S . — Gomme vous étiez souffrant, j'attends sans retard des nouvelles de votre santé ainsi que de celle de Mr Chasles sur laquelle vous gardez obstinément le silence.

( ' ) Tkeorie der symmetrisclien Funktionen der Wurzeln einer Gleichung. Allgemeine Sàtze iiber Congruenzen nebst einigen Anwendungen derselben, p. 281-243 et 289-808.

( ^ ) Grundziige einer allgemeinen Tkeorie der hôheren Congruenzen, deren Alodul eine réelle Prinizahl ist, p. 269-825.

(^) Au lieu (Je considérer le polynôme 9 {y) dont les racines sont les diverses périodes, Schonemann considère, d'une façon générale, le polynôme

à coefficients entiers, dont les racines s'obtiendraient en remplaçant, dans une fonction symétrique entière à coefficients entiers des variables a,,, a,, ..., Or,, ces variables par les racines de x" — 1 = 0 dont les périodes sont les sommes respectives; Schonemann démontre que si q est un nombre premier, non inférieur ù e, satisfaisant à la condition qf b^ i (mod«), la congruence <t> (y) = o (mod^r) a q racines réelles.

DIRICHLET A MADAME LIOUVILLE.

Permetlez-moi, Madame, de vous adresser une nouvelle et je crois pouvoir ajouter dernière prière en faveur de ma nièce Mademoiselle Baerns dans l'intérêt de laquelle vous avez déjà eu la bonté de prendre quelques informations et qui vous remettra ces lignes. Je regrette infiniment la peine qu'ont dû vous donner ces informations maintenant sans objet par un changement récemment survenu dans la position de ma nièce. Ayant accepté une j)lace avantageuse qui hii était ofï'erte en Allemagne, elle a dû renoncer à l'idée de prendre un engagement à Paris, où elle se trouve en ce moment pour ainsi dire de passage et pour un temps très limité. Si pendant les quelques semaines qu'elle se propose de [)asser à Paris, vous vouliez bien, Madame, lui permettre de vous voir quelquefois et lui accorder un peu de cette bienveillance à laquelle vous avez habitué depuis longtemps, vous et toute la famille, l'oncle de la jeune personne^ je vous en aurais la plus grande obligation. Je ne dirai toutefois pas que cela augmenterait la reconnaissance dont les bienfaits de la famille Liouville m'ont pénétré depuis longtemps, car mariée à la Géométrie vous savez aussi bien que moi que les quantités infinies ne sont pas susceptibles d'accroissement.

Mad. Dirichlet me charge de ses compliments auxquels je joins mes souvenirs afi'ectueux pour toute la famille, sans en excepter le chef, quoique cet illustre chef me traite d'une manière peu amicale. Croiriez-vous, Madame, qu'ayant fourni et fourni de suite, il y a près de 4 mois, à Mons. Liouville un renseignement qu'il m'avait demandé, et l'ayant prié en même temps de me donner promptement des nouvelles de sa santé dont il paraissait peu content, je suis resté sans réponse. Heureusement que le Compte rendu et le Journal des Mathé. sont là pour me rassurer, un homme productif à ce point ne peut pas être un homme bien malade.

Veuillez, Madame, agréer les hommages respectueux de Votre dévoué serviteur

G. LEJEUWE-DIRIGHLET.

GœLtingue, ce 21 mai 1857.

DiniCHLET A LIOUVILLE.

Gœltingue, ce 27 août i858.

Mon cher et excellent ami,

Pour vous prouver que je ne suis pas incorrigible, je me hâte de vous remercier de la promptitude au-dessus de tout éloge avec laquelle vous avez bien vonhi me répondre et de vous exprimer en même temps mes regrets les plus vifs de voir renvoyé aux calendes grecques la visite sur laquelle nous avions compté pour cette année. — Mad. Diriclilet est de retour depuis quelques jours, je ne larderai pas à me mettre en route moi-même. Je me dirigerai probablement vers la Bavière rhénane, le Palatinat (^), pays renommé pour la cure de raisins qui j doit commencer cette année vers le premier septembre, si l'on peut s'en rapporter aux annonces dans les journaux. Gomme je me trouverai là sur la frontière de France, à 5 ou 6 heures de Toul, je n'ai pas besoin de vous dire si je suis tenté de faire une apparition dans la ville antique que vous appelez la capitale de la Lorraine. Je crois pourtant que j'aurai la force morale nécessaire pour m'abstenir et pour ne pas pécher de nouveau contre une loi qui doit être sacrée à nous autres surtout viri arithmetici comme nous appelait Jacobi, je veux dire la loi de réciprocité.

A propos d'arithméthique^ je dois vous exprimer le vif plaisir que m'a causé le beau théorème que vous avez donné dans le cahier d'avril (2). Je n'en ai eu connaissance que hier soir à la bibliothèque, mon exemplaire ne m'étant pas encore parvenu. Gomme ce premier article ne contient pas la démonstration de cette pro-

(') D'après la Gedàchtnissrede auf Gustav-Peter Lejeune-Dirichlet de Kumrner {Œuvres de Diriclilet, t. II, p. SSg), c'est en Suisse que voyagea Dirichlet; il s'arrêta à Montreux. C'est là qu'il ressentit la première et violente atteinte de la maladie de cœur qui devait l'emporter quelques mois plus tard (5 mai 1809), après la mort subite de sa femme.

(^) Sur quelques formules générales qui peuvent être utiles dans la théorie des nombres {Journal de Liouville, 2" série, t. III, i858, p. i43). J'extrais de ce Mémoire l'énoncé que Dirichlet démontre; dans ce qui suit, f{x) désigne une fonction paire.

« Soit m un nombre impair donné à volonté- Décomposons ^ /?? en deux parties

position si riche en conséquences, je me hasarderai à vous communiquer celle que j'ai trouvée dans ma promenade du soir, juste à la suite de cette lecture. Comme cette démonstration est fondée sur le même principe que la démonstration du théorème de Jacobi telle que je l'ai exposée dans un article de votre journal (*) je conserverai les notations de cet article, je désigne de plus par (p(^,y) une fonction paire en ^ et jk et en outre telle que

Cela posé considérons la somme

qui doit être étendue à toutes les solutions de l'équation

(i) ad -h bc = im.

impaires m', Tn'\ de manière qu'on ait

2 m = m' -+- m", m' prenant successivement les valeurs

I, 3, 5, ..., im — 3, 2 m — i, tandis que m" prend les valeurs complémentaires ou correspondantes

im — I, am — 3, ..., 5, 3, i.

» Désignons généralement par d' un quelconque des diviseurs de m' et par d" un quelconque des diviseurs du nombre correspondant m" , puis formons la somme triple

» Les deux premières sommations se rapportent aux diviseurs d\ d" de chacun des groupes m', m" et le troisième 2 indique qu'on doit faire le total des sommes partielles ainsi obtenues pour les groupes successifs

I, 2 /n — i; 3, im — 3; ,..; 2m — i, i.

» La valeur de la somme complète S peut toujours être exprimée simplement au moyen des diviseurs d de l'entier impair donné m. Je trouve en effet que

^=^^d[f{o)-~f{id)]. »

( * ) Sur V équation

par M. G. Lej eune-Dirichlet . {Journal de Liouville, 2» série, t. I, i856, p. 210. — Œuvres de Dirichlet, t. II, p. 2o3.) «... Tous les entiers que nous désignerons par des lettres latines sont positifs et impairs »

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