AVIS
L'accuhij- bienveillant que la Correspondance mathématUjue et physique a reçu dès sa naissance, et la coopération de plusieurs sayans distingués de ce royaume et de Fétranger (i),quiontdonné un nouveau prix au recueil , en y consignant le fruit de leurs recherches , semblent témoigner suffisamment en faveur de son utilité. On a pu mieux apprécier le mérite de plusieurs de nos compatriotes, qui peut-être avaient eu moins occasion de se faire connaître; on a pu se former aussi une idée plus juste de la force des études mathématiques dans nos établissemens d'instruction, par les solutions souvent heureuses de problèmes que nous ont fait parvenir des élèves, ou par les analyses des dissertations publiées dans nos Universités* . ■ ' En cherchant à ne pas laisser nos lecteurs étrangers aux principales dér^iivf^rtes qui se font .à l'extérieur , nous avons dû plus particulièrement- nous occuper de ce qui, chez nous, méritait de fixer l'attention des savans. C'est l'état scientifique de notre pays , que nous devons tâcher de représenter" fidèlement, tout en essayant, à l'exemple de l'estimable rédacteur des Annales de Nismesy d'établir entre les géomètres et les physiciens des relations qui tournent au profit de la sciebce. On conçoit qu'il nous serait impossible de renfermer, dans un cadre aussi étroit que le nôtre , les résultats de toutes les recherches que l'on publie dans les différens pays ; nous devons laisser ce soin à des recueils plus étendus , tels que le Bulletin des sciences , la Reuue
(i) Nous rappellerons ici avec reconnaissance les noms de "iUlVi, Bouvard , Ampère , Hachette, Gergorme, ViUermé, Gambart, Lohrmarm de Dresde, GeronOf etc.
iv AVIS.
encyclopédique, etc. Nous nous contenterons de leur offirîr les matériaux que nous aurons pu recueillir consciencieusement pour notre pays ; et peut-être notre travail ne sera pas sans utilité , sous ce nouveau rapport. ^
Des mesures ont été prises pour que désormais les souscripteurs n'éprouvent plus de retards dans les expéditions , qui se feront directement de Bruxelles , où le recueil s'imprime actuellement. En me laissant le soin de dirigtir «oui 1'on.ir«prise , M. 6rar7i/er a bien voulu iirvepruuiettre de continuer à me communiquer ses reclif'rrhes, et à m'aiderde ses conseils,, que son expérience et âon savoir doivent me rendre précieux. La publication de la Correspondance mathématique et physique VLéproiiiyeTaL donc aucun changement essentiel^ ni pour la forme pi pour le fond.
U.paraîtra tous les ans un volume de ce recueil, format in-8^ , d'environ 24 ^ ^5 feuilles , y compris les planches, par livraison de deux , trois ou quatre fouilles : le prix de l'abonnement 6st de •jjl. des Pays-Bas par an, pour le royaume^ et ^fl, ( i^fr» 5 c.) pour t étranger. On souscrit à Bruxelles ^ dbez P«*J» De Mat, imprimeur-libraire , Grand'Place , chez Berthot , libraire , Marché au Bois , et chez les principaux librajûres du. royatime ( i). Les mémoires , notices , lettres , réclamations , seront adressa , poH franc , au Rédacteur ou chez M. P. J. Jy^e, Mat*
A* QfDETELET.
■h***««B^>«*i>Mi4*«M«*Mte
(4) On {>eutse procurer des exemplaires dès deux volumes qui ont paru jusqu'à prëseÀf , àuï prix ci-dessus désignes. ,
MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES
GEOMETRIE
Construire un triangle équilatéral qui ait ses sommets sur trois circonférences quelconques ; par M. Plateatt , professeur de mathématiques élémentaires au Collège Royal de Liège.
Soient les trois circonférences G, G% C(fig. i); prenons arbitrairement sur Tune d'elles , sur C , par exemple , un point' m que nous considérerons comme Fun des sommets du triangle demandé. Si Ton conçoit maintenant que Ton ait tracé une série de ti*iangles équilatéraux , ayant tous un premier sommet en/n^ et un second sur la circonférence G , il est aisé de voir que le lieu des troisièmes sommets sera une circonférence D , de mé* me rayon que G , et dont le centre p sera le troisième sommet d'un triangle équilatéral dont les deux autres seraient les points m et o. En effet , il est visible que pour un point quelconque de la circonférence G , il en existe un correspondant sur la courbe en question , tel que les distances de ces deux points au point m sont égales et comprennent entr'elles un angle constant : cette courbe n'est donc évidemment que la circonférence G transportée d'une position à l'autre : quant au centime o, il se trouve nécessairement transporté en p de la même manière , c'est-à-dire , que le triangle omp doit être équilatéi*al. Ce qui précède étant admis , on voit que les points n et n\ où la circonférence D coupe la circonférence C", seront les sommets de deux triangles équilatéraux satisfaisant à la condition donnée. Car la ligne D étant le lieu des troisièmes sommets de tous les triangles équilatéraux dont le premier sommet est en m et le second sur la circonférence C , les points n et n^ appartiennent Tom. IIL I
CORmESPOITDlVCE
à ces troisièmes sommets , et de plus ils sont sur la circonférence jG" } les deux triangles m nq ^ m n' q'j satisferont donc au problème.
Ainsi, pour résoudre le problème , on prendra arbitrairement un point m sur l'une quelconque des trois circonférences : ensuite on construira le troisième sommet p d'un triangle équilatéral , dont les deux premiers seraient le point m et le centre d'une des deux autres circonférences ; du point p comme centre et avec .un rayon égal à celui de la seconde circonférence , on décrira un arc de cercle qui coupera en général la troisième en deux points , lesquels étant joints au point m y donneront les côtés de deux triangles satisfaisant à la condition posée*
On sent que suivant que l'arc de cercle coupera , touchera , on ne rencontrera pas la troisième circonférence , la construction donnera deux triangles , un triangle , ou n'en donnera pas.
On voit aussi qufe puisque le point m peut être pris arbitrairement sur la pi'emière circonférence , le nombre des sdiutions sera infini.
Lorsque les trois cercles sont concentriques, la droite ont devient le rayon de la circonférence C , puisque les centres o et o' se confondent : il résulte de là que le troisième soiametp du triangle m o p y qu'il faut déterminer , se trouve sur la circonférence C, ce qui simplifie encore un peu la construction. Dans ce cas aussi , les deux triangles que donnera la construction , ne changeront ni de forme ni de grandeur par un déplacernait du point m : ceci résulte évidemment de la symétrie de la figure : en sorte que le nombre infini de solutions se réduit réellement , dans ce cas , à deux triangles différens : la construction peut aussi n'en donner qu'un , ou n'en pas donner du tout , comme dans le cas général.
(Ce problème avait été proposé à la page 366 du vol. précèdent 9 mais d'une manière moins générale , puisqu'on y supposait les trois circonférences concentriques. Nous avons reçu une solution de M. Manderlier, mais pour ce dernier cas. Coxxxme la construction rentre dans celle qui précède , nous nous contenterons dé la. mentionner ) . A, Q.
nATUEMATlQUE ET PHTSIQVS. ^
Inscrire à un polygone résilier un autre pofygone regaUer d'un nombre double de côtés ; par M. M^imEaLiEB , candidat en sciences à l'Université de Gand.
Soient AB et BC deux côtés contigus d'un polygone régut'er quelconque (fig. »)•
Joignons les sommets alternes A et G et prenons AH:=ss CI='AK=^AC : menons KH et Kl , et par le centre O du polygone menons OF et OH, parallèles à Kl et KH : les points £ , F seront les sommets des angles du nouveau polygone :
En effet , 1^ triangle ABC ^tant isocèle , donne GABc= BGA et comme ÀH»sAKt:==GK=sa , on a AHK=AKH=CKI :=<I1K et par conséquent AEO=aCFOr=rGLF. De plus EF est paraUèle à AG puisque BA»BG et B£n=BF. Donc GLFsa LFE=CFO : on prouverait de même que OEF=OED etc. Ainsi : ODEggOED=±OEFa=OFEa=OFG= etc.
Bonc^ i^ les angles du nouveau polygone DEFG etc. doublés de ces derniers , ^ont tous égaux entre eux :
2^ Puisque les angles aux bases ODE , OED , OEF , etc. sont égaux ^ les angles en O le sont aussi , et par conséquent les triangles DOE , EOF etc. sont tous égaux et isocèles ; ainsi OD=sOE=:OFa=OG=5 etc. et DE=dEF=s=PG=««: etc. Donc enfin les angles de la figure DEFG etc. sont tous égaux entre eux aussi bien que les côtés.
(Le problème proposé à la page 3o8 du volume précédent», ne concernait que le quadrilatère ; sept réponses différentes nous sont parvenues ; trois de M. Manderlier^ deux de M. Dauheresse , une de M. Grôetaers , et une autre de M. Leblanc; comme elles se ressemblaient , pour le fond , nous avons choisi la pins simple qui est «n même teipps la plus gêné raie ), A, Q.
4 COARE9POIfDlNt:E
Dans tout polyèdre , la somme des angles plans des Jaces , vaut autant de fois quatre droits , qu'il y a d'angles polyèdres moins deux ; ou caitant de fois quatre droits , qu'il y a d arêtes moins le nombre des foces* Problème proposé à la page 3o8 9 vol. a > et résolu par M. Mandealier.
Soient,jr, y*' ,y " , etc. les faces d'un polyèdre quelconque , 5 , 5' , 5" , etc. les sommes respectives des angles de chacune d'elles , et n , 71' , n'' , etc» les nombres respectifs des côtés ; on aura :
pour y. s sss2Dr(n — 2)
pour/' s' r=^Br{n'—%)
pour/".... ^"=2Pr(«"— a) •••...• ...•• etc.
En ajoutant toutes ces équations , et observant qu'il j en a autant que de faces , si Ton représente le nombre total des faces par F , on obtiendra :
s H-5' -1-5" -4- etc.=aDr (n -4-/i' -*-»" -4-etc. — aF)..
Mais 5 +5' -4-5" etc. est la somme de tous les angles plans, que nous désignerons par ^9", et dans la somme n^n'-^n'^-h etc. ^ toutes les arêtes du polyèdre sont comptées deux fois, ou n^./i'+/2"+ etc. s= aA , A étant le nombre d'arêtes du polyèdre , on aura donc :
S'=aDr (aA— aF) «: 4Dr (A— F).
On sait que , pour tout polyèdre , on a la relation
F-»-S=A-»-a, F étant le nombre de faces ^ S le nombre d'angles polyè-
MATBÉMATIQITE ET PHYSIQUE. 5
ares et A celui des arêtes. De cette relation on tire:
A — ^Fs=S — ^a.
On a donc aussi S'c=a4^r(S*— 2) , donc, etc.
ALGÈBRE
Tout nombre premier ne diffère que d'une unité d^un multiple de six ; par M. H. Lebulkc , âève de l'Athénée de Luxembourg.
En effet , il est clair que tous les nombres entiers sont compris dans les six expressions 6n ^ 6n -h 1,6/1 + 2 , 6/1 + 3 , 6/1 H- 4 9 6/1 -4- 5 ; car si on fait successivement n s=: o , i , a , 3 , etc , on aura tous les nombres entiers 1,2,3,495,6,7, 8,9, 10, II, 12, etc. Mais tous les nombres renfermés dans
6/1,6/2-4-2,6/1 + 3,6/1-4-49 sont divisibles respectivement par 6,2, 3 et 2; il n'y a donc que ceux compris sous 6/i + i, et 6/t -f- 5 qui puissent être premiers. De sorte que tous les nombres premiers se trouvent dans 6/1 -t- i et 6/t -h 5 : en d'autres termes , tout nombre premier est de la forme 6/i -f- i ou 6 (/i -♦- i) — i; il ne diflfère donc que d'une unité d'un multiple de 6 , savoir 6/t , ou 6 ( /t -4- i ).
[ Il nous est parvenu sur la même question deux solutions de M. Dauberesse ; nous regrettons de ne pouvoir les donner ici].
Théorème de Febmat : soit p un nombre premier et a un nombre quelconque premier ai^ec p ; Ja puissance a ^'"* — 1 sera exactement dii^isïble par p. Démonstration de M. Verhulst, docteur en sciences.
n faut se rappeler la proposition suivante qui se trouve de-
€ CO&RESPONDAHCE
montrée dans la plupart des traites d'algèbre : (i) « Si/' est im . nombre premier et a un nombre premier avec p , ie produit a^ étant divisé par/?, donnera lieu à/? — i restes différens, en écrivant successivement , à la place de g , tous les nombres depuis I jusqu'à p — i ; par conséquent , ces restes comprendront tous les nombres depuis i jusqu'à p — i. » En effet : soit aq=Mp-^r, le signe Mp désignant un nombre multiple quelconque de p, et r le reste de la division de aq par/7 : en substituant à ^ un autre nombre q^ également <[/7 , il faudrait avoir fl^'=: M/7-t-r (2) pour que le produit aq^ donnât le même reste r. D'où l'on conclurait : a{q — q')^=Mp ; le nombre a n'étant pas divisible par p , il faudrait que q — q' le fût , ce qui ^t impossible puisque q et q' sont séparément <^.
Il résulte de ce que nous venons de voir , que
ia=^*p-ha 3a—Mp^r^
ft
{p—i)a=Mp-^r^"^
D'où suit régalité :
{iX2X3.
....X{p—i)\a ^Mp^uKr^Xr^^'X r
et comme les lettres a, K', r'"...*r^*Hiennent chacune la place d'un nombre différent depuis i jusqu'à/? — i , les deux membres
de l'égalité précédente deviennent divisibles par iX2X3
X(p — i) et il reste:
a .ssM/ï-f-i»
(<) Voyez Lacroix y compl. d'alg. §. -160.
(2) Il ne faut pas perdre de vue que M/?, ^lant le symbole de tous les multiples de p , peut représenter det^ nombres teès-diff^rens.
MATBElfATIQVB BT PH7SIQVE.
