JOURNAUX MATHÉMATIQUES
On lit, dans le dernier numéro des Annales Mathématiqueg (mois d'août), qui contient une annonce de notre Journal , les mots suivans : « Nous saisirons cette occasion pour annonceiu à nos lecteurs que le journal de mathématiques allemand , que publie M. Crelle , vient d'acquérir une consistance nouvelle , par les encouragemens que S* M. le roi de Prusse vient d'accorder à l'auteur. Nous aurions peut-être été nous-mêmes contraints , vu le petit nombre des hommes que ces matières in-^ tâ*essent, de renoncer à notre entreprise, si nous n'avions obtenu .de pareils encouragemens de la part du gouvernement français ; ce qui doit consoler im peu les gens de lettres^ purement gens de lettres, qui se figurent les sciences exactes comme menaçant sans cesse d'envahir le domaine de la lit* térature* » Quoique nous pensions conmie M. Gergonncy sur le prétendu envahissement des sciences , nous étions loin de supposer qu'un journal, aussi justement estimé que le sien, pût courir les dangers dont il parle* Cet aveu n'est guères de nature à nous rassurer sur le succès de notre entreprise , mais elle nous consolerait au besoin. Nous devons , du reste , à la justice de dire que notre gouvernement nous a témoigné la même bienveillance que MM. Ger^onne et Crelle ont trouvée près des gouvememens français et prussien ; et que , si nous étions dans le cas de devoir faire des sacrifices , il ferait en sorte que nous n'en fussions du moins que pour nos peines, sans compter les désagrémens que fait éprouver la négligence des libraires qui sont peut-être les plus puissans auxiliaires que puissent avoir ceux qui craignent les journaux scientifiques.
Grands prix de Mathématiques proposés par V Académie
Royale des sciences de Paris.
I. Examiner dans ses détails le phénomène de la résistance Tom. JIL i3
1 78 CORRE5POir9AKCS
de l'eau, en déterminant avec soin, par des expériences exactes, les pressions que supportent séparément un grand nombre de points convenablement choisis sur les parties antérieures , latérales et postérieures d'un corps , lorsqu'il est exposé au choc de ce fluide en mouvement, et lorsqu'il se meut dans le même fluide en repos; mesurer la vitesse de l'eau en divers points des filets qui avoisinent le corps; construire sur les données de l'observation, les courbes que forment ces filets (i); déterminer le point où commence leur déviation en avant du corps; en établir, s'il est possible, sur les résultats de ces expériences, des formules empiriques que l'on comparera ensuite avec l'ensemble des expériences faites antérieurement sur le même sujet*
Le prix consistera en une médaille d'or de la valeur de 3ooo francs; les mémoires doivent être remis avant le i*^ janvier 1828%
II. Le prix relatif au calcul des perturbations, du mouvement elliptique des comètes n'ayant point été décerné, l'Académie propose le même sujet dans les termes suivans : Elle appelle l'attention des géomètres sur cette théorie, afin de donner lieu à un nouvel examen des méthodes, et à leur perfectionnement. Elle demandé en outre, qu'on fasse l'application de ces méthodes à la comète de 1759, et à l'une des deux ' autres comètes dont le retour périodicpe est déjà constaté.
Le prix sera une médaille d'or de la valeur de 3ooo francs; il sera décerné le i" lundi du mois de juin 1829, les mémoires doivent être remis avant le i^' janvier 1829*
Ce terme est de rigueur.
(1) Ce qui peut se faire de plusieura manières, et d^abord au moyen de corps lëgers qu'on jette sur h surface de l'eao.
MATBiEHATIQITE ET PHYSIQUE. i^g
Questions proposâmes par la f (acuité des sciences de Vuniuersité
de Liège , pour tannée 1828*
i^ Exposer les mëthodes par lesquelles on intègre les équations diffërentielles partielles du premier ordre. On devra y ajouter l'interprétation géométrique de celles qui ne contiennent <pie trois variables.
2« Établir un examen exact de l'azote (nitrogène)) et de ses composés pinmaires ou du premier ordre ;
S"* Quelle utilité la géognosie a-t-elle retirée de l'étude des pétrifications?
Questions proposées pour 1837 , par la Jhculté des sciences
de VUniifersUé de Louuain.
h Disquiratur accurate quid pendulorum observationes circa terrae fîguram proficere valeant : seu pendulorum observationum circa determinandam terrae fîguram usus dilucide ostendatur, observandi rationes atque onmes observationum consequentias physicae dijudicentur.
n, Exhibeatur geographica distributio animalium, vegetabilium et mineralium, ita quidem ut et classium et familiarum, ad quas quaeque eorum pertineant, perpétua habeatur ratio.
III. Bescribantur plantas et animalia, e quorum partibus vel productis spiritus ardentes extrahi soleant, et indicentur modi quibus extractio haec perficiatur, spiritus dicti depurentur et concentrentur atque in aetheres varios convertantur; adnexa singuli processus interpretatione chemicotheoretica.
l8o COBJUSSPOinDAnGE MATHÉBUTIQUE et PHYSIQ17E.
QUESTIONS
L Résoudre les équations :
Mp et Wp étant des multiples de p , supposé nombre pre* mier. ^
IL Deux droites étant données dans un plan, placer Fœil de manière <jue la perspective de Tune soit double de celle de l'autre.
m. Trouver graphiquement la courbe d'intersection' d'tme surface de révolution quelconque , avec une surface du second degré y lorsque les axes de ces surfaces ne se rencontrent pas.
IV. On donne dans un plan un angle et un point , et Ton de* mande de faire passer par le point une droite qui coupe les côtés de l'angle , de manière que Paire interceptée soit de grandeur donnée.
'i^M.tti-'ëXtmMr^tj^à-êSvm::
UVUES NOUVEAUX.
Wiskundige F'erhandelingen oi^erde théorie van hetcopieeren en het verkleinen van kaarten , enz, ; door DegeldeIi , i8a6 , 2«drui, !■*• deel , met platen i in groot octavo ,y*. i.
TViskundige J^erhandelingen oi^er de teste wijzen , om in: verschillenden aard van gronden reifétements-muren te fonderen; door Me&keks , 18269 ^^^^ platen 9 in groot octayo, /. 2 10.
Wiskundige F'erhandelingen wegens het ontwerp van eene ùphaaïbrug; door BAtiUEU, 1827 , met eene plaat, in groot octavo , yi !•
Wiskundige f^erhandelingen wegens de VGor* en nadeelen der contre-^escarpmuren bij vestingen; door OosTWYir , 1827, met eene plaat, in groot octavo, yi i.
Wiskundige Verhandelingen oi^er een nieuw en beter sijS' tema van beuestiging ; door Laurillard dit Fallot 9 1825 , tnet eene plaat , in groot octavo ^J^o- 3o.
Les quatre Mémoires précédens ont été couronnes par le Dé-^ partement de- la guerre,
Positions de Physique, ou Résumé d^n cours dé physique . générale; par A. Quetelet, tome II, prix i franc 5o c. A Bruxelles, chez Tarlier^ 1827..
Voyez ^avan^propos de cet ouvrage , inséré à la page 55 de ce volume.
TABLE DES MATlÈItES.
Mc^Mmatiquea alimentaires.
Ptgai.
G'ioHmiB. — Théorème sur les triangles *, M. LesckeTats • . . . lai
Qbçervatiofi ;}ur le théorème précèdent ; M. Manderlier . • • . • laa
Théorème sur le concours des droites.; M. Nerenburger • . • • « »
Autre démonstration et extension du théor. précéd. ; M. Olivier • . ia3
ÂLoèB&B. — Problème sur la décomp. des nombres ; M. Nerenburger . ia4 ^
MathémaUfuea transoendan^ee^
GioHÉTRiB. — Propriétés des sections coniques ; M. Olivier .... 126
Problème sur les lignes «nyeloppes ; M. Lescherain i3S
AxTÀLiSB.-*- Problème sur la décomp. des nombres; M. Pagani . • . x96 MicAitiQUK. — Sur les propriétés du centre de gravité ; M. Grérono • . ûj
Mathématiques appliquées»
Phtsiqvb. -^ Extrait d*une lettre de M. Hachette, au rédacteur. • . i44 Explication math, des phénomènes de la résonnance; M. Pagani. • i4^ MiréoiiOLOGiB. — Observations météorologiques ; M. Boayard * . • i5o
Addition aux observations précédentes ; A. Q - • • iM
Catalogue des princ. météores obs. à Liège ; M. Sauveur i56
Statistique. — - Sur les prisons du Royaume des Pays-Bas; A. Q. • • i^ /, Sur la taille moyenne des habitans de Paris; M. Villermé 160
■ Revue scientifique.
Suite de l'analyse de la théorie des transversales ; M. Gamier. — • Cours de géométrie élémentaire ; M. Vincent. — Résumé des opinions des philosophes sur les causes premières , etc. ; M. Gruyer. — Mémoires posthumes de M. Schmidt. — Essai sur la quadrature du cercle, par G.-S. — Traité de Téclairage ; M. Péclet . . . . de i63 à 175
Séance du 21 juillet de l'Académie Royale de Bruxelles. •— Société de bienfaisance de La Haye. — École Polytechnique de France. — Journaux Mathématiques. — Grands prix de l'Institut de France. — Questions proposées par les Universités de Liège et deLoovain. de 175 a 179
Questions 180
MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES
GÉOMÉTRIE
\l Tout plan qui passe par la droite que déterminent les milieux des arêtes opposées d'un te'traèdre^ le diuise en deux parties équii^alentes ; par M. Bobillier, professeur à l'École des Arts et Métiers de Ghàlons-sur-Marne (i).
Soient e ef/* les milieux respectifs des arêtes opposées ah et cdàxï tétraëdre abcdy et par la droite efqpi les unit , soit mené un plan quelconque ehfg^ les deux tétraèdres tronqués aehfdg et hegfch, seront équivalens {fig* 26).
En effet, si Ton tire les quatre droites ag ^ af^ bh et hf^ le tétraèdre tronqué aehfdg sera décomposé en une pyramide quadrangulaire afikfg et en un tétraèdre agr^, et le tétraèdre tronqué begfch en une pyramide quadrangulaire behfg et en un tétraèdre hhcf; or , les deux pyramides ae^et bekfg sont équivalentes, attendu qu'elles ont la même base ehfg^ et que leur hauteur, étant dans le rapport de tte à eb^ sont égales. Reste donc à dé-
(i) M. BôbiUier^ en nous communiquant la démonstration do théorème pr^édent , noot fait espérée d^autres l'echerches sur les projections que nous nous empresserons de publier dès que nous les aurons reçues. « L'article de M. Dandelin « sur les propriétés projectives, nous écrit ce savant, et surtout le dernier théorème qu'il ne fait qu'énoncer, a vivement piqué ma curiosité, attendu que depuis long-temps |e suis parvenu à cette proposition et à quelques antres du même genre. « Les partisans de la géométrie des projections, qui présente de si beaux résultats quand elle est habilement maniée , auront proba;-' blement aussi remarqué les articles de M. OUvier, que nous avons insérés dans nos derniers numéros. A. Q.
Tonu IIL 4
^Bl COH^RESPOVDANCE
montrer que les deux tétraèdres agdfet hbef ont aussi la même
SC{lidité.
Les deux faces gdfetbfcy ayant des bases égales Jd etfc, sont entre elles comme leurs hauteurs , ou, ce qui revient au même, qomme gd : bd^ les hauteurs correspondantes à ces faces , dans les deux tétraèdres , sont aussi proportionnelles aux droites oc et ch^ mais deux tétraèdres sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs; donc,
agdf: hhc/l igdXac : hd X ch. (i)
• Actuellement , les perpendiculaires abaissées des points dei by sur le plan sécant ehfg^ sont entre elles comme g»?: ^g; et celles abaissées des points ceta^ sur le même plan comme ch\ ,ah} mais les deux premières perpendiculaires sont respectiyement égales aux deux deiiiières , parce que çf=fd et be ss: ea ; donc 9
gd:bgi:ch:ah'^
d'où
gd -h bglgdllch -i- ah l chou bdl gd H ac ich,
et par suite ^ gd y^ ac •ssz bd yi ch ; de là résulte , à cause de la proportion (i) , agdf^==. hbcf. C. Q« F. D*
( Au moment de la publication du dernier numéro de la Correspondance Mathématique^ il m'est parvenu dpux nouvelles démonstrations du théorème Consigné aux pages 122 et ia3 : IW de M. Aug* Goethals , étudiant à l'Université de Gand , est déduite de la théorie des transversales ; Taùtré de M. G. N. Groetaersy cadet à Fécole d'artillerie et du génie de Delft,se rapporte entièrement à la démonstration donnée par M. Neren' burger* M. Groetaers avait aussi démontré le théorème dont il a déjà été question aux pages 66 et 6^. Je regrette de ne pouvoir mentionner ou publier dans ce numéro les différens matériaux qui me sont parvenus pendant une absence assez prolongée, que j*ai été dans le cas de faire pour. une mission scientifique; la {»t>chaine publication du numéro suivant , suppléera à ce silence. ) A. Q.
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. l83
Deux droites étant données dans un plan , placer Vœil de ma" nièrv que la ffxtndeurapparente de V une, soit double de celle de tautre. Question proposée à la page i8o du IlP.yoU, et résolue par M. Maicdeblier, candidat en sciences, à l*Uniyersitë de Gand, et par M**"*".
Prenons pour plan horizontal celui des deux droites proposées  et B ; et 9 pour plan vertical , celui qui passe par A. Après avoir décrit sur Aet B des arcs de cercles , tels que celui construit sur A, soit capable d'un angle double de celui dont est capable Tare décrit sur B ; si Ton fait' tourner ces arcs de cercles autour de A et de B ^ cbacun d'eux décrira une surface , de tous les points de laquelle les grandeurs apparentes de A et de B seront constantes : ainsi tous les points communs à ces deux surfaces satisferont à la question proposée.
En supposant que les angles sous lesquels on veut voir les droites, soient donnés de grandeur, le problème admet un nombre infini de solutions , puisque l'œil est assujetti à la seule condition d'être placé sur une courbe. Cette courbe peut se construire assez facilement par points , en employant la méthode indiquée par Monge , dans sa Géométrie descriptii^e, pour déterminer l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se coupent.
Si les angles sous lesquels on veut voir les droites étaient
' indéterminés , et si l'cm ne connaissait que leur rapport , en leur
attribuant différentes grandeurs , on obtiendrait différentes
courbes , dont l'ensemble formerait une surface sur laquelle il
suffirait de prendre le point de vue pour voir les droites dans
. les proportions voulues.
On conçoit qu'il existe des cas où le problème pourrait ne pas admettre de .solution. On conçoit qu'il existe aussi des solutions géométriques qui devraient être re jetées en optique, par l'impossibilité où serait l'œil d'apercevoir à la fois les deux droites proposées. £n supposant rigoureusement connues. les limites de la ?ue distincte , il serait peut-être curieux de déterminer sur la
l84 CORRESPONDANGB
surface que donne le problëme , la ligne qui sëpare dans la pra^ tique , les solutions réelles des solutions illusoires.
Si l'on demandait de placer l'œil de manière que les grandeurs apparentes des deux droites données fussent dans un rapport connu 9 de n h. m par exemple , on pourrait encore employer les mêmes moyens de solution. On pourrait aussi supposer des droites placées dans l'espace d'une manière quelconque.
Enfin, on conçoit que si l'on désirait placer l'œil de maniée à voir quatre droites à la fois sous des angles dont les rapports seraient donnés , le problème pourrait être considéré comme déterminé : en prenant en effet la première droite avec chacune des trois autres , on aurait trois surfaces dont les points communs seraient autant de solutions différentes du problème.
GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.
Solution de la a^-que^tion proposée , page 64 du III® vol. , et résolue d'une autre manière à la page 121; par J. N. Noël, professeur des Sciences ]|physiques et Mathématiques , principal de TAthénée de Luxembourg.
Soit ABC le triangle proposé; sur ses côtés , pris tour à tour comme diagonales, soient construits les parallélogrammes ANCM, APBK et CQBV , dont les côtés contigus soient parallèles à deux droites données; je dis 1° : que les trois autres diagonales MN, KP et QV, concourront en un même point; 2® : que ce point est le centre d'une hyperbole circonscrite au triangle proposé {Jig. 27 ).
i<* Plaçons l'origine des coordonnées, généralement obliques, au point A, et dirigeons les axes des a: et des ;^,-sui vaut les droites AN et AK ; soient AN = x' , et NC = y les coordonnées du point C , AP = ac" et PB = j^" , les coordonnées du point B. Il est clair que les coordonnées du point M sont o et^' , cel-
HATHÉMATlQtJE ET JPHTSIQUE. r85
les du point N , x' et 0/ donc Téquation de la diagonale MN est
jr^y = -^x.-.. (i)
De même , les coordonnées du point P étant x'* et o , celle du point K , o et^" , l'équation de la diagonale KP est
Enfin , les coordonnées du point Q sont af et jr" , celles du point V, jc" et^; donc l'équation de la diagonale QV, est
Pom* le point Q, oh se coupent les diagonales MN et KP, les ^ et les y sont respectivement les mêmes dans les équations (i) et (2) ; si donc on résout ces équations , on aura , pour les coordonnées xi et^x du point O ,
I Et , puisque ces valeurs substituées dans Téquation (3) de la diagonale QV, satisfont à cette équation, il s'ensuit que cette diagonale passe aussi par le point O, et qu'ainsi les trois diagonales MN , RP et QV , se coupent au même point O.
2<* L'origine étant au centre et les coordonnées quelconques., l'équation d'une ligne du second ordre , est de la formie
Ay -*- Bjy -♦- Gr* -H S =3! o.... (4)
Supposons le centre de cette courbe au point O , pris pour origine des coordonnées, et dirigeons les axes des x.et des^, parallèlement aux droites AN et AK ; ce que nous pouvons toujours faire , puisque les coordonnées sont quelconques dans lVquation(4} de la courbe. Si nous voulons passer de cette équation à celle qui a lieu lorsque l'origine est au point A et les axes dirigés suivant AN et AR , il faudra , comme on sait , remplacer
