IÔ6 N CORRESPONDANCE
^ et jr , par^ — y i et a? — or i; il viendra donc alors , pour réqùation de la courbe proposée,
A (y—y^Y -♦- B {x-^xx) {y—y^) + C {x—x^Y + S=o...(5)
Mais pour que cette courbe soit circonscrite au triante ABC , il faut que son équation (5) soit satisfaite par les coordonnées des trois sommets A, B, G ; ce qui donne, pour déterminer les coëfficiens inconnus A , B , G , les trois équations :
A^i * -*- Bxi^x -♦- Qxx * H- S 25= o , I
A(y'— ^0» + B(a:"--arx) (y— rO -*- C(ar"— a:.)* + S=o, ...(6) tiiy — ^x)» + B \x' —X.) (/ — ^i) + c (a/ —XxY + S=o. J
Développant dans les deux dernières équations et ayant égard à la I'*, puis substituant les valeurs trouvées pour xx et/i, et réduisant , on verra que ces deux dernières équations deviennent
Ces deux équations donnent A = o , G as o , et la i^* équation
(6) fournît B = .
xxyt
iiS^Q. ces valeurs , l'équation (4) se réduit à
équation d'une hyperbole rapportée à ^z^ asymptotes* Ainsi k point O est le centre d'une hyperbole circonscrite au triangle proposé ABC ; ce qu'il s'agissait de démontrer.
( En nous faisant parvenir ce théorème , M. Noël observe que la solution du problème d'algèbre de M. Pagani, donnée à la page i36, coïncide avec celle qu'il a donnée, page To6) dans ses mélanges d'algèbre nouvellement publiés.)
MATHÉMATIQUES TRANSCENDANTES
GÉOMÉTRIE-
Mémoire sur les propriétés polaires de quelques polyèdres, par T. Olivier, ancien ^ève de l'École Polytechnique.
i.Dans la 3e livraison du tome III«de la Correspondance Mathématique et Physique , j'ai donné l'énoncé du théorème suivant :
Etant données trois droites a , b, c , concourant en un point à ; si Von prend à volonté, deux points sur chacune d'elles , .
a' et a" sur a; b'et b" sur b ; d et c' • sur c / ...
tt qu'on les unisse deux à deux,, dans un ordre arbitraire par des droites , ton obtiendra six points de concours , situés sur une droite unique {fig* si8). Mais pour compléter cet énoncé, l'on doit ajouter : que la droite unique n'existe qu'autant qye les six points donnés sont sur une courbe du si« degré , et que lorsque ces six points ne satisfont pas à cette condition, alors les six points de concours , sont distribués trois à trois sur quatre droites.
Le théorème suivant est un cas particulier de celui que je viens d'énoncer*
iSi, dans le plan ^un triangle , l'on prend un point arbitraire ,
l88 C^OBRESPOIIDAIICE
par lequel Von fasse passer trois droites contenant chacune m des sommets 9 elles couperont les trois côtés ^ chacàne en un point j de telle sorte y que les trois droites unissant deux à deua ces trois points d'intersection , détermineront par leur rencontre at^ec les trois côtés prolongés , trois noui^eaux points qui seront en ligne droite.
Je croîs devoir donner ici la démonstration du théorème général énoncé ci-dessus , parce que le mode de solution qae j'emploie , dérive de la manière dont j*ai envisagé les propriëtÀ polaires , dans mes recherches diverses sur les courbes et surfaces du 2* ordre.
Si l'on veut seulement démontrer le théorème énoncé dans le 2« n® de la Correspondance , en supposant toutefois , pour plus de généralité , que les trois droites divergent d'un point au lieu de les supposer parallèles ; l'on dira : ,
Par les trois points a' yh\d y je fais passer une courbe quelconque du 2' degré âc; que je considère comme la base d'un cône G , ayant pour sommet un point s , pris arbitrairement dans l'espace, (/%. 28. )
Je suppose la droite ds , et sur cette droite un point arbitraire; '•
Les trois droites 5'a", j'ft", s'c", couperont respectivement le cône G, en trois points m\ m'% m"\
Ces trois points détermineront un plan M, qui coupera le plan de a , suivant une droite m, qui contiendra les trois points de concours.
En effet, le plan contenant les deux génératrices sa' et sh^, coupera le plan contenant les deux droites s'a^' et s'b'', suivant le côté Tw'nx", du triangle /îtWW.
Les traces a'b' et af'b'' de ces deux plana, se couperont donc au point oïl le côté «« W prolongé , viendra percer le plan de a , en d'autres termes , aa point oh ce côté coupera la droite m] trace du plan M.
n en sera de même pour les autres droites
flVeta'V; 5V etiV;
Par Gon$^<luent , les trois points de concours désignés sont en ligne droite.
Le théorème énoncé dans le n® 2 de la Correspondance ^ est donc démontré par ce procédé.
Mais pour démontrer le théorème général que j'ai énoncé dans le n<> 3, il faut faire voir dans quel qas , quels que soient les ^ trois points des six donnés sur les trois droites a^b^c^ que Ton choisira pour y faire passer la courbe a; Ton obtiendra toujours la même droite m , pour lieu des trois points de concours , obtenus pour chaque combinaison trois à trois , des six points donnés; chaque combinaison ne contenant *qu'un. des deux points situés sur Fune quelconque des trois droites a^h^c. . Les trois points que la construction précédente nous donne, sont désignés sur la figure, pv/?'» p'\ P^'* Et, cette construction ne peut donner que ces trois points , des six de concours qui existent réellement.
Si Ton fait passer la courbe a, par les trois points a^, &^, c/. Ton, obtiendra les trois points de concomrs dç'signés i^p'\ ^'% ^''\
Et considérant toutes les combinaisons possibles , l'on arriye à cette conséquence , savoir : que la solution du problème donne en effet six points de concours , qui sont trois à trois, en Ugne droite ; mais rien ne dit jusqu'à présent qu'ils sont tous les six sur une droite unique.
Pour obtenir la solution complète du théorème énoncé dans toute sa généralité, il faut examiner ce qui a Ueu dans l'espace ,. et redescendre ensuite sur le plan.
Ainsi, il faut supposer une pyramide triangulaire tron* quée.
Les plans des deux triangles-faces se couperont suivant une droite L , smr laquelle viendront se rencontrer deux à deux ,les côtés qui sont dans un même plan.
Les sommets de ces faces triangulaires , seront les six poipts situés, deux à deux, sur les trois droites arêtes concourant au sommet de la pyramide.
Maintenant l'on peut supposer une conrbedu 2^ dégrève' , passant par les quatre sommets d'un des quadrilatères-faces , être-
igo COBAESPONBAirCE
garder cette courbe comme la base d*un cône S , ayant son solnmet en un point arbitraire s , situé sur L.
Les plans des deux autres quadrilatëres-faces couperaient S, suivant deux courbes a" et a'^\
Les trois courbes ^ , a'% a"^, seront deux à deux, sur trois cônes , donc les sommets seront situés sur L.
a. J'ai démontré, dans le mémoire sur les propriétés des courbes du a* degré, considérées dans l'espace, et qui est inséré dans le n<> 3 de la Correspondance , que l'on pouvait toujoan envelopper deux courbes planes , situées sur une surface du 2* ordre , par deux cônes.
J'ai aussi démontré dans la Correspondance de F École P(h ly technique 9 rédigée par M. Hachette , que les sommets des sii cônes enveloppant , deux à deux , trois courbes planes , sont sur quatre droites situées dans un plan.
Si, du sommet de la pyramide , l'on mèae dçux tangentes à chacune des trois courbes 0/, a'', af'^9 les six points de contact seront dans un plan R.
Car , ces six tangentes seront , trois à trois , dans les deux plans, que Ton mènerait par le sommet de la pyramide tangentiellement au cône S.
Les six points de contact des tangentes , seront donc trois à trois , sur deux génératrices du cône S ; donc , etc.
Le plan R , passera par la droite qui contient les sommets du cône S et àes trois cônes enveloppant , deux à deux ,1 es courbes â/, af% ai" ; car les six points de contact dès tangentes seront, deux à deux, sur des génératrices appartenantes aux cônes enveloppes.
Le plan R , passera par les trois points oîi se croisent , deux à deux^ les diagonales des trois quadrilatères-faces ; car , chacun de ces points se trouve , par la propriété des quadrilatères inscrits , sur la droite h , qui passe par les points de contact des deux tangentes menées du sommet de la pyramide à la courbe, dont le plan est celui du quadrilatère-faee , considérée. Et, cbl vertu des prop]::iétés des quadrilatères inscrits, le plan R passe évidemment par la droite L; et il est facile de voir en même temps que les sommets des trois cônes enveloppe^ sont sur
cette droito L , puisque , je le répète , la corde h des contacts sera la polaire , et le sommet de la pyramide , le pôle de la courbe considérée*
£fi maintenant, sur le planR, l'on prend un point' arbitraire par lequel Ton mené des divergentes passant parles six sommets du tronc de pyramide , par le sommet de la pyramide complète et par les trois points où les diagonales des faces-quadrilatères se croisent ; en coupant ce nouveau système par un plan quel* conque , Ton obtiendra les six points de concours , tous situés sur Ja droite m, ligne d'intersection du plan sécant et du plan R.
3. Mais si , au lieu de prendre le centre des divergentes sur le plan B. , on le choisit hors de ce plan , alors l'on obtient , sur le plan sécant, les six points de concours , distribués, trois à trois , sur quatre droites*
Ainsi donc, lorsque Von considère les trois droites a, b, c^ dit^rgentés d'un point d; dans lé cas oh elles sont situées sur un plan y il doit exister une relation déposition entre les six points a', a" et b'; i", et b" et c', c", pour que lessixpoints de con* cours soient sur une droite unique* Cherchons cette relation*
Si , dans l'espace , Ton prend un point arbitraire^, par lequel l'on mène six droites A', A", B% B", C, C", passant respectivement parles points a', a", h\ J", cf, c".
Si , ensuite, l'on mène par le point ^, trois droites arbitraires A'^' dans le plan af, B'" dans le plan bf, et C" dans le plan cfy l'on aura six points :
a^ sur A'; a'/ sur A" 5
c; sur C;
< sur C"î
y, sur jB' ; b'; sur J5" ;
pour que le lieu des six points de concours dans le plan soient sor une droite tmique, il faudra évidemment, en vertu de ce qui précède, que le plan R, que l'on obtiendra pour le lieu des six points de concours dans l'espace , passe par le pointai
Cest ce qui n'aura Ueuqu'autant que les six points situés sur les droites a, i, c, seront sur une section conique , a* Car, alors, lessixdroites divergeant du point/, seront les génératrices d'un cône S 9 qui sera coupé par le plan déterminé par les trois
igi COfiBESPOKDAUCB
pointe a", y h*,^c\^ /choisis arbitrairement parmi les six, suivant une courbe du 2« ordre a'; et par celui des trois pointe restans a7, A^', c^', suivant une courbe du a* ordre, a"..
J'ai démontré dans un mémoire sur les propriétés polaires des surfaces du %• ordre , lu à la Société Philomatique de Paris , en février 1826, que les deux courbes a! et d' , sont sur un second cône S' et sur une infinité de surfaces du 2' ordre , S ; et que» nommanty* le sommet du cône S ^f celui de S% et L la droite d'intersection des plans des courbes o! et a!' : le planyL, sera plan polaire de £, le poU étant le point f ; et le plan^^L, aussi plan polaire de S , le pôle étant le po.inty.
Les .deux plans yX et y'L , étant dite plans polaires conjwgués de la surface S ; et le plan R , n'est autre que celui désigné paryTi ; donc , etc.
Si les trois pointe a\h\ c', sont en ligne droite, ainsi que les trois pointe a'% h'\ d\ Ton n'aura plus que quatre pointe de concours , qui seront sur une droite unique; parce que les deux -droites a'h'd et a"b''c'^ , joueront ensemble le rôle d'une courbe du 2« ordre.
4* J*ai supposé dans tout ce qui précède. que les six pointe situés dans l'espace étaient les sommets d'un tronc de pyramide triangulaire; mais cette, relation déposition, ne dcmne qu*un cas particulier du théorème général, qui peut être énoncé ainsi :
Étant données les trois arêtes A y B, C, d'un angle trièdre; de çuelifue manière que Von choisisse sur chacune d'elles , deux points: a', a", sur A^ b', b",^Kr jB/ c', c", surC, le plan déterminé par trois points ( choisis arbitrairement parmi les six, mais de înanière qu'il y en ait un de chacune des trois arêtes ), coupera celui déterminé par les trois points restans , suivant une droite D* Les combinaisons possibles ^ trois à irais, des six points, seront au nombre de quatre ^ et les quatre droites D seront situées sur un plan unique*
La démonstration que j'ai donnée pour le tronc de pyramide .triangul^re s'applique mot à mot à ce. théorème général. Et il est facile de reconnaître quels seront les diverâ polyèdres à six sommets , qui naîtront de la différence de relation de posi-
th>n que Ton établira entre les six^points situés sur les trois arêtes dé Taugle' triedreL
5* J'ai énoncé au couunencement de ce mémoire un théorème relatif au triangle, lequel n'était qu'un cas particulier de celui qui existait pour six points distribués , deux à deux » sur trois droites situées sur un plan, et concourant en un point.
Mais,' lorsque Ton* suppose que les trois droites sont les arêtes d'un an^e trièdre , Ton ne trouve aucun cas particulier qui cor. responde dans Tespace k ce qui est. sur le plan, par rappprtau triangle. Ce n'est que lorsque Ton considère quatre droites^ concourant en un point et deux à deux sur six plans , que l'on obtient dans l'espace le théorème analogue k celui énoncésiu* le plan.
Ce théorème peut être' énoncé ainsi :.
Soit un tétraèdre dont les sommets sont désignés par m, n , p, q, et les faces opposées par ilf, N^ P, Q*
L'on prend un point quelconque r , dans tenace, duquelpartent quatre droites mr , nr , pr , qr, contenant chacune un des commets du tétraèdre.
Ces droites perceront chacune en un point , la face opposée nu sommet par laquelle elle passe ^ ainsi:
TOT percera M en m' nr — iV — n'
pr — i* — p' qr Q q'
Le plan déterminé par les trois points m% n' et p% coupera la face Q , suii^ant une droite q".
De même ^ le plan m'p'q' coupera N, suivant une droite n'^
et m'nY — P — p"
n'pY —M — m"
les quatre droites p", q", m", n", seront toutes situées sur un plan unique R.
Et ce théorème n'est qu'un cas particulier du théorème généhd, qui peut être énoncé ainsi : >
Si^sur chacune des quatre droites a , b , c, d, concourant en un point f^ et situées 9 deux à deuXj, dans des plans différent ^ Von
1^4 COBBZSPOHPAKOK
prend deux points quelconques^ désignés par a' et b!\ sur a; b' etV 9 surh ^ c' etc" ^ sutq'^ etd'etd"jsurd\ les diagonales et les côtés des quadrilaières^plans^ ayant pour sommets quatre des huit points donnés et appartenans h deux quelconques des quatre droites , se couperont sur un plan unique R : ou en Centres termes^ six des huit points donnés ^ et appartenans à iroU quelconques des quatre droites , détermineront huit plans qui se couperont^ deux à deux ^ suitrant quatre droites qui seront situées sur un plan unique R^ et, quel que soit le quadrilatèreflM considéré, ou les six points employés j le plan obtenu , sera UW/jours le plan R*
Les huit points pris , deux à deux , sur les quatre dreites concourant en un point J^y peuvent être sur chaque droite d'un même cot^ par rapport au point^/ ou INin d'un côté, et Tautre de Fautre côte; ou bien encore pour uue ou deux ou trois droir tes ; seulement , les points peuvent être d'un même côte oa de côtés diffërens, tandis que pour les trois ou deux ou une dn»tes restantes , les deux points seront de côtés différens ou do même côté, par rapport au point de concoursyi
Et, quelle que soit la relation de position entre les huit poinU, ils jouiront toujours des propriétéspolaires énoncées ci-dessus; et il est facile de reconnaître combien il y a de polyèdres différens à huit sommets , provenans de la variété que Ton peut établir dans la relation de position.
Le tronc de pyramide quadrangulaîre est un cas particulier du théorème général , et jouit des propriétés polaires suivantes :
lo II est la partie commune de trois pyramides quadrangnlaires dont je désigne les sommets par s\ 5", s'" ;
2^ Les quatre diagonales de ce tronc se croisent en un point, que je désigne par s ^
â^ Par les huit sommets du tronc pyramidal , Ton peut faire passer une infinité de surfaces du 2^ ordre ;
4® Je désigne par S , Tune de surfaces circonscrites.
Les quatre points s , s% s'', *'", seront les sommets d'un tétraèdre, tel que chacune de ses faces sera plan polaire de S, le pôle étant le sommet opposé.
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE* igS
5^J?9r les huit points donnés sur les quatre droites, concourant eny*^ l'oii: peut toujours aussi faire passer une. infinité de surfaces S, et le plan K en aéra plan polaire^ le pâle étant le pointai
lies théories que je viens d*énoncer sont démontres dans mon mémoire sur les propriétés polaires de trois et quatre courbes planes, situées sur une surface du 2« ordre , lu à la Société' Philomatique de Paris, en février 1826, et que M. Quetelet doit publier dans Tun des prochains numéros de la Correspond dance des Pays-Bas.
Os se déduisent comme conséquences du théorëme fondamental suivant : . ^
Étant données q droites , concourant en un point f , et une surface du 2" ordre Z, les 2n points d'intersection des droites et deZ^ seront quatre à quatre, sommets de quadrilatères-plans , dont les diagonales et les côtés se couperont sur un plan unique E , qui sera plan polaire de £ , /e point f étant le pôle. Et vice versa : si Von a tu points, situés, deux à deux ^ surn droites, concourant en un point f et donnant un plan unique "K^poun lieu de concours des diagonales et des côtés des quadrilatères'plans, ils seront tous sur. une surface du 2® ordre Z , ayant le plan 'Bipour plan polaire , le pôle étant le point f. Et^ si l'on veut avoir le théorème correspondant au cas oîi les n droites seront situées dans un plan> il suffira de remplacer dans Ténonce précédent , la surface S , par une section conique ; et le plan R, par une droite;
6° Je crois devoir terminer ce mémoire par une observatîoa qui me parait d'une grande importance*
L'on sait que dans ces derniers temps quelques géomètres se* sont efforcés de faire passer pour une vérité incontestable le principe de la loi dé continuité en géométrie; et ont, dès lors, présenté comme nouvelle forme de démonstration rigoureuse le mode de raisonnement qu'ils déduisent de ce principe.
Ainsi , ayant trouvé que six points 'distribués, deux à deux,. sur les trois arêtes d'un angle trièdre , donnent un plan unique pour lieu des points de concours ; en suivant la route indiquée par ces géomètres , l'on devrait conclure rigoureusement que
Tg6 CORREdPONDAirCE
I6r5({ue les trois droites divergeant d'un point» sont situées sur un plan , les six points qu'elles contiennent , deux à deux, doivent donner une droite unique pour lieu des points de concours; et que si , dans l'espace , le lieu des concours est un plan , ce lieu se change ri^ureusement sur le plan en une droite. Cependant l'on voit d'après ce mémoire , que le résultat que je viens d'énoncer n'eat point le véritable, et qu'il est généralement faux.
L'on doit aussi avoir remarqué que si, pour les six points situa dans l'espace , le lieu des points de concours est un plan unique , c'est parce que l'on peut toujours, par ces six pcûnts , faire passer une surface du 2« ordre;
Et que si , pour six points situés sur un plan , le lieu des concours n'est pas une droite unique , ce n'est que lorsque ces six points ne sont pas sur une section conique ;
Et conune j'ai démontré le théorème relatif au lieu des points de concours des six points de Tespace , sans avoir égard à la sw face du 2" ordre qui pouvait leur être circonscrite, rien n'aurait pu faire voir l'erreur à laquelle l'on serait conduit par le principe de la loi de continuité.
L'on doit donc employer ce principe comme un moyen de recherches qui fait entrevoir la vérité , mais bien se garder de l'admettre comme conduisant rigoureusement à l'entière vérité
Note extraite cPune autre lettre de M. Olivoer.
Je me souviens du théorème que vous m'avez proposé à mon passage à Bruxelles. Étant donne un triangle , si Ton prend dans le plan de ce triangle, intérieurement ou extérieurement, un point par lequel passent trois droites partant des sommets , elles couperont les côtés opposés en trois points , tels que les unissant deux à deux y l'on aura trois droites coupant les côtés prolongés, en trois points en ligne droite *.
Ce théorème n'est qu'un cas particulier de celui que je vous
* J'ai dëmonlrë ce th^rèm^ dans le 4« vol. des Nouveaux Mémoires de FAcad^mie de Bruxelles. / A. Q-
MATIIÉMATIQVE ET PBTSIQUE. iffj
ai envoyé dernièrement, snr les iroîs droites partant d'un point (voyes plus haut, ainsi qu'à la page 1 23 dim numéro précédent). Bn efiet, ici la seule difiE^rence est que les six points distribués deux à deux, sur trois droites , sont , trois à trois, sur lescAtës d'un triangle* '
7\rouuer ff^hiqu&nent la courbe dHiUerseeHon éCunc surface de réifoluUon quelconques aueà une swface du second degrés lorsque les axes de ces surfaces ne se rencontrent pas* Queàtion proposée à la page i8o du III* voL , et résolue piar J. B« Gawtaebs , élève de 1* Athénée de Bruxelles.
La solution de ce problème repose sur les deux principes suivans : i*^ les intersections d'une surface du second degré, par des plans parallèles, sont des courbes semblables et sem- Uablement placées ; a^ les droites qui passent par des points semblablement placés , sur deux de ces courbes , se coupent en un point et sont, par conséquent , les génératrices d'une même surface conique.
Soit MN, Taxe de la surface de révolution, dont la courbe méridienne est MAN (^..ag); M'N', l'axe de la surface du ^oond degré , qui est ^m ellipsoïde dont la courbe méridienne est TeUipse M'A'N'. On prendra le plan horizontal de projection perpendiculaire à Taxe de la surface de révolution , et le plan vertical , parallèle à Taxe de l'ellipsoïde. On tracera sur le, plan horizontal de projection , une ellipse M"N'' , semblable à la courbe d'intersection de l'ellipsoïde , par un plan horizontal quelconque , et dont le grand axe se confonde avec la projection horizontale de l'axe M'N'. Pour trouver des points de la courbe d'intersection demandée , on coupera, les deux surfaces par un plan horizontal, dont la trace sur le plan vertical de projection est la droite AA'. L'intersection de ce plan, avec la surface de révolution , est un cercle du diamètre AB , et avec Tellipsoïde , une ellipse semblable k celle tracée sur le plan horizontal de projection ; on pourra , par conséquent , concevoir une surface conique, dont les génératrices passent par ces deux ellipses et Tarn. TTL i5
ig/è: COaRESPOHJDAlfCE
se conpflint en. un point ( s^s')^ soiiuMt du cône^On imagiiiçni vAé antre, s^xface conique dont)e ftonunét «oit celui de la pveraière/et'doat les géa^ratrices passent par la drcônfëreoce d'intersection de la surface de rëvolation ^ par le plan horison* tal AA'; maintenant il est évident que les points commnns à la circonférence et à l'ellipse qui sont dans ce plan horizontal, points qui appartiennent à la courbe demandée^ se trouyeront sur les deux c&nes qui ont même sommet, ou sur les génératxices qui ^ont leur commune intersection. Pour détermiiier ces généi^trices , on cherchera les traces des deiix cônes sur le plan horizontal de projection ; la trace d'im de . ces cônes est Tellipse M''N'' déjà connue ; quant à celle du cône dont les génératrices passent par la circonférence projetée en AB', elle sera évidemment une autre circonférence du diamètre A"B"i dont le centre O" est le point oîi la droite (so , s'o') perce le plan horizontal de projection.
Joignàtiit ensuite les points C,B communs aux deux traces , au sommet des cônes , par des droites , elles rencontreront le cercle de la surface de révolution en deux points , qui appartiendront à la courbe d'intersection demandée.
Si l'on fait ensuite les mêmes constructions pour plusieurs autres plans coupans que l'on prendra toujours horinontanz, en parviendra à déterminer plusieurs points Jde la courbe d'intersection cherchée , en se servant constamment de la même ellipse tracée sur le plan horizontal de prc^ection.
(Il nous est aussi parvenu nne solution de ce problème par M. Manderlier. )
MECANIQE.
' Lettre sur la pression de la vapeur dans les machines ^ adressée par un anonyme au rédacteur de la Correspondance Mathématique.
L'on voit si souvent des personnes qui , après avi6ir fait de
MATHÉnSATIQVE ET PHYSIQUE. igQ
grandes dépenses pour rétablissement de maekine^ k va^iir , n'ont p<»nt obtenu les résultats qu'on leur avait fait espérer, quoiqu'elles aient été conseillées par des mécaniciens ou àe$ amis d'ailleurs très-Histruits , que je me 'suis déterminé à vous •aumettre quelques observations sur cet objet assez impcniànt , puisqu'il a compromis la fortune de plus d'un përe de famille*
J'ai vu assez souvent calculer de la manière suivante r, l'effet d'une machine , lorsque la pression de la vapeur égale la pression de l'atmosphère. On évaluait le nombrie dé centimètres quarrés de la surfisice du piston^ et l'on. prenait pour l'effet du moteur , un nombi'e égal de Idlogrammes élevés à la hauteur parcourue par le piston danç une seconde. Le machiniste, pour compenser les pertes dé force qui résultent de toutes les causes réunies , détermine ensuite l'effet du moteur de manière à surpasser de 1/3 l'effet utile qu'il espérait, soit pour élever ducharbon d'une mine , soit pour produire sur les ailes des roues d'un bateau k vapeur une force déterminée, etc.; examinons le degré d'exactitude de cette évaluation.
i<» La température du condenseur est généralement de 5o degrés centigrades , dans les machines à basse pression. La vapeur soutient à cette température une colonne de mercure de 9 centimètres , ainsi la pression sur le piston doit être diminuée de cette quantité , et Feffet sera le même que celui que produirait
une vapeur dont la pression^ serait 7 , ~ ^ • de l'atmosphère ,
si le vide était parfait dans le condenseur : ainsi du chef dé cette première cause, le moteur est réduit à. • • • • -7^ P
en appelant P le nombre de kilogrammes de pression primitive sur le piston , ou , suivant l'usage , le nombre de centimètres carrés de la surface de celui-ci.
^^ Soit l'épaisseur du piston métallique = . • . • e son rayon . •-• .. • « . .,. . = ... , ». r
la surface frottant contre le cylindre sera = — X î*'* X ^ la vapeur pouvant s^introduire entre les parties du piston et le
200 COHa£$POK0A«rCE
cylindre , et pressant en tous sens , il faut que la pression des ressorts, pour 'serrer ces parties contre le cylindre, soit plus grande que celle qui a lieu«ur le piston k surfaces ëgales. . La pression sur l'unité de surface horizontale du piston , eo faisant abstraction de la surface de ia base du cylindre de sa
P tige , est 2a / > • Nommons a le £sicteur par lequel il faut mul-
tiplier cette dernière pression , pour qil'eHe empêche efficacement le passage de la vapeur entre le piston et le cylindre* Alors la pression totale 'du piston contrôle cylindre, sera
D'après les expériences de Coulomb sur les frottemens , on peut considérer comme nulle l'adhérence des surfaces, quand le cuivre frotte à sec contre le fer , et le rapport du frottement dans ce dernier cas est o,243 : quoiqu'il diminue un peu lorsque le mouvement est très-rapide.
On aura donc pour le poids exprimant le frottement
r Pour que ce résultat s'accorde avec lesexpériencesdirectesqne Langsdorf a faites sur les frottemens des machines à colonnes d'eau et des machines à vapeur, il faut faire ae ==» o"^,2o, en prenant le mètre pour unité. On aura ainsi pour le poids proyenant du frottement et que le moteur doit élever en même temps que celui qui presse vaticalement le piston
o", Oû(> P
P afin d'éviter les fractions , prenons pour ce poids • . —
lor
si r = */a inètre , on aura pour la perte de ce chef . . — P
si r = V4 mètre , ellcf sera . . • — P
n ne restera donc que P T i ^ pour le poids qui,
placé sur le piston, fasse équilibre à la force qui tend à le soulever.
Remplaçant, P par ^P , il ne restera- plus sur le piston qu'une pression utile , égale à
nb V lo ry
3<* La tige du piston ayant un diam^re qui varie , suivant les machines, depuis '/«o jusqu'à «/i5 de celui du cylindre , le frottement qu'elle éprouvera sera , en prenant le cas le plus favora^ ble, savoir : 'èelui oîi soâ diamètre est le plus petit , exprimé par
I i5' i5or
lo X -rr i5
parce que dans la formule précédente , P doit être remplacé par la pression correspondante à la superficie de la section droite
de la tige du piston , qui n'est que la partie de P.
Ainsi de ce chef,, il ne reste plus de la force précédente , .que •
. 76V i5o ry
. 4** Le diamètre de la pompe à air est ordinairement les */3 de celui du cylindre à vapeur ; ainsi , si dans l^xpression précédente du frottement, on remplace r par */3 r, P par le poids de la colonne atmosphérique, lequel est de 10,000 kil. en nombre rond , sur un mètre quarré de surface, et de 2i^ ^ 1'
X icoon», ou r» sur un cercle d'un rayon -, r, on aura
202 COBBESPOlTDAfiGE
pour le frottement de lA pompe à air ,
Cette force agit, dans la machine, au milieu de la distance du c^tre du balancier au point d'attache du piston. En la supposant transportée sur le piston, elle agira avec un bras de levier double , et elle sera réduite à moitié* Ainsi , son effet sera celai d'un poids placé sur le piston , et équivalent à un nombre de kilogrammes représenté par
La force est donc réduite à -^ f i — -^ ^ P — ^'^
76 V. iSory 63
ou en remplaçant P par la valeur qui est n X loooo lil.,
' 7 on obtient pour la force qui reste après les déductions précédentes :
pour r sas »/8 Y 49< ( ®
. L^**to«r»fe MOpri^.l PMidoB 00 force!
pour r ^sa /^ mitirc contre le pif-< ^9^4 '****'^^* P^*" ^ loa-/ 065
ton. J lofier. J
pour r s= V» V 7694 ( 5449
Pour abréger , je fais abstraction du poids h. soulever par la pompe k air , de la pompç alimentaire, de celle k l'eau froide, du mouvement de soupapes , de l'inertie du balancier et du tolant ; enfin , des frottemens sur les tourillons , et je fais observer que la force restante est le poids qui, posé sur le piston, le maintiendrait en équilibre ; désignons ce poids par M , et cher chohs le poids œ que la machine peut mouvoir en l'élevant à un mètre de hauteur par seconde. Cette hauteur correspond à l'espace parcouru par le piston dans les meilleures machines : car, dans la plupart , cet espace n'est que de o™^8 par seconde.
Le pistou pressé d'un côté par le poids M, du côté opposé par le poids or , est absolument dans le cas de la machine d*Atwood,
MATHÉMATIQVE ET PHYSIQUE. 3o3
connue de tous les physiciens. On sait que la force accélératrice dans cette maclnne , est ëgale à ~^ g, g étant ^ -force accélératrice de la pesanteur , et que respace parcouru j^endant
la première seconde de temps , est - -— ^ g*
N'ayant pris que des nombres ronds, nous ferons gr 8= lo
mètres et nous aurons 5 X = ^ 5 ^'^^
JjilL -^ a:
ainsi on aura pour le nombre de kilogramnàes flevés à i mëtre de hauteur , d'après feslrois àuj)jk)sïtioiïS précédentes , 4» 1^1- , 6<3 lil , 3633 Jdl. .
Onvoit don^eqùe 9 pojur les cylindres.de 5o centimètres, de diamètre, le nombre de kilogrammes éleyé$ à i"^, n'est que le.x/^, et pour ceux de i mètre, il n'est que la mqitié decelui de la pression prina^iye, malgré toutes les résistances omises ^was oe calcul approximatif. A
n faut observer que la valeur o", 20 de oe , ne doit être anpliquée que dans les limites des expériences ,de Lang&dorf^sv^ les machines ii, colonpes d'eau et celles à vapeur., voilà pourqu(^i la valeur 4^ kiL est évidemment trop petite ; mais po^r lé^ machines ordinaires, cette valeur de ae h est pas exagérée; car, pour un piston de' i3 ccntimèires de hauteur', on a , a = ^i , 5 ; c'est-à-dire , que la pression contre le cylindre ne surpasse que d'une moitié la force par laquelle la vapeur tendàcomprîmer^Ies ressorts 'métalliques, pouV passer du côtéoppoéé'dùpiistbn.Quànd la hauteur du piston sera donnée , il est facile dé détèmiilier ae faprès la résistance qu'on Veutdpposer au* passade delà vàpeui^.
Christian croit que la vitesse du piston est la ^émè ', quelles que soient les éharges ou* pressions , pourvu que leurdiff^rétace soit k même ; mais ses e^qiériences soât. faites beaneouptrop en pctit^ et elles contràHeùt 'trop les priècipes' reconnus - de la ^béorie^ pour pouvoir être admises comme vérités daEnsJe eti^lcul des machines ,' au moins jusqu'à présent, ) . . ^ ^
3o4 COltAËSPOlfDAlrce
MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
ASTRONOMIE
Longitudes et Latitudes des Obsen^atoires et de quelques lieux
remarquables ; par H.-T Pelaiv.
Long. deGreenwf «n temps.- Latil.Bor4.
^mften^om, Félix Meritû — Ok 19^ WE. 52» 22' M"
Beriin^ Obserratoire royal -^ 53 3< E. 52 3f 45
B/^nikeim , Angleterre '•4^0 5 * 23 0. 5l 50 29
Bologne, Vniyenîtë — 45 23 E. 44 29 56
B/^men,01bere — 35 42 E. 53 4 46
Bresîau , Vmyenïii --4 8 1< E. 51 6 30
Bruntwick, Obi. de Ganse. .... — 42 8 E. 52 (5 29
Bude, Obe. royal .......— 4 .16 10 E. .47 29 44
Cadix, Obsenr. de la Marine. . . . -4^ I 25 48 0. 36 27 45
CaiVw, Institut. ... ......— 2 5 15. E. 30 2 21
Coimbrcy Obs. royal -f- 33 37 Ô. 40 12 30
ConstarainopU, St«-Sopliie ....—- 4 55 41 E. 41 4 27
Copenhague, ObterVatoire royal. . .— 50 18 E. 55 41 4
Çracovie^ .Uiiiyenitë . • ^ » . . -«• 4 . 49 .44 E, 50 3 3S
CrenuBumfer, Abbaye — 56 32 {î. 48 3 29
J>antzig f dioci. Vf d£ ......-- 4 14 32 £. 54 20 48
i>07;M(, UniTersU^ — 4 46 55 £. 58 22 48
i>/v«f«it| Salon Mathématique . « . — ^ 54 5p . £. - 54 3.9
i^u^ii'/i » Observatoire royal . . . • «l- , 2$ 2$ A : 53 2i 11
J^ûen&eip^, Baron de Zach. . . . .. — 47 <50 E. 5Ô 57 58
Florence, CoUëge. — 45 3 E. 43 46 41
MATHÉMATIQVB ET ratSIQUE. !lo5
Longit. im Graeaw* en l«mp«* Lalit. nord.
Ouna,VDvmAxé\ . — . Ok 35' 52" E. 44» 24' 59''
GotUngeny idem. ....... -.^ 39 49 E. 51 51 54
Goti^, Obs. àaSeelHnrgr ^0 42 56 B. 50 56 1
Greenwïch, Obtervatoire royal ... 000 51 28 39
Ifyèreè fTotalet ^ 24 31 E. 43 7 2
Leipzig, Um?ersiU -» 49 20 E. 54 20 44
Lexden, idem ^7 55 K 52 9 30
Lilienihalf Obs. de Schrœder. . . ; '— 35 35 E. •53-8 25
LUbonne, Obs. du GoUëge des Nobles. H- 36 34 0. 38 42 50
Londres ^^-V9xA H- a23^i 0. 5i 30 49
Madrid, Obs. roy. Flaca Maym. . . H- U 47 0. 40 24 58
ifonAeim , Obs. dacbë de Bade ... .^ 33 53 E. 49 29 18
Jlfaneî2fe, Observatoire royal. . . . — 2i 29 E. -43 V3 50
Jtfcftiit^ Obs. royal de Breza — 36 45 E. 45 28 2
ifârv/ioijt, Obaervatoire royal. . . . .— 7 30 E. 43 5 49
ifàcaiv, Obs. Impl — 4 34 54 E. 56 39 6
Jlfoi^peiZr'tfr, Obs. de r Académie. . . — 15 34 E. 43 36 29
ifojcott. Observatoire .— 2 30 i2 B. 56 45 45
ifimrc^ , Notre-Dame — . 46 20 E. 48 8 20
Nitple», Observatoire royal. . . « ...» 57v 5 E. 40 50 15
Ojr/bitl,Obs. Battclieff . ..... h- 5 0. 51 45 40
Padoue, Université. . • . . • « — 47 31 E. 45 24 2
Polemte, Observatoire royal . . • ^ *- 53 27 E. 38 6 44
Pam,idem . -^ 9 2f E. 48 50 43
P^ferf^oio^, Observatoire impérial. . -* 2 4 43 E.' 59* 56 23
/>»e. Université • .• — 44 • 36 E. 43 43 1t
Praj^utf, Observatoire royal . . • é — 57 44 E.- 50 5 49
Jttuùbonne , S^tmenn. ...•<— 38 ^4 E. 49 58
Borne 9 Gollëge romain. . . . . . — 49 57 E. 44 53 56
Shughy Dr Herscbell + 2 24 '0;< 51 30 20
^locA[Aof9i, Observatoire royal . . . '-' A 42 43 E. 59 20 34
7ou/oustf , M. Vidal. . ... . . — 5 46 £. 43 35 46
7Wn,PiazzaGasteUo — 30 41 E. 4$ 4 44
^/Hvc/il , Université — 20 27 E. 52 5 42
yenisê^ S^lfarc ....
Vérone t M. Cagiiolî. . .
f7tf/me , UniTenîtë ... , Vivierty M* P. Flaugergnes.
Wilna , Uaiveriitë . . .
AUxandrie . . • . - ^ .' .
jirchangel ......
jithèites .......
JSMh V ..'•'. .. . ' • • •
I^ghton -•«....
CûjaiHbugh • • '• • • C<i/ciitfis. « ... (./ . {.
Cûntan . • . ' ^ Cap Toron. . . ;« . .
Glasgow , Obserratoire . .
Highburjr^ idem . ... .
Aew, idem. . . . . .. -f* P
Loampit BUL , idem.
Maestncfa., ... • Nangasaki ^ Japôft , , Pékin i 0]>feryatoire, PhUadfilphie . . .: . .
Pçrtrilojralf J^ma'lcpi®* • S^9'Hélène , .;.*..
Sfdnêy Cave , Sonth W^is 5;^emi9 Egypte ; ,. . .
Ténériffe.hViçi ....
Uraniboug^, Obs. d? Tycho AûrfC'»-' m ■• «.T!» "• •!•
GORBESPOmUNCE
LoBgit. de GrcMW. ea teaip*. Lalit . nord.
— Ok 49' 24'^ E. 45? 25:54''
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