GEOMETRIE ANALYTIQUE
Étant donnés un point et un cercle 9 trousser le lieu géométrique du point qui partagerait en deux parties dans un rapport constant, la ligne menée du point donné à tun quelconque des points de la circonférence. Problème , propose à la page 366 du volume précédent , et résolu par M. Dav- B£B£SSE , étudiant en sciences h. l'Université de Louvain.
En prenant pour pôle le point donné et en comptant les angles V à partir de la ligne qui joint le pôle et le centre du cercle , nous aurons pour Téquation de la circonférence
/»■— aA/ï GwV^T'asao (l)
A est la distance du pôle au centre du cercle , et T la taib* gente menée du pôle au même cçrcle.
Soit maintenant / le rayon vecteur xLe la courbe cherchée : d'après Ténoncé 9 sa longueur sera dans un rapport constant m avec Tautre partie du rayon vecteur de la circonférence donnée , et l'on aura :
On en déduit :
t CORAÉSPOUDAlfCE
En substituant cette valeur de p dans IVquation (i) , on obtiendra
/»i i— 2A/CosYf J-4-T» = o.
Qui peut prendre la forme suivante
2Am ,^ ,^ T*77i»
Cette ëquatîon appartient à un cercle , dont le centre est situé sur la ligne qui joint le point donné ou le pôle et le centre du cercle donné 5 la distance du pôle au centre de ce
nouveau cercle est ; la tangente menée du pôle au métne
- Tm - , , m ^
cercle est ; donc le rayon R est R' =s l/Tî ri .
43i? K A» — T'=R rayon du cercle donné ; d'où il suit que R^==s ■ R et que /:/):: R' : R, c. àJ d , quelès'rayons de. ces cercles sont dans le rapport des rayoïis vecteurs.
( < ) M. Dauheresse a donné encore une autre solution dû même problème fondée sur les propriétés de la similitude des triangles. Il nous en est parvenu également une dé M. Manderlier qui a employé les considérations de la géométrie descriptive. En faisant usage de la théorie des projections qui semble effectivement se prêter mieux à la résolution de ce genre de prpblèmes , on aurait pu démontrer Assez facilement que la coorbe demandée est toujours semblable à la courbe donnée, quelle que soit d'ailleurs la nature de celte dernière- ligne. Nous nous contenterons d^indiquer cette généralisation de l'énoncé.
Nous avons dû renvoyer au numéro suivant différentes solutions de problèmes qui n'ont pu trouver place dans celui ci. Nous regrettons en même temps de ne pouvoir faire usage de quelques solutions de problèmes qui déjà ont été résolus dans le volume précédent de la Correspondance Mathématique .
MATHiMATlQVE ET PHYSIQUE <
MATHÉMATIQUES TRANSCENDANTES
GEOMETRIE
Propriétés profecUves des courbes du second degré ^ par M. Dauseun, professeur à l'Université de Liège.
On sait que si , par nn point pris hors d'une surface du second ordre, on mène des plans tangens à cette surface, ces plans toucheront la surface suivant une série de points formant une courhe plane , qu'on peut considérer comme la courbe de contact de la surface du second ordre et d'un cône tangent à cette surface , et dont le sommet se trouverait au point donné.
Il résulte de là que toute section plane , faite dans la surface du second ordre , peut être considérée comme la base d'un cône tangent à cette surface : la démonstration directe est fort simple*
On a donné dans ce cas , au sommet du cône tangent , le nom de pôle du plan qui contient la courbe de contact du cône et de la surface.
Soient P et P' les pôles de deux sections planes* d'une surface du second ordre (fig. 3) ; menons par ces deux points une droite et concevons par cette (^oite une série de plans variables : concevons en outre les cônes tangens à la surface , ayant pour sommets les pôles P et P'; et pour bases, les deux sections planes dont nous venons de parler.
Un quelconque de ces plans coupera la surface du second ordre suivant une courbe ABA'B' , et les deux cônes , cha-
10 CORBESPOIIBANGE
cun suivant deux arêtes PA , PB , P'A' et P'B' tangentes h la courbe ABA'B' , et les plans des sections suivant deux droites AB , A'B' , passant par les points de contact*
Or, on trouve dans plusieurs ouvrages ce thëorème trèsconnu : si on mène à Isi fois les droites A A' et BB', et les droites A'B' et ÂB , l'intersection S des deux premières et celle S' des deux autres seront sur une même droite , avec les points P et P'. D'une autre part, on démontre que les points S et S' dépendent, quant à leur position sur là ligne SS\ uniquement de la position des points P et P' et des plans des sections, en sorte que quelle que soit la position du plan sécant , le point S et le point S' restent invariables.
Mais , en faisant mouvoir le plan sécant , on fait varier les droites AB , A'B', A'B , AB' lesquelles engendrent deux cônes obliques passant à la fois chacun par les deux sections planes de la surface du second ordre , et ayant leurs sommets Tune en S , l'autre en S'. Ainsi , par deux sections planes d'une sur-face du second ordre ^ on peut toujours faire passer deux cônes , et ces deux cônes auront leurs sommets dans la droite qui joint les pôles des deux sections.
• Tout cela est assez généralement connu pour qu'il ne soit nécessaire que de rappeller 1« marche qu'on peut suivre pour le démontrer : voici maintenant une conséquence moins connue et qui paraîtra peut-être assez curieuse.
Supposons qu'on ait donné deux sections planes sur une surface du second ordre , et imaginons qu'on ait construit l'un des deux cônes qui passent à la fois par ces deux sectiims ; rien n'empêche d'admettre que l'on fasse mouvoir une des sections parallèlement à elle-même, tandis que l'autre reste fixe , et dans ce mouvement on voit que le cône qui les contient se mouvra également. •
Nommons A la section fixe et B la secticm variable , appek>ns a le pôle dé la première et b celui de la seconde , puis concevons un plan immobile parallèle è la direction du plan qui contient les directions A et B de la section variable : ce plan coupera le cône suivant une courbe semblable à la sec-
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. ït
tioii variable. Supposons donc qu'on place Fqsil au sommet S du cône , on verra sur ce plan la perspective de la section A représentée par une courbe s«ad>lable à la section B : si l'ott prend le cas où le plan de la section B est tangent à la surface du second ordre , il est facile de voir qu'elle se réduit à un point qui est alors le sommet même du cône variable ; en sorte ^ en plaçant l'œil à ce point toutes les sections fixes, qu'on voudrait imaginer seront vues sous l'aspect d'une courbe semblable à la section B.
Mais 9 d'an autre côté, le point ûii la section variable B devient d'une étendue nulle , n'esrt autre chose que Textrémité de celui des diamètres de la surface du second ordre qui serait conjuguée à un système de plans parallèles à la section B« Ainsi : si l'on place Eœil au bout d'un diamètre d/une surfcwe du second ordre , et qu'on prenne pour tableau un plan parallèle au plan conjuré h ce diamètre , toutes les courbes planes tracées sur' la surface seront Dues sur ce tableau suivant des courbes setnblahlès entre elles et à la section , faites dans la surface par le plan conjugué dont nous aidons parlé.
Si on réfléchit ensuite que les droites qui passent par les pôles des courbes planes, dont nous venons de parler, et par Vœilf peuvent être considérées comme passant aussi par le centre de la. section infiniment petite, qui est commune au plan tangent passant par ïœil et à la surface de conta<;t^ on trouve cet autre théorème.
La perspecliife d'une courbe plane , tracée sur une surface du second ordre , lorsque Vœil est au bout du diamètre conjugué au système de plans parallèles au plan du tableau, est une courbe du second degré fpii a pour centre la perspectii^e du pôle de cette courbe.
Ce théorème se change facilement ainsi que le précédent en théorème analogue a celui qui sert de fondement aux projections stéréographiques , on n'a pour cela qu'à étendre un peu la définition du mot de projection stéréographique , et à considérer comme telles les perspectives des lignes tracées sur unesurface du second ordre , en prenant pour point de vue Tex-
13 COftIt£âPONDA]VC£
trëmité d'un diamètre de la surface , et pour tableau un ptan* parallMé au plan conjugue' à ce diamètre. Alors les deux théorèmes précëdens se réunissent en un seul que voici :
Les projections stéréographiques des courbes planes tracées sur une surface du second ordre , sont semblables entre elles , et ont pour centres les projections des pôles de ces courbes*
Ce théorème est plus général que celui qui sert de base aux recherches que j'ai publiées dans les Mémoires de l'Académie 9 et il conduit à des conséquences curieuses. Je ne puis les développer ici. En voici seulement une qui généralise le théorème des foyers des sections coniques.
Si à une surface de réi^olution du second ordre , on mène une sphère tangente et ayant le même axe de réi^olution'^ tout plan qui touche cette sphère, coupe la surface suivant une courbe du second degré dont le foyer se troui^e au point de contact de la sphère et du plan»
Ce théorème singulier peut se démontrer facilement au moyen dé ce qui précède , et par des méthodes de renversement de projections semblables à celles que j'ai employées ailleurs. Tous ceux qui voudront s'en occuper, en trouveront aisément la preuve , et , chemin faisant , ils rencontreront des théorèmes piquans qui ne seraient point à leur place ici , mais qui peuvent être^aigréables à rencontrer dans des recherches qui ont pour but de s'exercer à l'étude de la géométrie descriptive.
Démonstration d'un théorème fondamental des projections
stéréographiques .
En rendant compte d'une analyse d'un Mémoire de M. DandeHn sur l'emploi des projections stéréographiques en géométrie, que nous avons insérée dans le i«7 vol. de la Correspondance , M. Gergonne observait avec raison ( i ) qu'il est à regretter que
(^l ) Annales de Mathématiques , n« X, cahier d'aTril ^836.
XliTIlilfATIQUR ET PBYSIQVE. l3
Tauteurs'appuie sur une formule des transversales , pour dénEKmtrer le théorème suivant qui sert de base à sa théorie : par -deux cercles p et p' , pris sUr une sphère , on peut toujours faire passer deux systèmes de droites ^formant deux cônes , dont les sommets sont sur ia droite quÀ passe par les pôles P et P' de ■ces cercles* u La prééminence des méthodes du genre des sinus , ajoute le savant rédacteur des Annales Mathématiques , devrait tenir essentiellement à Fabsence de tout calcul. » Avant que M« X)andelin eût rédigé la note précédente , j*avais cherché à remplir la lacune signalée dans la théorie des projections stéréographiques. Comme la démonstration à laquelle je suis parvenu , diffère de celle de mon savant collègue , je crois pouvoir la reproduire ici.
Si Ton conçoit les deux cônes droits P et P' (fig. S.*) tangens il la sphère , constamment coupés par un plan passant par la droite qui joint leurs sommets , le3 lignes d'intersection seront des génératrices tangentes à la sphère , et auront pour pôles leurs points de contact A , B , A' , B'. Ces points de contact , pour chaque position du plan sécant , seront les sommets d*un quadrilatère inscrit AB A'B' ; et les génératrices formeront un quadrilatère circonscrit Vm P'n , dont deux sommets opposés seront les deux sommets P et P' des deux cônes tangens à la sphère. Les côtés AA' , BB' du quadrilatère inscrit auront pour polaires réciproques , les deux droites mm et nn perpendiculaires au plan sécant et passant par les deux sommets m et/z du quadrilatère circonscrit. Ainsi la suite des droites AA' , BB' , etc. , qui répondent aux différentes positions du plan sécant , forment une surface qui a , pour surface polaire réciproque , la surface formée par les tangentes mm , nn , etc. , à la ligne d'intersection des deux cônes. Mais toutes ces tangentes consécutives mm , nn 9 etc. , se coupent deux à deux sur la ligne d'intersection des deux cônes P et P' ; il faut donc que leurs polaires réciproques AA' , BB' , etc. , se coupent aussi d'une manière consécutive. Celles-ci ne peuvent d'aiHeurs se couper que sur la droite fixe PP', en partant de ce principe que deux côtés d'un quadrilatère inscrit , se coupent toujours en un même pomt avec une diago-
T 4 <^B RESPOlïDAir CE
nale du quadrilatère circonscrit correspoiMiaiit. Puifique ces droites AÂ' , BB' , etc* y se coupent d'une manière consécutive, et que , d'une autre part , elles sont assujetties à se couper sur la même droite , elles ne peuvent se couper qu'en un point unir que. Ainsi i^ elles forment un cône ; 2^ la surface formée par les tangentes successives à la ligne d'intersection des deux cônes P et P' , est plane puisque sa polaire réciproque est une surface conique j et son pôle est le sommet de ce cône.
La solution est évidemment double , et l'on, peut construire deux cônes , qui passent par les circonférences données : le sommet du second cône est aussi sur la droite PP' , au point S' , où viennent se couper toutes les diagonales des polygones inscrits et circonscrits. Ces deux cônes se coupent de plus selon deux lignes dont les plans passent par leurs sommets et par la droite d'intersection àes deux cercles donnés par l'énoncé.
Il serait facile de démontrer que les propriétés qui viennent d'être énoncées , conviennent en général à toutes les surfaces du second degré. A. Q.
Sur les propriétés des sections coniques considérées deux à
deux»
Pavais déjà fait connaître , dans l'analyse du Mémoire de M. Dandelin, sur les projections stéréographiques (i), quelques-unes des propriétés que je vais énoncer; mais ayant remarqué depuis qu'elles étaient susceptibles de recevoir , dans leur énoncé , plus d'extension et de généralité ; j'en ai fait l'objet d'une nouvelle note.
Si deux sections coniques se coupent en quatre points et si ton construit :
i^ Le quadrilatère quia , pour sommets, les points communs des deux courbes ;
(f) Page 261 du I«fyol.. de la Corf^sponcUmc^ MatàwnatiqUt.
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. fS
!2* Les deux quadrUaÙres formés par les tangentes menées aux deux courbes par les deux points d'intersection des côtés opposés du parallélogramme précédent;
3^ Les deux quadrilatères circonscrits qui touchent les deux courbes en leurs points d'intersection ;
4* ^ quadrilatère formé par les tangentes communes aux deux coures;
S^ Les deux quadrilatères inscrits aux deux courbes, et qui ont , pour sommets , les points de contact des tangentes qui forment le quadrilatère précédent ;
On aura les propriétés suii^antes :
I® Les diagonales des huit parallélogrammes se couperU en un seul et même point ;
2® Les trente - deux côtés des huit parallélogrammes forment huit faisceaux de droites concourantes , et les huit points de concours sont sur une seule et même ligne droite»
3° Les sommets des deux quadrilatères circonscrits <, qui touchent les deux courbes en leurs points communs , et ceux du quadrilatère formé par les tangentes communes aux deux mêmes courbes sont distribués ^ six par six , sur deux droites qui sont les diagonales communes»
On remarquera d'abord , d'après les principes de la perspective , que ces propriëtës doivent effectivement exister , si elles ont lieu pour un cercle et une section conique. Or , si dans ce dernier cas , on suppose une sphère dont le cercle donne soit une section ; puis , si l'on place l'œil pour projeter stà'ëographiquement le système , sur la droite qui joint le pôle du cercle au point d'intersection des diagonales du quadrilatère inscrit : on verra , sur le tableau , le centre du cercle confondu avec le centre de la section conique : la figure étant régularisée par la projection , on se rendra facilement compte des différentes parties de renoncé précédent.
La plupart des propriétés énoncées plus haut , se reproduisent d'une manière assez curieuse quand les deux sections coniques sont extérieures l'une à l'autre , pu , ce qui revient au même , quand le cercle n'a pas de point conunun avec la section coni-
l6 ' €.OJiRESVOVl>ÀVCt
que. Pour étudier , dans ce cas , les propriétés de la figure , il faut encore la régulariser. On mènera , à cet effet , les quatre tangentes communes aux deux courbes , et Ton projettera stéréographiquement le système , de manière que les quatre tangentes au cercle forment ensuite un lozange. La section conique se projettera suivant une autre section conique qui sera toucKée symétriquement par les quatre tangentes ; les centres des deux courbes seront d'ailleurs confondus.
On pourra modifier encore le système de projection dans le cas oh les deux courbes données ne se coupent qu'en deux points , ou pour celui où elles sont simplement tangentes.
Lettre adressée par M. Geeoito , professeur des pages du roi
de France , au rédactear.
Voici quelques nouvelles notes qui font suite à Tune de celles que j'ai eu l'honneur de vous adresser. Il s'agit de deux problèmes dont M. Lhuillier a donné la solution pour des cas particuliers seulement:
1° Déterminer un point tel , qu'abaissant de ce point des perpendiculaires FA, FB , etc., sur les côtés d'un polygone plan MNPQRS ; la somme des carrés de ces perpendiculaires soit un minimum, (i) (fig. 4)*
Observons de suite que la question se réduit à déterminer un point qui soit le centre des moyennes distances des extrémités A 9 B , G , etc^, des perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés MN , NP , etc. , du polygone ; cela résulte simplement des propriétés du centre des moyennes distances.
Soient a , b , c , etc. , les angles formés par les directions des perpendiculaires FA , FB , FC , etc. , avec celle de Taxe OX ;
(I) La solution de «e problème , pour le cas où le polygone est un triangle, •e trouve dans l'Analyse algëbnqoe de M. Lhuillier, page 296.
HATUfeMATIQVE ET niYSIQUE. . I7
fXa' ,b' ,<f i etc. 9 les angles formés par les mêmes direolions FA , FB««.. , et celle de Taxe OX'.: pour que F soit le centre des moyennes distances de il, B , C , €tc«, si fant et il suffit qu'on ait: i ,
FÂ* co54i«t^ FB» coêh 4- •••••sssb , (i) ,
^ ^ FA* cosa*^ WB.cosb'-^ •••.. as o , ««••« (i)*
Or , les perpendiculaires FA , FB , etc. , ëlant des fonctions linéaires des. coordonnées- du point F , les éqnskions (i) et (2) , appartiennent - à des lignes droites dont la rencontre déterminera le point cberdbë. La constructioii des droites (i) , (a) q'odEre aucune, difficulté. JEn effet , soient A% B' , G% etc. , les points auxquels Taxe OX rencontre les côtés du polygone S1U* lesquels on a abaissé les perpendiculaires FA , FB , etc. , et soit déterminé le centre F' des moyennes distances de A' , B' , C% etc. , pour les coéfficîens (cp5.a)», (co^.i)*, (cosx)^y etc. , j^].
Oaaura: "■ ¥' A\{cos. ay ^F'W (cos.b)* ^
F' C. {cOS.cy H- s;p=0, . .. (3). [**]•
Mais F' A', cosa, F'B'. cosb , etc. n'étant autre chose que les perpendiculaires abaissées de F' sur les côtés du polygone , ÎVfquatio^ (3) montre que la somme de ces perpendiculaires multipliées respectivement par cosa, cosb, cosc, etc. , est nulle , par conséquent F' est un point de la droite (i). Si l'on mène une droite parallèle à l'axe OX, dont les rencontres avec les côtés du polygone soient désignées par A", B", C', etc. et qu'on prenne encore le centre des moyennes distances de A", B'% C'% etc. pow* les coéffiçiens {cosa)*j {cosby^ etc. ;il en résultera un second point de la droite (i), qui servira à déterminer complètement cette ligne.
£*] Analyse Gëom. de Lhuiilier, page 20 et suWi [**] Analyse €ëom. , page iO et taiv.
Tom. III.
l8 GOAKSSFOVDAlfGE.
Une eeiMtntatioa seiBblàbfe ioaten, la^ driMit& (i) ; et pHr suite le point cherefaé F/
a* Gonstmilv k.lieu géémrftriquedes points teby fa'aboiesant de ces points des perpendiculaires sur les côtés rdTun polygone phm MNPQRS , la somme des carrés des perpendiculaires soit toujoun jégalc à mx carré doonéiS** ;(i)w . /
SoientF(fig.. 5) la-point cdnresp^aidMit a«> nÉîiiimum de la somme des carrés des perpendiculaires FÂ , FB , etc. ; m* la mtoir ée eé aunÉmum^ n. lé nombre, das' 6â^ ida polygone ; F' un despmitB demandés ; et F^A,% FV, eto^ deS' perpanitieidaivea menéeadeF'sairFAyFS^FGy etcw: kpaiaitF' étant le^ cenlve des moyennea diatances'Jbe. A^^ B, G| etc.^ On «ara
d'abord;F'AH•F'B^çta«a^FT-^FA^FP+e^,:^«ltJp'TH-Bl^
Maïs , parce que Î^^JFA' h-Î^S/ =FB' -♦- FB' =aetc^ , on a : n jTF^^F^F^-f^etcV , donc WT-lPtl
F'C-f- etc.— S^A'^F'BrH-F'C'-i-etc*^FA'^FB'H.FC'^ a«b.
wf«, ou F'A— F'A'^F'B— F'B'-^-etcasFA'-f-FB'^etc-t-iii».
Ôr , F'— F'A', F'B— F'B',.«.. sont évidemment les carrés des perpendiculaires abaissées de F' sur les cotés MN , NFy«..» ^
etFÏ', FB', FC, , sont les éarrés des perpèndictilâires
abai^s^ès dé F' stir dés droites conduites par F parallèlement aux tètéà MIÏ*, NP , P<J , en désignant par S^^ la
somme de ces derniers barrés , r^cjùàtion précÂlente deviendi^ S^~S'^-i-m».
Cela posé , déterminoiis deux droites ^^JL\ Fit (fig. 6) telles que les per(>ëndiculaires 1?^ , F19 abaissées d*un point quelr
(1) M. LhuiHier a résUu cette qucaUen , eia soppotant le peljpgoiw régulier. (Analyse Géom. page i 35).
fxmfiff^ Wr ^^ àemj^ Bgw»» AAi^ti^ todjptéi : "P^&hlS^si
|ît^,.5^, W$ n>fit9KAiCifiam»Mj^lm qiiestiiMi pvo^dë se réduit k ^y94U^Viuvc(.ij^.li(|M tsUb^ qùq iwaiftDlf dé* se^ pcfmt» clés perpendiculaires sur le^ deux drpîtes F^„ FY» la ^ttnQane dé| carrés de ces' perpendici^àirès soit tôuji^UÎ^ ^^^§ ^ ^ QW^ ennuie ^fr»
Xies perpencBciiIaireB ]^^ , FIOT ^tai^t des foncfî^na^ li^^air:e^ des coordonnas d^ F^», 3 e^^ ^yident que la Uj^e çhe^ch^^ est une courbe du second degrë , ^e plus le. point F est le centre 4^ €f;^t|« cmurl»» cas en jpnoiktôgeant F1P d^miê kn^ gloewrFlUnBif'F M pow^L «ppm lîiiiribft à h courbes poiM^éiî ab«W«l«t< leii p«iip«Mli«Uairss dLE ,> li, Mr k* drèitê^FX'^
Supposons maintenant que Fângle donné 3QPY soit, aigu., ( fig. 7 )• Si l'on détermine , sur la, droite F^ qui divise ; cet anf^ en deux parties égales, un point Kf qui satisfasse à |a que^ffan proposée , ce qui est facile , la Tignç FM sera la plus grande de toutes tes lignes menées du centre F ^u^ différ^a^ points dé la courbe demandée* 1^QÙ|* le démon^çr, y^ qécns une circonférence de F comme cei^tre , avec FM pour raj^on : tout se rédoft k Aire voir que lès perpendiculaires Di, ^C, abaissées sur FX , FY, d'un autre point de la circonférence,
donnent : Di^-DC > ME+MQ ou DP-*-DH > ML+MG ; soient donc O et N les milieux des cordes égales PH , LG ,
nous aurons d'abord : DP+DHs=a.D0-i-2.0H=2D0+aNG,
(i) Ia c«ti#mtimii qni dombe laei dABov dMMk^'n M indiquée Ittitns fti^iir de mes pf^mières notes.
3U OOtlUKOinDAIICÉ
car OBseNGi de phtf JëOtfSG^^riâm'+i^', et DO>DP— FO>MF;r,FiNf>MN j il en résulte !DP+DS>i«îr4-ïiÎG.
Tout autre point pris sur la clFoonfi^ence donnerait lieu à une ittégaHt^.,seii^lable,.exœptë nëanmœnf le point M' car
M^'-i-M*E'=iME-i-MQ« 11 faut encore observer que les extré"mit^s dû diamètre BFB^qui divise en deux parties ëgales Tsingle XTYjSont les points de la circonférence pour lesquels la.somme deà carrés dés perpendiculaires menées, sur FX, FY , est un maximum. En effets on a : DQ<DF^-FO.<FBHhFR<BR ,
d'o|i DP4r DH<BS-f-Bt. par conséquent, si l'on détermine. sur le. diamètre BB', deux points Y.) Y' qui' «aient la propriété de-
mandée , la distance Y'Y de ces deux poimt» ser^ la plus petite corde de la courbe en question,. çsu* la somme des carrés des
Îierpendiculaires abaissées sur FX , FT d'un point z pris sur a qircQnférence décrite avec F Y pour, rayon, «sera toujours moindre que a». . ,
, Il résulte évidemment de tout ce qui précède que. la .ligne cKercbée est du second décré , limitée dans tous les sens , la plus grande corde de cette courbe est MM', et la plus petite VY' : c'jcst dire que cette ligne est, une ellipse dpi^t le grand a^ e est MM' , et le petit axe YY', Lorsque l'angle^ XJFY est -droit, les deux axes deviennent égaux et l'ellipse se réduit à une circonférence (i).
Paris, le 10 janyier 1827.
(-1) M. Gerono nous a fait paryeuir depuis un nouyeau mémoire sttr les propriétés mécaniques du centre de gratùté^ qui tronyera place dans un prochain numéro. A. Q.
MATHiXATIQtrE ET MTnQUE. II
MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
ASIRONCMdE.
;li-
Extrait étune lettre de M. Gimbabt ^ directeur de l'Observa-
' tmi^ de M^rseifle , au rédacteV^
J'ai repris, dans le mois dernier , les calculs de la comète du Bouvier, et sans avoir encore absolument achève ,. je suis cependant parvenu à un résultat , pour le passage sur le disque du soleil , qui n'éprouvera plus que de fort légers changemens.
Orbite paraboUque Jbndée sur les obsen^atlons qui ont précédé
le passetge au Périhélie.
Passage au Périhélie. 1826, 3ai' ,93008 1. m. compté de mi nuit à Marseille.
Dist. périh. • • sts 0,02708868
Lone.périh. • • sai 3i5.4i*4<^ 1 v o à* ^
Long, nœud asc. sa 235.1 3.34 S Inclinaison. • • =a 89.26.30 Rét.
KunmBs.Mtae.
' .susM ta zM.
Oct.
à'Altona
à Mars.
\ Mars..
2% ' tmfêMavenàTtcu.
ÏJLAEUE BM LOKG. XMJKUE EN IJLT.
Nov. 6 + aa — ^% àPadoue.
7 — i8 — 16 à Mars*
"8 , i^«$ -4-6 àShrs.
