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Mais en voilà assez de grimoire, T.

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par M, G. Lejeune-Dirichlet . {Journal de Liouville, 2« série, t. I, i856, p. 210. — Œuvres de Dirichlet, t. II, p. 2o3.) «... Tous les entiers que nous désignerons par des lettres latines sont positifs et impairs »

Laissant de côté pour un instant les solutions pour lesquelles a-=-b^ il est évident qu^on peut supposer a^ b cl doubler le résultat. Mais les solutions qui remplissent cette condition sont toujours associées deux à deux de celte manière que, pour deux solutions associées a, b, c, d; o! ^ b\ c', d! \ on a

il suit de là et de l'hypollièse faite sur la fonction cp(^,jK) qu'on a ç(a'— Z>', c'+ <a?') = 9(c + rf, <2 — è) — — tp(a — è,c + 6/).

Les termes répondant à des solutions associées se détruisent ainsi deux à deux; il ne reste dans A que les termes pour lesquels on a (2 =: 6, et l'on aura

cette dernière somme s'étendant aux diviseurs e de m. Si maintenant on suppose cp(^ -\- j) =/(-^) — f{y)i f{^) étant une fonction paire, on obtient \otre théorème, en observant qu'à cause de la manière symétrique dont l'équation (i) contient ces deux groupes a^b \ c^ d, on peut au lieu de

^[fia-b)-f{c^d)] écrire plus simplement

J'ai oublié l'autre jour de vous dire que l'alLraclion d'un ellipsoïde plein s'exprime sous forme finie pour toute loi d'attraction

de la forme — ? m étant unentier">i. G est une conséquence

très simple du cas particulier où m = a et delà propriété générale presque évidente que de l'attraction exercée par une masse quelconque pour le cas d'une loi d'attraction exprimée par la formule

— ? on peut déduire par de simples difiPérentiations l'attraction pour le cas de -^i^r^) pourvu qu'on n'ait pas a-t^ '?.,

Mais en voilà assez de grimoire,

Ayez la bonlé de présenler les compliments de Mad, Dirichlel et mes respects à vos dames.

Totus libi

G. LEJEUNE-DIRICHLET.

P. S. Quoique je doive être absent de Gœttingue pour un mois à peu près, ce n'est pas une raison pour que vous n'écriviez pas pendant ce temps. Votre lettre adressée ici me sera envoyée quelque part que je me trouve.

LIOUVILLE A DIRICHLET {^).

Toul, 21 octobre i858.

J'étais si souffrant hier en vous écrivant que je crains fort de vous avoir très mal expliqué les éléments de la formule dont je vous faisais part. Il faut se donner à volonté un nombre entier m et considérer toutes les solutions de l'équation m = m'^ -t- m", où l'on prend pour m' un entier positif, nul ou négatif, indifféremment et pour m^ un entier essentiellenient positif. Pour chaque groupe m', m" ainsi obtenu on décompose m'^ dans le produit 2^"d'ù''^ où d" et B" sont des entiers positifs impairs, et où l'exposant yJ' doit être supposé égal à zéro quand nf est in^pair. Gela posé^ soit F(^,^) «ne fonction telle que l'on ail

c^est-à-dire une fonction qui change de signe avec ce et se réduise à zéro pour x = o, tandis qu'elle ne dépend pas du signe dey.

(') M'"' de Biignières a retrouvé récemment le brouillon de cette lettre qui, quoi qu'en dise Liouville, est écrit avec le plus grand soin. Il est bien vraisemblable qu'elle était destinée à Dirichlet, mais il n'y a pas certitude. Elle est inachevée^ il n'est pas certain non plus qu'elle ait été envoyée. Pour le contenu, le lecteur pourra consulter les articles de Liouville dans son Journal : Sur quelques formules générales qui peuvent être utiles dans la théorie des nombres, qui se trouvent dans le Tome III (i858) de la deuxième série et plus spécialement le septième, le huitième, le neuvième et le dixième, p. i, 78, m, 193 du Tome IV (iSSg).

Faisons la somme des expressions de la forme

pour toutes les valeurs de i^' d!' et S'' dont le produit est /n", m! et ml' restant fixes; puis sommons de nouveau le résultat pour tous les groupes (m', /ti'') dont il a été question plus haut et qui donnent m = m''^ -\- ni!'.

Cette somme double

VY (—!)'«" F(2a''^''+ m', 2m'— S")

sera généralement égale à zéro. Mais il y a exception quand m est un carré, et alors la somme est égale à

Vous voyez que les valeurs de y employées dans F(^,jk) sont toutes impaires; mais les valeurs de x sont paires ou impaires, suivant que m est pair ou impair.

Prenons m=.Z. Nous aurons ces quatre décompositions :

Ht — m!^ -^ iï\!' \ m' = o^ m"=i.3 et m"=3.i; m' = ±: I, m" = 2.1.

De là, pour notre somme double,

et, comme F (3, — i) = F(3,i), on trouve bien ^eVo pour résultat.

Mais si m = I , on n'a que cette décomposition i = o^ -h i . i , et notre somme devient ( — i)2F(i, — i) ou — F(i,i), vu que F(.,-,) = F(,,.).

Gela s'accorde avec ce que j'ai dit ci-dessus, parce que i est un carré.

Pour /n = 4, on doit trouver

et cela résulte en effet des décompositions m = m'^-^m"^ qui sont alors au nombre de cinq, savoir: /m' = o, m"=z^.\\ m'=±i

avec m" =3.1 et avec m" ^= i.3; ce qui donne

il suffît d'observer à présent que F(4, — 0 ^^ F(4, i),

Il me semble qu'hier j'ai écrit pour la valeur de la somme double, dans le cas de m carré,

— v/w[F(v/m, 1)4- F(v/m, 2) +. . .-+- F (/m, i^ln — i)],

au lieu de

barbouillant à la hâte le papier (ce que je fais encore aujourd'hui) et prenant une formule pour une autre dans mes cahiers qui sont tout en désordre. Excusez-moi et croyez bien que du moins je ne me trompe pas en vous répétant que tout dépend des identités

= {ip + m'- o"y-^{ù"-p — m'){^p - ô") = {m'~ipy^{p — m'){ù"~^p).

Une antre formule d'une importance égale dépend de cette autre identité

Pour l'écrire, il faut d'abord décomposer m comme ci-dessus et considérer la somme double

f{x^y) étant cette fois une fonction paire tant par rapport à x que par rapport à y. Il faut ensuite, avec les mêmes éléments, former celte seconde somme

Le théorème consiste en ce que les deux sommes sont égales.

Soit /7?= I . La première somme sera égale à zéro, la seconde aussi. Soit m = >. ; la première somme sera [à cause de

(■>. — !)/(•>,, — l)-^ (l -4- I - l)/(9., l) — (I — T - l)/(o, — :\) OU /(O, - 3),

et la seconde ( ' )