MECANIQUE

Note sur le pendule composé; par J. N; Noel , professeur des sciences physiques et mathématiques^ pirincipal de l'Athénée de Luxembourg.

Il peut paraître intéressant de trouver,, sans le secours du calcul différentiel et intégral > la formule pour calculer la longueur du pendule simple , qui fait s^s oscillations dans le même temps qu'un pendule composé donné; et tel est l'objet de la présente note. ,

Soit M un corps oscillant autour d'un axe fixe passant par le point A (fig. 38)i Soient m', w", i»'",..., les molécules de ce corps ; d!^d'*^d!"^ ... leurs distances à l'axe. Toutes ces molécules

MJiTHÉHAriQUE ET PHYSIQUE. â3f

sont soumises it l'action de la gravite, dont la directictti est verticale , et dont la mesure est la vitesse g, qu'elle engendre pendant la première unité de temps. Cette vitesse g est l'espace qu'un corps tombant du r^os décrirait dans le vide, pendant chaque unité de temps , en vertu de toutes les impulsions que la pesanteur lui a données pendant la i'« unité de temps. Ainsi l'espace que le corps décrirait pendant chaque unité de temps , en vertu des impulsions' reçues pendant le temps ^9 serst'gt: c'est la vitesse acquise au bout dû ten^ ^ Soient p\ /?'% /7'",«««, leâ distances à l'axe deâ directicms des forces accélératrices constante g ^ qui spIUcaitent les n^oléculesm' ^nt^' , m'^^ r*«» ? ^^it enfin vi^^vU^^^e .angulaire du corps M an bout du temps ^^ vitesse qui d^vra s'accroître .d< t;^:piendant l'instiant &ilivapt t** Ck>nuBe la. vij^esse angulaire 'V est la vitesse de toutes les- mole* cules. dû eonps qui'sont à Tùàiléde dSstaiDi^:,llesrÂxe^ il est clair queJa vitesse deis molécules^ la distance D serarD*

Cela posé : considérons la molécule m^au. I)k>ut du temps f , et pour laquelle AiTf' = df et la perpèndiculatire AB.a5=./>% h. droite B^ étant verticale; on voit que pendant rin&tailt suivante, la molécule /»' reçoit deux impulsions , l'une vd' suivant m'D tangente à Tare m'C, et l'autre g^^ suivant la verticale m'g; mais que par la liaison du système , ces impulsions ne produisent pas tout leur effet , et que la molécule m' ne peut réelle* ment se mouvoir que suivant m'D , avec la vitesse {v -h '^^)f^% On dira la même chose- des autres molécules-; et on aura, au bout duten^ps ^:H- t' » le tableau que voici :

or

Masses : m' m". . . . . /w

Vitesses imprimées : vd' , gt\ . W , gt\ . W" , g/- * Distances à Taxé : d' , p\ . . d",p" . . . d'" ,p'". . . Vitesses effectives : {v-\-v')d\ ('^-4-1;') rf". (1; -*- 1;') <i'" . Distances à l'axe \ d^ d" d'" . . • . .

D'après le principe de d'Alemtert , il doit y avoir équilibre entre les forces imprimées et celles qui ont lieu , prises en sens contraire Ou avec le signe — . Or cet équilibre n'a lieu qu'ai»

%i^ " CORRESPONDANCE

moyen de Taxe fixe ; il faut donc qne la somme des momeos, par rapport à cet axe , soit nulle ; ce qui donne

d'où Ton tire ,

gt'S(mp) = v'S{md^)... (i)

Soit maîntanant un corps M de forme dënnie et retenu par un axe fixe A (fig. 3g) , soit MQV la coupe de ce corps par un plan vertical passant par le centre de gravité I> et perpendiculaire à Taxe de rotation , projeté en A : le corps est retenu par une verge inflexible AI , dénuée de pesanteur et dirigée au centre de gravité I; AN est la position initiale de cette verge, qui est supposée parvenue en AM au bout du temps t. Menons la verticale AB ; faisons l'angle MAB ss^ et la distance lA = a : comme M désigne la masse du corps oscillant, et que 6', b'\ ^''^.•., sont les distances des molécules m% in'% laf^'^.*.^ à Taxe A', parallèle à A, mené par le centre de gravité I , tandis que d% d"\^ ^''',..., désignent déjà les distances des mêmes molécules à Taxe A proposé , il s'ensuit qu^on a

S(/n^') = a'M H- S.(mZp').,. (2). .

( Voyez la page 824 du premier volume de là Correspondante mathématique el physique •^

La résultante de toutes les force parallèles m'g^ m"g^ m"%..., est représentée par M^, et son point d'application est le centre de gravité I : si donc on prend les momens par rapport à la verticale AB , on aura

M X IP= w>' H- m'y ^ m'y -f- ...^Simp).

D'ailleurs IP = a sin. $ : donc S {mp ) = a M sin ô. Cette valeur et l'équation (2) réduisent l'équation (i) à

agt' M sin. 6 = aW M -4- v' S ( m*' )... (3).

Soit A'Q's;ss / la longueur d'un pendule simple ; menons la ver-

ticale A'B' , et supposons l'angle Q'A'B' = B : les arcs Q'B' et IB sont donc semblables. Si nous les divisons tous les deux en un même nombre infinl<le parties égales , les arcs partiels x'etx seront aussi semblables* Or, en prenant AÔ := i , il est clair qu'au bout du temps t^ les impulsions de la pesanteur reçues par le corps M , pendant l'instant suivant /' , font parcourir au point O l'espace infiniment petit v' , suivant l'arc OH , et au point I , l'espace av'^ suivant l'arc IB. De même , au bout du temps tf les impulsions que donne la gravité pendant l'instant suivant ^, feraient décrire au point Q% l'espace vertical Q'G'=^, et par conséquent l'espace Q'H' sss^ sin. tf , suivant l'arc Q^B'. Mais la longueur /étant arbitraire, ainsi que les arcs infiniment petits x et ar% on peut toujours disposer de ces trois quantités pour qu'on ait

av' ssssxet gt' sin. ^ = a:'... (4).

D'où il suit qu'au bout du temps t , les points I et Q' décriront des arcs semblables pendant l'instant suivant f.

Cette conséqnence a lieu quel que soit t ; ainsi lorsqu'on aura f=o , les points I et Q', pendant le premier instant f , décriront des arcs semblables x et j/, en vertu de toutes les impulsions acquises pendant cet instant ; et si I et Q' ne recevaient plus de nouvelles impulsions, ils parcourraient encore les mênies arcs pendant <:hacun desinstans suivahs. Mais pendant le second instant f^ les impulsions reçues pendant cet instant , feraient parcourir à I et Q' deux arcs semblables^ et^ .♦ donc, puisque les impulsions du premier instant leur font déjà parcourir les arcs semblables x et x\ il .s'ensuit que les points I et Q' décriront , pendant le deuxième instant , les arcs semblables X -^-y et x' -♦- ^* Déjà ils ont décrit les arcs semblables or et ar', pendant le premier instant; donc pendant les deux premiers instans, ils ont décrit les arcs semblables ^x-\-y et lix^ H-^« On verra de même que les points I et Q' décriront des arcs semblables pendant les trois premiers instans , pendant les quatre premiers , les cinq premiers, et enfin pendant toute la durée de

!l34 GORBESPOSBiLlfCE

leurs mouYemens: d*oii il résulte que les deux pendules propose's

fbot leurs oscillations pendamt le même temp9*

Puisque les arcs a: et a/ sont semblables , on a a: : j:' :: a : / ;

d'où, à cause des équations (4) 9 av' : gt' sin. d :: a : /, ce qui donne

v' =B= T t' sin. 6* Substituant cette valeur dans l'équation (3) et

réduisant , il vient

Dans, cette équation , S{mb^) désigne le moment d'inertie du corps M, par. rapport à l'axe Â' mené par le centre de gravité I, parallèlement à l'axe A de rotation, a étant la distance de ces deux axes;, si l'on représente par k^ le quotient de ce moment d'inertie par la masse M , on aura S {mb"^ ) =s: A:' M , et par suite

TeUe est donc la formule connue pour trouver la longueur/ du pendule simple , qui fait ses oscillations pendant le même temps que le pendule composé proposé.

Prenant donc, dans le pendule composé, la distance AQss^ le point Q se mouvera comme s'il était seul , c'est-à-dire comme si le pendule était simple. Par cette raison^ le point Q est nommé centre d^ oscillation du pendule composé , et de là râultent plusieurs conséquences remarquables , qu'on trouve dans tous les traités de mécanique , et qu'il est par conséquent inutile de développer ici.

Nous n'appliquerons pas non plus la formule (5) a la recherche du centre cl'oscillation du corps M , parce que la chose est facile , dès qu'on sait trouver le moment d'inertie de ce corps ; et nous avons donné les valeurs de plusieurs momens d'inertie » pages 3a6 et suivantes du tome l deia Correspondance matbé' matiifue et physique.

JSbAi, le pendille cotnposé pouvant se ramener, d'après la far mule (5), au penduk simple dont / est la longueur, si l'on désigne par C la durée d'une bsciUation de ce pendule simple, dans le

MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. a3S

vide, et par b la flèche de l'arc décrit, on dëmontre, sans le secours du calcul différentiel et intégral , qu'on a toujours

D'où il suit que si l'arc décrit est très-petit , comme ordinairement , b sera lui-même très-petit , et Ton aura presqu'exactement :

=Vi

Il existe en mécanique plusieurs formules importantes , qu'on peut établir au moyen des simples élémens , et conséquemment rendre accessibles à un plus grand nombre de personnes. Telles sont , par exemple , les équations du mouvement sur une poulie, équations d'autant plus utiles à connaître, qu'a l'aide de la fflachine dUAthood^ elles fournissent d'une manière trè^-approchée , la valeur de g. Si la chose peut intéresser les lecteurs de la Correspondance , nous^donnerons , dans la suite , la démonstratioa élémentaire de ces équations , et de plusieurs autres , Qoa moins. u^es>