corhespondancii

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

ASTRONOMIE

Sur plusieurs instrumens destinés à robservatoire de Sruxelks.

Pendant qu'on poursuit avec activité la construction de ^obse^ yatoire de Bruxelles , S. M. le Roi des Pays-Bas a voulu donner une nouvelle preuve de la protection généreuse qu'elle accorde aux sciences , en ordonnant Tacquisition de trois grands instrumens astronomiques destinés à cet établissement. Le célèbre artiste anglais Troughton^ est chargé delà confection d'un cercle mural de six pieds de diamètre, semblable à celui qu'il a construit pour l'observatoire royal de Greenwich : il est chargé de phis de construire un équatorial de grande dimension , semblable à celui avec lequel M^ South a fait ses belles observations des étoiles doubles et multiples ; et dont on trouve une description dans les Thinsactions philosophiques de la société royale de Londres.

La construction de la lunette méridienne est confiée aux soins de M* Gambey , qu'on peut regarder conmie le premier artiste de France. Elle sera semblable à celle qui vient d'être exposée i au Louvre , et qui est destinée à l'observatoire royal de Paris. La lunette de cet instrument sera de 7 pieds 4 pouces de longueur, et son ouverture de 6 pouces : le corps de la lunette est composé de deux tuyaux coniques dont les bases ont douse

pouces de diam^e et de deux tuyaux cylindriques du diamètre de l'objectif. L'axe de rotation autour duquel tourne la lunette , est compose de deux cônes réunis par leurs bases à un cube dont les cotes ont i3 pouces : à Tune des extrémités de cet axe est fixé un cercle de 3 pieds de diamètre , avec son alidade qui est un cercle concentrique au premier, portant quatre verniers marquant les secondes de deux en deux' ; sur la partie cubique ' de Taxe est fixé un niveau de l'invention de Fauteur , au moyen duquel on s'assure non-seulement de Thorizontalité de Taxe' de rotation de l'instrument , mais encore de la précision des tourillons , ainsi que de l'inflexion de Taxe : vers l'oculaire sont filés deux cercles de 6 pouces de diamètre , marquant les minutes de une en tine , servant à diriger la lunette à la hauteur des étoiles ep plein jour ; il y a des contrepoids pour mettre en équilibre toutes les parties , et un appareil pour renverser l'instrument. L objectif, construit T^dx Cauchois , sera de 6 pouces 5 lignes de diamètre.

L'observatoire de Bruxelles vient de recevoir encore de la munificence du Roi un télescope réflecteur d'une grande dimension , qui a paru à l'exposition des produits de Tindustrie à Harlem.

Note sur Fintegralion complète de r équation du mouifement de la chaleur dans une barre prismatique d'une petite épaisseur^ par M. Pagani , professeur à l'Université de Louvain(i).

Voici comment s'exprime M. Poisson h. la page 8 de son premier Mémoire sur la distribution de la chaUur dans les corps

(i) Celte note a ëtélue le 40 novembre à la séance de VAcadëmie royale de Krpxelles.

Tom. IIL l8

238 CORRESroNDAïrCiE

solides: «(L'analisè singalièTe dont fai fait u^agë pottr cette ré^ n solution, pourra ^ ce me semble, mériter Tâttention des géoiu^* n très. Dansqùelqneseiemples, on parviendrait plus brièyenieiit » au résultat en suirant une autre marche ; mais le caâ d'une }» barre homogène qui rayonne inégalement par les deux bouts, » et celui d'une sphère composée de deux parties de matières » différentes , me paraissent propres à montrer les avantages » de cette analise, et la nécessité ^j recourir, lorsque les » conditions relatives aux hmites des corps sont devenues un » peu compliquées. »

Je me propose , dans cette note , de démohtrer que Ton peut parvenir aux mêmes résultats dont parle M. Poisson , en employant une méthode différente de la sienne ^ et qui me parait en même temps et plus directe et plus simple. Je commencerai par le cas d'une barre prismatique dont il sera seulement question ici. J'essaierai par la suite d'étendre la même méthode an cas de la sphère non homogène.

Le problème dont il s'agit peut s'énoncer en ces termes :

Intégrer l'équation

du tl*u

de manière que la valeur finie de u satisfasse aux conditions

-- — t- /3i/ =3 o pour X =1

du ^, »

~- — • /3'w = o pour X === — /

(3) u ^±^fx pour f =s= o.

Les quantités, a, b, l^ fi, 1^^ sont constantes et donn^;

Jx désigne une fonction arbitraire , soumise aux conditions fa),

et qui ne devient point infinie entre les limites xœ — /eta:ï= •♦- *

inclusivement. On observera en outre que l'équation (3) ne doit

sqMstcr qtmfcfttr toutes tes valeurs dëJEÎ coaxprise» entre — l

Solution. En dénotant par % une fonctions inconnue de x, et en faisant d'abord

A et A désignant deux constantes arbitraires ; Féquation (i) sera satis&ite pourvu que Fon ait

éfz

et en intégrant cette équation , on trouvera

zssrsin. px -¥■ m cos.px^

metp étant deux nouvelles arbitraires , en observant toute fois que Ton doit avoir la relation hsssb •+- a*p*. On aura ainsi , au Beu des équations (4) et (5) , les suivantes :

(7) ;fcë^^''"°-

L'etpreséiDii de i« donnée par la formulé (6) sera-une intégrale particulière de l'équation (i)^ quelles que soient d'ailli^rs les valeurs des constantes A^m^tet p. Si nous substituons cette valeur de u dans les équations (2} , nous aurons celles-ci

(8)j3 sin. Ip-k- p COS. Ip +m(4cosA l(^*^psm* ip}:^sù '

{^fftihw Ip-^f tos.lp'^m{0eo9. Ip ^■'pmt^'ip ) xaro;

^O . CORBESrOMDAHCE ,

qui vont nous servir à déterminer les deux constantes m et f. En ëliminant d abord m, on trouve

(lo) {&^0') pco8. ^Ip -4- (i3/3' — /o')sin« a//}s=o,

équation dont les racines réelles et positives pourront être prises indistinctement pour p*

Si nous considérons maintenant p comme une des racines réelles et positives de Téquation (lo), nous aurons m au moyen de Tune ou de l'autre des équations (8) et (9) . Mais , pour avoir des formules plus symétriques , il sera préférable de prendre la valeur de m dans chacune de ces équations 9 et de prendre ensuite , pour m, la moitié de la somme des deux valeurs ainsi obtenues. De cette manière , on trouvera sans difficulté, et après les réductions convenables ,

(II) m = (/3 — /3')î,

CQ faisant , pour abréger , (12) r = ( fifi'—p^ ) COS. 2lp — ( /3 H- /3' )p sin. 2//» -♦- + p\

Multiplions la valeur de m ^ fournie pai^ ^équation (8) , par sa valeur égale donnée par Téquation (9) , et posons

(i3) r' = ( i3i3' — /j' ) COS. 'ilp —[fi-^ fi' ) p sin. alp — flô'-^/»' ,

nous parviendrons , après quelques réductions, h cette valeur tr^s-simple . . , , ;

qui nous sera fort utile dans la suite.

Gela posé , si dans la formule (6) on regarde A comme une fonction inconnue de p , que nous dénoterons de cette manière

MATH^AtlQVB ET VAYSIQUE. ^^^

^; et si nous snbstitaons z au lieu de sm. p x-^ m cos. p x ,

sn regardant z comme fonction de j9 et de x\ nous pourrons

prendre , au lieu de ^ , chacune des racines réelles et positives le Fe'quatiQn (lo) , et former , de la sorte , plusieurs expressions ie u , qui seront autant d*intëgrales particulières , et dont la somme sera l'intégrale générale de l'équation (i). Nous aurons donc pour cette intégrale

(i5) tt = e SA^Y

Une nous reste plus que la fonction A à déterminer ; et

pour cela nous ferons usage de Féquation (3) qui devient, par la substitution de cette dernière valeur de u ,

2 A^ Zp ==/x.

Multiplions les deux membres de la dernière équation par z^jix^ et intégrons depuis x = — / jiutqu'à j? es -4- / ; nous aurons

Or , il est aisé de prouver que , si /» et p' désignent deux raci-

«8 différentes de Féquation (lo), on doitavoir^z « rfa: = o;

— ^ e qui changera d'abord l'équation précédente , dans celle-ci

(i6) A f z'^ dx^ss. fzjx^ dx.

Pour démontrer cette proposition, il est bon de rappeler que

les fonctions z. % , doivent satisfaire à Téqualion \^ y et qu'étant prises, Fnne et l'autre, pour a, elles doivent satis&ire aiusi aux équations (3) ; et si nous dénotons, en général , par z% z^, «les dërîvtfes , pvemî^ ^ seconde , d'une fonction % , prises psr rapport à la variaUe x\ il est clair que aous aurons leerdatioitf «urvaiites :

La notation employée dans les quatre dernières équations, sert à indiquer qu'il faut substituer /, ou — ^9, au lien de kl variable a: , dans les fonctions qui sont entre les parenthèses.

Considérons maintenant l'intégrale indéfîniey*z .zy ^fr , etsub-

stituonsdans celui-ci Kvaleur de z^^ tirée de la seconde desèqiu-; tions ( 17) ; nous aurons

-rf^p^p,dx=fz^z';,dx.

Intégrons, par parties, le second membre de cette éqnatfoil et nous trouverons J

d'où

MATHKBUTIQVB BT I^STSIQUE. %/l3

Mais, la première des équations (17) fournit z = — p*z ;par

conséquent, on pourra changer la dernière équation, dans celle-ci :

Si nous prenons l'intégrale depuis x= — / jusqu'à x = -f- /, nous aurons enfin

Le second membre de cette dernière équation est identiquement égal à zéro, en vertu des quatre dernières équa-

tiens (i7). On aura AoncC z z / ^=s=o pour toutes les valeurs

/de ^ difiérentes de ^ ; et lorsqu'on prendra p' v^p^ la valeur

era sous la forme - • On

de l'intégrale C z'^ dx se présent

pourrait , dans ce cas , déterminer sa vraie valeur , par les méthodes connues \ mais il est également facile et plus expéditif de la déterminer directement.. En effet , puisque l'on a z^=: sin. ^ -f-m COS. px^ on aura , sans peine ,

/2//9 — sin. a//9 -4- m' ( 7.lp -+- sin. a//j) 2» dx = •

Substituons dans le second membre de cette formule, au

lieu de m', sa valeur -« (équation (i4)); ™>us pourrons l'écrire de cette manière

244 CORRESPOKDlKtC

(i8) ry*«J rf^= ^(r-*-/^) ^ — sîn. a//».

Maintenant, les formules (12) et (i3) nous fournissent r -4- r' =: 2 [ (0/3' — p^) cos, 2//} — (iS -f- i3') p sin. 2//)]

sin, a/p = (/3/3' -*- p') sin. 2//)

z=a(l^ff — ^) sin. 2//9 + 2/9* sin. 2/^, ou bien, en vertu de l'ëquation (10) ,

\] sin. 2//) = 2/» sin. 2//) — (/3 -f- /9') cos. 2//7.

Partant , si nous substituons ces valeurs dans le second membre de la formule (18) , en faisant pour abréger ,

(i9)R=[i3-*-i3'+2/{/3/3'— /j')]cos.2//»— [2-*-2/(/3-*.i3'j]/îsin.2//»,

nous aurons

Moyennant cette valeur , on pourra développer la formule (16) de cette manière

A^Rssrysin. px./x. dx -*- mry cos, px.fx. dx,

MATniMATI^UE ET PHYSIQUE. I^S

OU bien 9 en changeant, sous les intégrales définies 9 la yaria^ ble X en y, ce qui est indifférent,

(*o) A/ï R = r Ain. /jT-^* 4r ■*- rnrfcos. py^fy* dy.

Substituons dans cette formule la* valeur de mr^ donnée par Féquation (11); nous aurons

Ap R = r Ain. fY.fy. dy ^ (i3— j3') ^fco^. py-fy* dy. — l —l

Multiplions les deux membres de la formule {10) par /ti, et substituons à mr et à /Ti'r, leurs yaleiurs fournies par les équations (11) et (14)9 elle deviendra

m A R = r'fcos. py.fy. dy ^ {fi — ff) pfsin. çy.Jy. dy. — l —l

Or, l'équation (i5) peut être mise sous cette forme

^ht —a^p't

us:=e 2 i^fi ^^^* px -\' Ap m cos. px) e ;

et puisque les valeurs de A. et de A^/ti sont complètement

déterminées par les deux dernières formules , on doit regarder ce, problème comme résolu. IL est aisé de s'assurer que cette dernière valeur de u coïncide parfaitement avec celle que M. Poisson a trouvée, en suivant une marche Bien différente de la nôtre. ( Voyez pag. 34 et 35 du Mémoire cité. )

C0ftR«»P(|II<»4VpE

STATISTIQUE

Sur la population du royaume des Pays-Bas.

La commission de statistique établie par arrêté royal du 3 juillet 18269 vient de publier ses premiers documens sur le mwii^ement de la population dans le royaume des Pays-Bas, pendant les années 181 5 à 1824 inclus. Nous allons tacher d'en extraire les nombres principaux 9 en les présentant sous leur jour le plus favorable pour en déduire des conclusions* Nous croyons nécessaire de faire précéder cet extrait d'un état comparatif entre la population de chaque province et son étendue , évaluée d'après le tableau officiel , présenté aux États-Généraux, le 20 décembre 1826.

poïULAJion Fi)^ cxin; h^cta&es.

P&ovnrcEs.

ropuLATioir

au i*^riaiiY. 1824.

Flandre orientale» .... 684,489

Flandre occidentale . . . 557,871

Hollande septentrionale . 388,425

Brabant mëridional . . . 489,602

Hollande méridionale . • 432,054

Hamaut 536,050

Liëge 327,46i

Anvers 3^8,893

Utrecht 445,642

Zélande 427^659

Frise 499,335

Oroningue 453,860

Lknbourg 347,387

Brabant septentrional . . 321,947

Namur 487,444

Oreryssd. . 458,399

XiW T nbo ur g 287,786

Drmtbe 52,383

ÎQfAL. ... . . 5^34,550

Étend, delà prov.

«n hectares.

VOMBIŒ

D'IIfDIVlDUS

par 4 00 hectares.

6,407,354 moy. 97^47

MATHiM^XIQUE ET MTSIQtJE. ^^7

Ce tableau , assez curieux , nous montre que la population moyenne de la Belgique, au i«' janvier 1824? ^^^ ^^U^ ^^'i^ fallait compter à peu près exactement un individu par hectare ou l>onnier.4>r, si Ton considère que notre royaume est un des plus peuples du globe, on sera moins porté à partager les craintes des personnes qui se laissent effrayer par Taccroissement ^e la population* La Flandre orientale , qui ëtait considérée ci -devant comme l'un des départemens les pl«s populeux de Fempire français, est aussi la province la plus peuplée du royaume , relativement à son étendue » cependant on n'y compte que deux individus par hectare* On voit , d'une autre. part, que la province de Drenthe est, relativement à son étendue, neuf fois moins peuplée que la Flandre orientale. Nous n'insisterons pas sur les valeurs de ces rapports ; le tableau que nous présentons les mettra suffisamment en évidence : nous avons eu d'ailleurs la précaution de classer les provinces d'après leur grandeur relative. ,

Nous nous occuperons maintenant de l'accroissement que la population a subi dans l'espace de dix ans , d'après les documens officiels. L'estimation de la population pour chaque année a été faite depuis i8i5 à 1819 inclus, en ajoutant à la population de Vannée précédente, l'excès des naissances sur les décès; mais à dater du i«' janvier 1820, tout en opérant comme précédemnient, on a fait entrer en ligne de compte les accroissemens bu les diminutions qui proviennent des changemens de domicile. Nous donnerons aussi les nombres des naissances et des décès.

Tabieem.du mouvement de la pt^Hiiatioi^^ des n0iâ$afums et

ééBès jdans les Pays^Bas^

ÀVIIÉES. POPULATION. NAISSANCES. DÉCKS.

le'- i«iivicr.

a48 C0BB£SP01fDAirC£

AEHÂ1IS. rOPVLATION.

te» jinTÎflr*

HÀISSAirCÊS.

Ainsi , pendant l'espace de ^ sms , la population a augmenté de 5io,o48 âmes, c'est-à-dire , de 9/106 de sa valeur, ou bien de V106 par an ; si Ton ne tenait compte que des années depuis 1820, l'accroissement serait plus considérable, comme nous Pavons fait voir ailleurs (2), On trouve du reste, que le nombre moyen des naissances a été annuellement de 201, 365 âmes, et le nombre de décës de 1429 160. Le rapport de ces nombres est à peu prës de 10 à 7 : ainsi pour 10 naissances on comptait 7 décës* Il est à remarquer que Tannée 18 17 présente le minimum de naissances et le maximum des décès; c'est l'année qui a suivi la disette que le peuple a éprouvée : on trouve des résultats semblables dans les relevas des hospices et des dépôts de mendicité, que nous avons donnés ailleurs. Il est remai'quable encore, que les mariages ont été moins nombreux vers cette époque. C'est un nouvel exemple que Ton peut trouver dans des tableaux statistiques , dont les nombres sont recueillis avec soin , les traces des grands évënemens : il ne s'agit que de savoir les mettre en évidence. L'accroissement ou la diminution de population, selon l'état d'aisance et la quantité de choses produites , se font remarquer partout et

(4) En comparant ces nombres à ceux que M. Lobatto a donnes dans son Annuaire pour 4826, ou trouve une légère diffi^ence qu'il faut attribuer sans douté aux changemens de domicile, dont' on a tenu compte ici.

(2) Recherches sur la population , etc^ , in-80, chez Tarlier , à Bruxelks»

MATteiMATIQlTE ET niYSlQUE. ^49

devraient donner de nouveaux motifs de moins redouter une population trop disproportionnée pour le sol qui doit la nourriv, avant d*en venir à ces extrémités, on verrait sans doute -un ralentissement dans la fécondité amené par la force même des choses.

▲inriSEs. UNS ir Ausiircx

pour

Hojeimes. ... 28,17

VN DiCBJ

DH MAJIUOE

BHTAM PMIHÀIU

pour

Pécondité.

U est remarquable que les naissances sont plus nombreuses dans les villes que dans les communes rurales; peut -être, parce que la facilité de «e procurer des secours , détermine à choisir les villes pour Heu des couches. On compte d*une part une naissance sur 26,07 individus, et de Tautre une sur 29,14;. et cette différence ne s'est pas démentie une seule fois pendant dix années. La disproportion pour les décës est plus prononcée encore, car on compte annuellement dans les villes un décès par 82,61 habitans , et un seulement par 43,83 , dans les communes rurales. Ainsi les générations se succèdent plus rapidement dans les villes que dans les campagnes. Quant à la différence entre les naissances masculines et féminines , le rapport est de i à o,g48o dans les villes , et de i à 0,9875

(1) Il se trirayc une erreur de nombre dans le ubleau» ce qui ^iCablit une l^ére différence dans la moyenne.

oSo comssKHrvjuiraE

<ta» les oflmnmntf» rànrlési II esl à'regtetter qUe ofloane ptftilisioDs présenter fle k mésKè maiiiëre la différence ponur k féoondiië; iious (eroiûs k même observation à l'égard des ma* rîageâi ; nous aurions anssi désiré trotiver dans les tableaux une colonne pour les nombres des mariages, que l'on ne peut obtenir maintenant qu'en calculant au moyen des rapports de la population aux mariages.

Nous examinerons maintenant les provinces en particulier, en prenant les résultats pour la durée de dix ans; car les résultats isolés pour cbaque année, par leurs écarts de h moyenne générale, ne pouiraient nous fournir que des observations moins intéressantes.

PRO^nrou . vvK nAissAircE un nid»

pour pour

Zélaade 2i.87. 28,54

HoBonde gept eiAiiiu wle 25,72 ' 3t,60

Hollande mêridionglê 25,23 33j06

XJtrccht 27,78 37,53

JPhniireocttdtfittalo 28,43 38,04

BraUnt méridional 27,45 38J99

Overyssel. 29,43 39,59

Flandre orientale 29,60 39,7i

Liège 30,4e 42,44

Limbourg. 29,73 42^7

Hfliiumt 27,85 43^47

Luxembourg 27,09 431^30

Anve» 30,43 43,35

Brabant septentrional 30,08 44,54

Gueldre * • • • 30,40 45,53

Oroningae 28^4 ^ ^^,23

Fris» 28^9 49^

Draitbe. .........,.; 30,52 5^0

Nwnor 30,07 51,78

Moyenne 28,47 39,86

Ge tableau, à peu près le même que celui que j'ai doimé ailleurs pour cinq années seulement, montre encore ce sin-

MjiTHÉMitf<^Ê ET PttTSIQUE. ItSt

\ gulier résultat <{ti6 les iiAîssances soQt plus nopiUreiiMS là oh. la ikiortalitë est plus forte, et que les générations se succèdent plus rapidement. On reconnaîtra au^i^ que le Toisinage de la mér, l'abaissement du terrain et la grandeur de la popula-* tîon 9 ont une influence marquée. Quant à la fécondité , on pourra la déduire du tableau suivant , dans lequel leg^ proviiï» ces sont classées d'aprës la grandeur des nombres coosme elles le sont dans le précédent, par rapport aux décès.

»&OTIHCtt» EITTAKS FAR* im HA&IAGE

Zëlande. ............ 5,23 H3J.6

Flandre orientale 5,U 1 5 1,20

Flandre occidentale 5,()9 443,5i

Brabant septentrional ....... 5,03- 424,66

Lnxemhowrg 4,99 ad,9a

HoIUBde mâridionak 4,7^ il 8,2a

Gaéldre.- »..»,, 4,72 '144,64

Liëge . 4,69 441, f4

Namur 4,68 441,33^

fiainaût 4,67 434,46

Bràbaut méridîoRa]. 4,66 427,94

tJtreelit 4,57 t24^5

Gromngoe . . .' 4,55 427,33

Anvers 4,54 437,44

timbourg . 4,53 435,40

Overyssel 4,49 129,49

Hollande ^eptentrioniS)» 4,33 449,38^'

Frise 4,29 422,77

Brenthe 4,25 425,24

Moyennes. . 4,66 , 432,17

Nous répéterons encore ici l'observation que les momagea sont moins nombreux dans les provinces catholiques et sav* tout dans les plus populeuses, que dans les provinces proteâ» tantes. Quant à ce qui concerne la fécondité , il paraît qu'elle est plus grande généralement dans les provinces méridionales. n est assez remarquable qu'elle semblé être en raison inverse du nombre des mariages.'

1kS% CORIUESPONDAffCE.

Le mois de janvier a présenté, dans l'espace de dix ans, cinq fois le maximum des naissances , mars trois fois , et avril et décembre chacun une fois : il eût été à désirer qu'on eût indiqué les naissances pour chaque mois de Tannée ^ puisqu'on avait les élémens et qu'on eût rendu les termes comparables en faisant tous les mois d'une égale durée , de trente jours par exemple; il est très-probable que le maximum des naissances serait retombé alors sur le mois de février , qui se trouve entre les deux mois les plus chargés. Juin a présenté six fois le minimum des naissances ; juillet trois fois , et avril une fois. Ces résultat& s'accordent fort bien avec ceux que j'avais indiqués précédemment (i). J'aurais d^îré puuvoir vérifier la loi de décroissement et d'accroissement des naissances pendant le cours d'une année, mais les données manquent ici; cette loi paraît du reste suffisamment constatée par plus de 1 3,000,000 d'observations, recueillies par M. ViUermé^ qui, tout récemment encore , a exposé ses recherches à cet égard à l'Académie royale des sciences de Paris.

Janvier a présenté six fois le maximum des décès , décembre deux fois et mars également deux fois ; août a présenté quatre fois le minimum des décès, juin et juillet chacun deux fois, octobre et novembre une fois. Il paraît d'après cela très-probable , que si l'on avait eu égard à l'inégale longueur des mois, les maximum et minimum auraient eu lieu en janvier et vers la fin de juin , comme on l'a généralement trouvé par tontes les recherches qui ont été faites depuis quelque temps.

Le volume publié par la commission se compose de tableaux numériques seulement; et c'est en effet la forme qui convient le mieux à ces sortes de publications. Une série d'ouvrages semblables , faits avec soin , formera une bibhothéque précieuse pour ceux qui sauront y hre , et devra continuellement être sous les yeux des hommes d'État et de tous ceux

(1) LeUre à M. yiUertnë, dans la Corresp^ Math, ^ 2* vol., pag. HO et Recherches sax la population, pag. ii.

MATHKMAI^IQUE ET PHYSIQUE. a53

qui s'occupetit d*amëliorer le sort de leurs semblables. Le gouvernement qui ordonne de .pareilles publications , acquiert de nouveaux droits à la reconnaissance ^ et donne la preuve la moins équivoque de sa sollicitude pour le bien-être général.

Carte Jiffiratwe de rinstrucUon populaire, dans le royaume

des PayS'Sas.

M» Ch» Dupin , dans son ouvrage intitulé : Forces produc' Uves et commerciales y avait eu l'heureuse idée d'indiquer par des teintes plus ou moins sombres , appliquées sur une carte de la France , l'état de l'instruction du peuple dans les di£Férens départemens. Cette méthode ingénieuse de rendre des résultats numériques sensibles à l'œil, ne pouvait manquer d'être étendue aux pays voisins. Lç rapport officiel qui venait d'être fait aux États-Généraux, offi*ait tous Jes élémens nécessaires pour dessiner une carte du royaume des Pays- Bas, semblable à celle que M. Dupin avait publiée pour la France. M. Somerhausen , à qui l'on doit plusieurs ouvrages utiles pour l'instruction élémentaire, s'est occupé de ce travail , et il a pris soin d'indiquer numériquement pour chaque province, combien il faut d'habitans pour fournir un enfant aux écoles. Ainsi la province de Dreâthe, compte un élëve par six habitans, ou plus exactement loo élèves par 645 habitans ; et dans ces nombres ne sont point compris les élèves envoyés aux petites écoles d'enfans et aux écoles de travail.

D'après les tables de population , si l'on envoyait aux écoles toutes les personnes de 5 à 17 ans, sans distinction de sexe, il faudrait compter un élève sur 4 habitans, ou plutôt 100 sur 44^ environ. Si l'on observe que des maladies *et d'autres circonstances peuvent retenir des jeunes gens chez eux, on demeurera convaincu que plusieurs de nos provinces envoient aux écoles autant qu'elles peuvent fournir.

Il est à remarquer que les départemens les plus favorisés de France, ne comptent au plus qu'un élève par 10 habitans; Tom. IIL 19

254 COHJRESPO^irAlfCi:

le départeuMiit de la Seine De compte qu'un élève sur 4^ babitans, et il est un département en France(celuide Haute- Loire ) , qui n'envoie awç écoles qu'un âève sur 268 habitans. Or , la province de notirç royaume, la pl^s mal partagée sous le rapport de l'instruction, est, d'après le tableau , la Flandre occidentale, qui ne fournit aux écoles qu'un élève sur 17 personnes, encore est-il des observations à faire à eet égard.

n paraît certain, d'après tous les états antérieurs (i),qu*il s'est glissé une erreur de plus de 100,000 âmes , dans l'évalution de la population de cette province, et qu'on a écrit 671,034 âmes, au lieu de $7 1 ,o34, ce dernier nombre donnerait un élève sur i4 babitans, ou plutôt 100 sur 1469; ce qui est>plus en barmoaie avec les nombres donnés par les provinces voisines. U parait encore que l'on n'a donné pour la Flandre occidentale, que. le nombre moyen des élèves qui fréquentent babitueUcanent les écoles , tandis qu'ailleurs on a donné les nombres à leur Tnacpùnum. Nous avons dit aussi que dans le tableau figuratifs on n'avcdt pa« jeu.^gard au nombre d'enfans qui fréquentent l«è écoles de travail, et la Flandre occidentale, d'après les tableaiix ofGiciels , en compte 1 1 ^376 , tandis qu'on n-'en troaye que 5,079 pour tout lé reste au royaume. Jbinfin, les tableâiox Qjat été dressés d^ns tin moment où Ton venait de réformer plusieurs collèges et un grand nombre d'écoles élémentaires (2). Si l'on a égard à ces remarques, on aura la convictioiï que les deux Flandres , ,et la Flandre occidentale surtout, ne méritaient pas cette teinte sombre que M* .Oi^m a répandue ;siir TEspa^e et stir quelques provinces disgraciées de la France. Nous aq^ipns tort d'accusejr M* Somerha^sen^ de l'erreur re-

(i) Voyez le travail officiel sur le Mouvement de la population , dont il a é\À parl^ prëc^demment.

(a) M. Somerhaiisen a renvoyé aux observations consignées dans m» Recherches sur la popuàttion , etc. ; on y trouve les doutes que nous Te> nanà d^^oonoer par rapport à la Ffandre occidentale; mais on n'avait pas encore remarqué Terreur ,^i :^\sl glissée dans resUmation de la pofMlalion.

lativeà la population de la Flandre occidentale 9 poisqu'elleexistait dans les docmnens d'aprës lesquels il a dessiné sa carte ; mais nous aurions désiré qu'il eut donné à la France là teinte générale qui lui convient , pour ne pas laisser d'idées fausses , et pour faciliter les moyens de comparaison. La province de Liège alors, qui tombe, d'après les nouveaux calculs, au dernier rang dans notre royaume , se trouverait encore bien blanche à coté de la teinte qui convient à la France. Mais ici nous sentirons encore le besoin de faire de nouvelles distinctions , car M. Dupin n'a parlé que des enfans mâles envoyés aux écoles; ' et chez ndus oii ne paraît pas ' avoir établi cette distinction , dn moins si l'on calcule d'après les tables de population, le nombre d'enfans mâles qui peuvent être soumis à l'enseignement* U faut donc être circonspect dans les conclusions que l'on peut déduire de la comparaison des deux cartes. Quoiqu'il en soit , le tableau figuratif, publié par M. Somerhausen sera vu avec plaisir , et ces sortes de travaux méritent d'autant plus d'être eûcoûpagés^ qu'ib ramènent fftttention âisr des points très'intéres^ans , et qu'ils provoquent ded» discossions

dont on périt 'tou}ôurs tirer quèlqu'àvantâite^ ^ Uexécutîon lithographique d.e la carte f a ^é confiée à

M. Jobard, et ne peut qu'ajouter h k t^fnitation que s*est

acquise cet habile artiste^

REVUE SCIENTIFIQUE

Théorie balisli(]ue par J. F* Scheer de Lionastre , lieutenantcolonel d'artillerie au service de S. M. le Roi des Pays-Bas , employé à l'école d'artillerie et du génie à Delfl ; m-8<* avec planches ;. Gand , chez YandenLerckhove , i827« .

Il»a déjà paru dans le i" volume de «ta Correspondant Malhémaéique^ pstge 35 1 , une annonce de l'ouvrage de M. Scheer de Lionastre ; nous essayerons aujourd'hui de' faire connaître plus particulièrement ce travail , «n o&ant une analîse détaillée de ce qu'il contient; nous ««ms aDstiendrons toutefois de porter un jugement dans des matières qui nous sont peu connues 9 puisqu'il s'agit ici de la partie pratique de la balistique. L'auteur chargé de surveiller à l'école militaire des expériences dont le but ^tait de trouver d'une manière pratique, un nombre sufi&sant d'ordonnées pour tracer la trajectoire des projectiles , conçut l'idée de tirer à travers un certain nombre de filets de pécheur dressés verticalement l'un derrière l'autre dans la ligne du tir : ces filets étaient construits de ficelle très-mince, dont les mailles n'avaient que 0,02"^ d'équarrissage ; il fut facile d'obtenir ainsi les données nécessaires pour construire la trajectoire par points ; oi\ pourra voir dans l'ouvrage les précautions qui servaient à assurer l'exactitude des résultats.

Après avoir exposé la méthode suivie dans les observations , l'auteur passe à la solution de trois problèmes sur la parabole , et rappelle ensuite les principes mathématiques des

MATaiMATIQUE ET PHYSIQUE. sS^

difFérensmouvemens , soit dans le vide, soit dans un milieu résistant; ce qui le conduit à déterminer les principales circonstances du mouvement d'un boulet de cane» lancé sous certaines conditions. Cette première partie, qui peut être considérée comme une introduction aux recherches de M. Scheer de Lionaslre, est terminée par un tableau de toutes les formules précédemment ét£d)lies.

La partie suivante of&e une application des formules aux expériences des années iSsS et 1824 9 faites parles moyens que nous avons indiqués plus haut. L'auteur détermine d'abord I4 vitesse initiale du boulet tiré par la {ûèce de douze courte ; en^ suite , cette vitesse étant trouvée y il eherche la plus grande hauteur de la trajectoire , une ordonnée quelconque de la tra«jectoire , et en général tout; ce qui peut être de quelqu'intérét dans le tir du canon. Ces recherches sont suivies d'appHcations delà théorie au jet des bombes, et les résultats du calcul se trou* vent toujours à côté de ceux de l'expérience. Quinze grands ta»bleauji numériques présentent tous les détails des exercises que M. Scheerde Lionastre a dirigés ; ainsi l'on y trouve l'indication de la hauteur des trous dans les filets a xfille d^ Télf^vation du centre de ta bouche du canon , du rayon du boulet ^ etc.. , les filets, généralement au nombre de dix, et quelquefois plus nombreux , étant placés de 5o en 5o mètres de distanee , à partir d'un espace plus ou moins grand.

L'auteur a donné encore dans un court appendice quatre formules poiu* la détermination du volume , et quatre autres pour la détermination du centre de gravité des solides , engendrés par la rotation de plans limités par des droites et un arc de 4rercle 9 autour d'un axe.

Principes éP Algèbre^ par £. E. Bobiixier, ancien élève de l'école iPolytechnique, professeur à l'école royale des arts et métiers de Ghâlons-sur-Marne ; in-8<^ , à Lons-le-Saunier, chez F. Gauthier, 1827.

Nous n'avons sou& les yeux que le 2"^ et le 3« livres des pcincipes

a58 cor&espondauce

éCal^re^ qtie M. Bobiliier ^pirait avoir piddiés. ^ séparément pour la cpmmoilité dé renseignémeat. Le^a^ livre' co|kiprelid la re'solution des équations du premier et du second d^fré; et le troisième tout ce qui se rapporté aux proportions, aux progressions et au calcul des logarithmes. Nous regrettons de ne pouvoir mieux faire connaître cet ouvrage, plein d'ordre et dé clarté , qu'en indiquant sommairement la marche suivie pftr Tauteur.

Dans les notions préliminaires ^ M. Bobittier familiarise Téfère avec les termes de la science et avec les transformations commnnés àtouteespëced'étjuations. Il passe ensuite k la résolution des équations du premier degré k une seule inconnue , et des problèmes dont les données sont numériques ou algébriques. L^ chapitœ III traite des équations et problèmes du premier degré à plusieurs inconnues ; la discussion des problèmes à une oa plusieurs inconnues et l'examen des solutions négatives, forment la matière des chapitres IV et V. Les deux chapitres suivans renferment la résolution des équations et problèmes du second degré 'à une seule inconnue. Nous avons particuli^ement remarqué aiw» manière simple de présenter la théorie des équations du second degré (i). La ré/solution de quelques équations de degré supérieur au second , termine le a* livre^

Dans le 3* livre de ses» principes, l'auteur a successivement considéré lesrapports et proportions par différence et par quotient , ainsi que les progressions par différence et par quotient ; et à. la suite de chacun des quatre chapitres qu'il- leur consacre, il donne des exercices nombreux poiH* servir de développement à la théorie. Trois autres chapitres contiennent la théorie des logarithmes , la construction çt les usages des tables de logarithmes, ainsi que les applications diverses que l'on peut en faire,

La publication de cet ouvrage ne peut qu'ajouter à la repu-

Cl) Un exposant, qui est tombe à la page <07 , ligne { { , pourrait canser qaelqu'embarras à rdlcve , peu familiarise avec le calcul algëbriqae ; c*est par ce jnotif que nçfos «ignoloxis cette petite jerrêur typogrtitpbiqpe.'

MATHiMATIQVE ET PHYSIQUE. iSg

tation honorable que M. BobiUier s'est d^à acquise par ses reoberehes Tarifs 4ans les sciences. I>ahs une lettre particuli^« qnie cet habile professeur a bien voulu nous adresser, il annonce la publication prochaine d'un Traité purement synthétique des sections coniques. Ce traite qui contiendra peu d'eèpaee , ne renfermera que les propriétés les plus essentielles de ces courbes : on trovtvera peut-être que Fauteur fait disparaître ainsi une lacune , qui existe dans les âémens à Fégard • •de ceux qui n'étudient la géométrie que pour arriver à la géométrie descriptive , si utile dans les arts , et qu'il rend un véritable service à ceux qui n'ont point de connaissances analitiques en les met^nt à même de concevoir lés découvertes récentes faites en géométrie : i).

Traité cC Algèbre élémentaire , par J, M. Noël , professeur des sciences physiques et mathématiques , principal de FAthé-

' née de Luxembourg, etc.; deuxième édition, in-S®. , chez Lamort^ 1827,

Nous avons d^^ annoncé l'ouvraj^ejlfi JVf- Noël dans.la Correspondance mathérhatique , page 289, tome I ; si nous revenons aujourd'hui sur cette annonce , c'est pour indiquer quelques modifications utiles que l'auteur a -introduites dans la seconde édition qui vient de paraître. Certaines parties ont été entièrement réfondues et présentées avec plus de cbhàision, d'autres ont été classées d'une manière plus convenable ; ainsi la théorie

(i) Dans le 6* niimëro , qai paraîtra trés-procKainement, nous insërerons on article de M. BobiUier f qui nous est parVena trop tard, pour poaToir paraître dans ce cahier. Il pourra donner une idëe de la méthode siliyie dans le traite que nous annonçons ) nous avons cru remarquer que c'est à peu près exactement la marche que nous avions suivie nous-mêmes dans deux mémoires publiés pai* PAcadëmie de Bruxelles , et intitules Nouvelle théorie des sections coniques^ 2« vol., et sur diff^rens problèmes de géométrie A trois dimensions» Voyez aussi la Correspondance mathématique y tom9 II >page 78-

26a COIULCSPOUDÀHCE

du plus grand commun diviseur 9^ue Fauteur présentait , dans la .première édition, il la suite des premières opérations algébriques, .comme Font fait quelques auteurs élémentaires , n'est présentée maintenant que dans la partie qui précède l'élimination. Voici les motifs que M. Noël donne de ce changement : « Comme la théorie du plus grand diviseur algébrique dépend , sous quelque rapport , de la résolution des équations , il a paru convenable de . ne s'en occuper qu'immédiatement avant l'élimination en général, et la recherche des racines égales dont elle est la base. Cette théorie , placée immédiatement après la division , offire des difficultés aux élèves encore peu familiarisés avec les combinaisons du calcul algébrique , et comme alors elle ne sert qu'à simplifier les fractions littérales , on y supplée souvent par la décomposition en facteurs* »

. La première édition ne renfermait pas la résolution des équations d'un degré quelconque ; l'édition que nous annonçons est plus complète sous ce rapport. Ainsi l'auteur a donné tout ce qui concerne la formation des puissances des polynômes , la composition et la transformation des équations , ainsi que la recherche des racines réelles commensurables , et incommensurables. On doit aussi lui oa-roii- çré d'avuir iuti\>duit dans les élémens d'algèbre quelques pages sur les inégalités et sur l'analise indéterminée du premier degré.

Mélanges à* Algèbre , ou Recueil d'un grand nombre de problèmes et d'applications algébriques, par M. Noël; in-S*^, à Luxembourg, chez Lamort , 1827.

M. Noël avait pubUé il y a cinq ans , un Recueil de problèmes sur l'application de l'algèbre à la géométrie ( voyez le vol. I de la Correspondance mathématique , page 288 ); l'ouvrage qu'il vient de faire paraître , pourra être considéré comme la partie complémentaire* u Tous les professeurs savent que 9 pour éclaircir les théories et les mieux fixer dans la mémoire, il faut les faire suivre de quelques applications; ils

MikTHJBBIlTIQIJE ET PHYSIQUE* a6f

Savent que leâ* problèmes , en excitant la curiosité 9 font naître le désir de les résoudre; ce qui procure aux élèves le double avantage de développer leur intelligence^ et de les familiariser avec les combinaisons du langage analitique» » Ces considérations ont fait naître les deux recueils dont nous venons de parler. On conçoit qpe de pareils ouvrages ne sauraient être analisés ; nous devons nous borner à indiquer ici les exercices mathématiques qu'ils contiennent ; et nous le ferons avec d'autant plus de plaisir , que le lecteur pourra prendre ainsi une idée assez juste des problèmes curieux que Fauteur a réunis*

De Tarithmétique divinatoire* — De quelques séries périodiques 9 fournies par la division numérique* — De la divisibilité des nombres*-!— De quelques équations et problèmes résolubles, comme ceux du premier degré* — Problèmes d'analise indéterminée* — De quelques équations et problèmes résolubles comme ceux du second degré* — Problèmes résolubles par les progressions* — Exercices sur le calcul des radicaux* — Exercices sur la résolution de certaines équations* — De quelques séries numériques finies* — "Des équations à indices* — Problèmes qui dépendent des combinaisons* — Elimination entre deux équations de degxr^ tpxcicoinpies^ deux inconnues* — Problèmes résolubles par des séries dont les sommes dépendent des progressions. — De quelques séries infinies* — Du maxinuim et du minimuHm

Recherches, sUr la sommation de quelques séries trigonométri" ques , par R* Lobatto ; in-4^ 9 4^ P^g^s , à Delft, chez L. De Groot , 1827.

Ce mémoire a été présenté à l'Académie royale de sciences et belles lettres de Bruxelles , et a donné lieu à un rapport favorable , qui a été inséré dans le 2* volume de la Correspondance Mathématique , page 52. Nous nous dispenserons par ce motif d*en donner ici une nouvelle analise. M. Lobatto avait déjà acquis des droits à Festime àe ses compatriotes , par plu-

)62 GOBBESPOHDAirCE '

sieurs cmyrages i]jtiles>.teb qa*tin Recueil de problèmes d*aritkmétiqne^et d'algèbre, à l'iisage des ooixrs 'âérnëntaiTes; des Mélanges matkématùques^ à*vf^ Annuaire qu'il publie à kHaye, aux frais du gouvernement, etc. Le nouveau travail qu'il présente au public ne sera pas accueilli avec moins de bienVefllsaice , nous en sommes persuadés , que ses productions antérieures*

Gronden der Slerrekunde , door A. Quetelet, uit het fransch vertaaid , en met aanteekenîngen verrijkt door H. Lobatto; eerste stuk, in-12 , Amsterdam , bij C Portielje , iS2*].

Cet ouvrage étant la traduction d'une Astronomie élémenJtaire^ que j'ai publiée l'année dernière à Paris , pour faire partie de la Bibliothéifue industrielle, le lecteur voudra bien apprécier les motifs qui me déterminent à n'en donner qu'une simple an nonce* Je saisirai toutefois cette occasion pour témoigner publiquement à M, Lobatto ma reconnaissance pour les notes intéressantes , dont il a bien voulu enrichir mon travail D'après l'avant-propos, on trouvera, à la fin du second voltimc, des notices biographiques sur les principaux astronomes qui ont honoré notre patrie, et quelques développemens sm-les parties les plus usuelles de rastronomîe.

Les planches ont été faites avec soin , et la carte du ciel qui se trouvait dans l'édition de Paris a été remplacée par une autre ca^ te plus détaillée , que M. Lobatto a tirée de V Astronomie Populaire, petit ouvrage que j'ai publié tout récemment à Bruxelles.

Statistique nationale* Développement des trente et un tableaux publiés par la Gonmiission de Statistique , etc. Mémoire , par E. Smits, secrétaire de la Commission. In-8*», Bruxelles, chez Tarlier, 1827.

La commission de statistique , comme nous l'avons dit plus haut, a pris le sage parti de ne publier que des résultats purement numériques , qu'elle soumet ,aux méditations du public, en lui laissât le soin de les interpréter. Elle a pu donner plus de concision à son travail, en évitant de répéter ion*

goement par dès mots oé qti'tiÀ taMiedii nuniërique rend, pour ainsi dire, sénsiMe à Yoéil , et elle a pu se préserver aussi des divagaticms el^ des idées systëmatiquès auxquelles un pareil examen eâtratnè assez souvent.

M* Smits^ en se rendant l'interprète des traVaux de la commission) 2Lf Voulu les mettre plus à la portée de la partie du public peu habituée à saisir un résultat dans une série de nombres. Il a pensé encore qu'il rendrait son ouvrage plus complet) en le faisant précéder d'une Introduction^ dans laquelle il &it connaître la définition et le but de la statistique , le style qui. lui convient ; il indique en m^e temps , l'état de la statistique dans le royaume defs Pays-Bas , et discute s^l convient ou non , que des recherches statististiques soient publiées par un gouvernement*

L'attention de l'auteur se porte d'abord sur Taceroissement de la population 9 qui est « tel. qu'il pourrait rappeler les craintes manifestées par le savant M. MaUhus, de voir un jour l'excédaiit des naissances sur les décès devenir «une charge , quand la population cesserait d'être en rapport avec les moyens de subsistance. » Nous ne suivrons pas l'auteur dans lès moyens qu'il donne d'utiliserTaccfoissement' de population, ni dans l'indication des causes générales de l'accroissement ou de la diminution de la population ; nous observerons seulement que M* Smits n^a peut-être pas calculé comme nous l'avons fait , que dans te royaume on ne compte pas même , terme moyen , tm habitant par bonnier* Or , dans la Flandre occidentale , oîi Von compte deux ïiabitans par bonnier^ ou plus exactement 238 par 100 bonniers , on ne s'aperçoit pas encore que l'on se trouve trop à l'étroit , d'ailleurs , Fauteur observe lui-même , dans un &utre endroit de son ouvrage, qu'il y a dans la nature un c(piiUbre y que « les progrès de la population sont rapides; naais à peine cet équilibre est-il établi , que les divers rapports entre les âémens de la population perdent leur excédant , et deviennent à peu près statîonnaires. j^ L'auteur paraît avoir oublié dans Fénumération des causes de l'accroissement de la population, la principale peut-être , c'est-à*dire , l'état florissant

964 GO&RESPOHDJkirCE

du commerce : car , lorsque les écoDomistes avancent que k population est en raison des choses produites , certes , il n'entendent pas dire des choses produites parla terre seulement, mais de toutes celles qui ont une valeur rëeUe ; que deviendraient sans cela les populations des grandes villes?

Nous ne suivi^ons pas l'auteur dans l'ënumération des années qui ont offert un maximum ou un minimum^ dans le rapport des naissances ou des décès avec la population. Les résultats isolés ne peuvent nous apprendre rien d'intéressant. Il faut embrasser d'un coup d'œil le£( fluctuations des nombres autour de la moyenne générale , et ne pas s'arrêter à quelques anomalies; du moins c'est la règle que nous donne le caFcul des probabilités comme étant la plus sure; qu'importequ'en 1817, telle province ait offert un peu moins de naissances que dans d'autres années ! mais si cette observation s'applique à toutes les provinces , si en même temps les décès ont été plus fréquens et les mariages moins nombreux qu'à tout autre époque , alors j'en cherche la cause et je la trouve dans la disette qui a affligé l'année précédente. Quelle confiance d'ailleurs, peut- on avoir dans les petites variations d'un rapport dont un des élémens est essenticUcmeut vicieux ou dii moins trèséquivoque, c'est-à-dire, l'estimation de la population? il est étonnant même que M. Smits n'ait pas eu égard aux doutes que peut faire naître l'estimation actuelle de la population du royaume. Il suffit d'apporter quelqu'attention dans l'examen des rapports publiés , pour voir qu'un nouveau déDombrement deviendrait nécessaire ^ comme M. Dekéuerberg l'a fait sentir mieux encore que je n'ai pu le faire , dans les notes qu'il a insérées à suite de mes Recherches sur la population (i). Indiquer au gouvernement qu'il possède des documens vicieux sur les provinces du royaume , est peut-être un des points les plus utiles auxquels on puisse avoir égard dans ces sortes de dis-

(î) In-S», chez Tarlier, à Bruxelles, 1827.

'eussions, surtout si ces documens doivent servir de base à toutes nos connaissances statistiques.

Nous avons été étonnés de trouver dans un ouvrage intitulé : Statistique nationale , Tanalise des recherches^de M. Benoiston de Ckâteauneuf ^ sur la fécondité , et des Tras^aux statistiques sur la France , de M. Ch^ Dupin ; nous nous serions attendus au moins à ce que Fauteur rapprochât le& résultats de ce dernier savant de ceux trouvés pour notre pays, du moins pour ce qui concerne l'instruction, il se contente d'observer que u ce travail a été impossible en ce que l'instruction publique n*est point encore arrivée chez nous à cet état de stabilité ob les résultats moyens peuvent être regardés comme invariables et décisifs » (i)* Cependant , il ne fait pas difficulté de conclure plus loin u le rang très- secondaire qu'occupent dans ce classement (par rapport à l'instruction) , les provinces du Brabant méridional , des deux Flandres (2) , du Limbourg et de Liège , rejetées si loin des provinces du Nord, j» Comment concilier ceci avec les observations de M. Dupin ^ qui pense avoir démontré victorieusement que les provinces les plus manufacturières sont aussi celles oii l'instruction est le plus répandue. H est peut-être' bon dSTië pas confondre aussi les mot& instruit et éclaire ; car il est telle instruction qui se répand aujourd'hui et qui ne tend certainement pas à faire des hommes éclairés»

Nous ne pousserons pas plus loin l'examen de la Statistique nationale; nous observerons seulement que toutes les jpublications qui ont pour objet de mieux faire connaître l'état de notre pays , ont par cela même des droits à notre estime. Nous serions fâchés que nos observations pussent produire quelque

(x) Nous doutons fort que rinstniçkion publique soit plus stabh en France que dans notre pays *, et nous souhaitons de tout notre cœur que les résultats pour la France ne puissent pas être considérés comme inuariahles ei décisifs,

(a) Nous ayons déjà dit qa*il y a erreur de plus de 100,000 âmes dans Péyaluation de la population de la Flandre occidentale.

a66 CORRESPOlTDulVCE

mauvais effet; nous avons voulu montrer seulement que nous avions examiné l'ouvrage de M* Smits^ et que nous l'avons lu avec fout l'intérêt que comporte le sujet dont il traite*

De r éducation physique de F enfance ^ par M* G. Laisité, docteur et professeur en médecine, etc. In-i8. Bruxelles , Hayez^ ,18^7. Se .vend ch^i BerihotiVibtm^^ Marché au Bois*

Tel est le titre d'un petit ouvrage dont nous ne parlerons ici que sous le rapport de la mortalité de l'enfance* ^nTVargerUin^ dit l'auteur , suivant le rapport du docteur Frank , et d'âpre ses recherches sur le calcul opéré à cet égard dans plusieurs endroits, pose, conune règle presque certaine, qu'un quart des nouveau-nés meurt dans la premiëre année » que le second quart meurt de l'âge d'un an jusqu'à celui de ^4» ^^ 9^^ ^ troisième quart vit jusqu'à l'âge de 60 ans. » M* Laisné^ hien voulu faire usage de la table de mortalité que j'ai dressée sur les décès des villes de Maestricht , Tournaj et Bruxelles (i) ; mais il noujs a paru qu'il s'était glissé une pelâte erreur dans son calcul. M. Laisné déduit en effet de cette table , que sur 100,000 eofaiis qui uciiseent, pr^s du -tîcrd n'atteint pa^ l'âge d'un an. Nous pensons qu'il aurait été plus exact de dire un peu moins du quait; car, d'après la table , de 100,000 enfans qui naissent 77,607 atteignent l'âge d'un an, il n'en memt donc que 2a ,493 • Un second quart a disparu entre 23 et a3 ans, un troisième quart ayant, f âge de 69 ans et le deniier quart'S'éteiut successivement jusque vers 108 ans« Ges résaltata sont asaes bien d'accord avec ceux cités p^ l'auteur. Noos regiettons. de ne pouvoir entrer ici dans plus de détaib sur l'ouvrage de M. Laisné^ que nous devons abandonner à l'examen de personnes plus éclairées que nous dans ces sortes de matières*

(1) Recherches 4ur.la population, etc. , et le 3« volume de la Cotrespondance MaMmatique.

MATni:MATIQV£ ET PHYSIQUE.

Traité élémentaire de Physique , par C. Despretz , professeur de physique au Collège Royal d'Henri IV , etc. , 2« édition , in-8° , à Paris , chez Méquignon - Mardis , et à Bruxelles , chez Fortin*

La première édition de cet ouvrage a paru en iSaS ; les changemens et les additions nombreuses que Tauteur vient d'y faire , le rendront de plus en plus digne 'de l'accueil favorable qu'il a reçu du public. Parmi les parties qui ont subi des modifications utiles, nious avons particulièrement distingué celle qui traite dès machines à vapeur : Fauteur y examine successivement les différentes parties de ces machines^ et donne les moyens de calculer leurs effets dynamiques ; on lira avec intérêt toute cette discussion, ainsi que tout ce qui concerne les bateaux , les voitures et les armes dont lés elfets dépendent de la force de la vapeur. L'électricité, le magnétisme, l'optique paraissent également avoir reçu des augmen* tations heureuses. Dans la partie qui concerne les sources de la chaleur animale «t dans 1« théorie dea-^rapeurs , M. Despretz a pu faire plus particulièrement usage des expériences.qui lui sont propres. La météorologie que plusieurs auteurs ont écartée des él^ens de physique , à été développée d'une manière très-intéressante. Nous avons regt^etté de ne pas trouver quel-^ ques expériences nouvelles , et particuhèrement celle qrie MM. Thénard et Clément ont rapportée des forges de Fourchambaut. Il parsut que la correction typographique a été mieux soignée que dans la première édition, qui laissait beaucoup à désirer sous ce rapport.

— n vient de paraître chez M. Jobard , une carte topographique de l'île de Corse, qui a été dressée et Hthographiée par M. Collon* Nous nous bornerons à l'annoncer aux connaisseurs comme l'ouvrage incontestablement le plus beau qu'on ait fait en ce genre, depuis la petite carte de M. Paul*

mier.

a68 COUtESPORDAHCE MAtBiMiTIQVE ET PBYSIQVE.

QUESTIONS

L Trouver le liea des foyers d'une courbe du second ordre, de forme invariable , qui se meut en restant continuellement tangente à deux droites rectangulaires.

U. Trouver le lieu des foyers d'une surface de révolution de second ordre , de forme invariable , qui se meut en restant continuellement tangente aux faces d'un angle solide tri-rectangle*

III. On veut construire un vase cylindrique d'argent fin, à base elliptique et surmonta d'un couvercle dont l'intérieur soit ^al au demi- ellipsoïde de révolution de la base autour de son grand axe. La capacité intérieure y tant du vase que du couvercle , doit être de quatre litrons et l'épaisseur doit avoir une ligne partout* Comme on désire ménager autant qu!il se pourra la matière, on demande quelles devront être les dimensions du vase à construire, pour que la quantité d'argent employé soit un minimum ; qu'elle sera alors la capacité du vase, sans le couvercle, et pour combien de florins sera4-il entré d'argent fin dans la construction? (On admet que le kilogramme d'argent pur, vaut 222 francs, et que sa pesanteur spécifique e^t io,5}«

Fi^59. / O/sHm

X iih cfr Bur^tfra^^ à 3ru. 3 • .

UVBES NOUVEAUX.

Geome'trie Perspective , ayec les applications à la recherche des ombres; par A. -T. Dufour; in-8^ de 84 pages et atlas de 22 pi. , prix 6 fr. ; Paris , Bachelier •

Mémoire sur V application Si calcul des résidus , à la solution des problèmes de physique mathéi^atique , par M. CircHT , in-4® ; Paris, chez Debure, 1827.

Pratique du toisé géométrique , par M» Desvaiiot , i vol. iii-i2, avec planches; 3 fr. ^5.

L'auteur enseigne %l mesurer les lignes, les surfaces, les solides et les tonneaux; Tarpentage particulièrement , l'usage du compas ; à tracer des figures égales ou semblables , des moulures , des volutes , des ovales , etc. Cet ouvrage est destine aux instituteurs primaires, aux ouvriers, aux artistes, aux arpenteurs , aux âèves des collèges , à tous ceux qui veulent Biesur^ sa^s instrupaens*

Résumé du cours Normnl de géométrie et mécanique des arts et métiers, ou texte - des locox» ^ l'usage des ouvriers et des artistes , des chefs d'ateUers , etc. , données k l'université de Louvain , par M. Pagavi , i5 livraisons , à i5 cents chaque livraison de 24 ^ ^^ P^g^s? in-12; à la Ubrairie Belge, rue des Pierres, n^ 114*3 ^ Bruxelles.

NpQ^ reyiçii4foqs sur cet ouvrage quand il çn aura paru (^uçlq^es lÎTraiip^ ; \t^ deuj^. pr(9ioière8 sont en vente.

TABLE DES MÂTIEEES.

Mathématiques élémentaires.

Page»

GioMixBiE AKALiTiQïJE. — Problèmes relatifs aux points brillansdans les courbes réfléchissantes ; A. Q. ^*

Mathématiquee transeendantee.

GéoM^TRiB. — Sur diffërens problèmes; lettre de M. Gerono. . - 224 Développemens de la théorie des caustiques secondaires; A. Q. . 228 MÉCAHiouB. — Sur le pendule composé 5 M. Noël aSo

Mathématiques appliquées.

AsTROHOMiE.— Instrumens destinés à l'observatoire de Bruxelles ; A. Q. a36 Physique. — Mouvemens de la chaleur dans une barre ; M. Pagani. ^ Statistique. '— Population du royaume de» Pays-Bas ; A. Q. • • -246 Carte figuiatiyc Je riâwiruriHnn populaire ; A* Q. - • • • • • • ^

Bévue scientifique.

Théorie balistique ; J. F. Scheer de Lionastre. — Principes d'algèbre; E. E. Bobillier. — Traité d'algèbre élémenteire; S. M. Noël.— Mélanges d'algèbre ou recueil d'un grand nombre de problèmes et d'applications algébriques; M.Noël. — ^^ Recherches sur la sommation de quelques séries trigonométriquâ ; R. Lobatto. — Gron* den der sterrekunde ; door A. Quetelet : vertaald door R. Lobatto. — Statistique nationale ; E. Smits. -— De l'éducation physique de l'enfance; M. C. Laisné. — Traité élémentaire de physique; Ç. Despretz. — Carte de l'ile de Corse ; M. CoUon . . de a56 à 267

Questions a68

a»MM^kia*«W*

MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

GEOMETBIE.

On donne dans un plan un angle et un point 9 et ton demande de faire passer par le point une droite qui coupe les côtés de t angle , de manière que Faire interceptée soit de gran^ d&ir donnée (*)• Question proposée à la pag. 180 du III* voL , et résolue par M. Ye&hitlst , docteur en sciences.

Ce problème, dont je crois avoir déjà vu la solution, peut ae résoudre géométriquement d'une manière assez . simple :

Supposons le problème résolu et ABC ^^ '^'^^^^^ demandé. Soient donnés l'angle A et le point m^ on constrij^ra le parallélogramme AG£D, équivalent à la surface donnée; l'aire du triangle ABC étant, par hypothèse , équivalente à celle du parallélogramme AGED , il s'ensuit que mEFssBGv» +FDG (i).

Ces trois triangles éîiant semblables, leurs ailles sont entre elles comme les carrés des côtés homologues. Donc

mEF : BG/Ti : FDC : : wiE : mO :DC.

Et à cause de l'équation (i).

mMi s=: mGr -+• 0G*

(^^ M. Manderiier a donné .aussi une solution de ce problème. Tom* IIL • 20

a^O CORRESPONDANCE

Cette équation suffit pour déterminer DC, qui est la seule inconnue.

On construira fecilement la longueur de cette droite qui donne la position du point G, nécessaire pour assigner celle de la droite BmC qui ferme le triangle , en élevant au point D la perpendiculaire DP , et en prenant DP sas mG et PC ssmE.

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Extrait d'une lettre de AL Bobiluer, professeur k l'Ecole des. Arts et Métiers de Châlons-sur-Mame , concernant eles propriétés des sections coniques , considérées dans le solide.

I • Soit faite une section dans la surface conique de révolution SMN {Jig. 40 » par un plan AOB , qui rencontre d'abord toutes les génératrirp« riu* nne même nappe ; construisons deux sphèl'es CDF , MF'N qui touchent le cène suivant les parallèles CZD , MXN et en même temps le ]()lan AOB aux points F , F\ Il est visible que le plan des trois points S, F, F% n'est autre que le plan méridien perpendiculaire au plan de la section.

Tirons une génératrice quelconque SOX et les droites FO , F'O ; les tangentes menées \ une sphère ^par un point pris au dehors , et terminées à leurs points de contact sont égales; donc FO = OZ , F'O «OX , et par suite FO -^ F'O = OZ -*- OX = ZX:=CM(*).

Mais 9 par la même raison , CM ss GA -f- AMa= AF -^ AF' et

(*) Voyez pour le même résultat , le Mémoire de M. Dandeiin , sut fhjrperboloîde de révolution^ publié il y a trois ans; un article insère ^^*^ ce cahier, ainsi qu'un autre inséré par M. Hachette, dans le Bulletin de la Société Philomatique , 4826. A. Q.

MATHEMATIQUE Et PHYSIQUE. 1^1

CMssDitasDB -I- BNbsBF + BF'; ajoutant, ilvientaCMi^saÀB on EM =a ÀB. Donc aussi FO h- F'O «s ÂB.

a> Pour abréger , j'aj^ellerai cercle focal d*une conique tout cercle dont le centre se trouve sur le grand axe , et qui a avec elle un double contact réel ou idéal ; j'appellerai aussi ^^mvc* triée de ce cercle, la corde de contact qui peut également être réelle ou idéale; enfin, je mesurerai la distance d'un point à un cercle par. la tangente terminée à la circonférence et menée par ce point.

Cela posé, si Ton coupe par un plan quelconque une surface conique circonscrite à deux sphères et les plans de contact , les sections résultantes dans le système de ces cinq surfaces seront évidemment une conique , deux de ^es cercles idéaux, les directrices des mêmes cercles. Or, en raisonnant de point en points comme dans le paragraphe précédent, on trouvera ces deux théorèmes : i<» la somme ou la di£Férence des distances d'un point quelconque d'une courbe du second ordre à deux de ses cercles focaux est invariable, selon que le point considéré est compris ou non compris entre les directrices de ces cercles ; a^ les distances des différens points d'une courtrcr Om pcc viA^i ^«rârcuTun de ses cercles focaux sont proportionnelles aux distances des mêmes points à la directrice correspondante. C'est une extension de la propriété des foyers* '— On pourrait considérer plusieurs cercles focaux au lieu de deux. ( i*" theo&eme* ) '

Soient prolongés le parallèle CZD et le plan sécant AOB jusqu'à leur rencontre en TV , droite évidemment perpendiculaire à AB. Tirons aussi OV perpendiculaire à TV , OY parallèle à DB , enfin les droites YV et YD , dont la dernière passe par. Z. Les triangles semblables YVO^ SDZ, fournissent YO : OV :: DB : BT, Mais , de ce que les triangles YZO , SDZ sont également semblables, et de ce que ce dernier est isocèle, il résulte YO = ZO = FO. En outre DB = BF , donc FO : OV :: BF : BT. On arrive au même résultat en considérant le second parallèle MXN.

Le mêmea raisonnemens peuvent s'appliquer lorsque le plan

nécant est parallèle à Tune des géiiëratrices , ou qu*il rencontre les deux nappes du cône* Dans le premier cas , lé triangle DBT est isocèle et il s'ensuit BT = DB » FB.

On a donc ainsi un moyen assez simple d'établir Tidentitë des sections' coniques et des courbes du second ordre, en né fusant usage que de leur propriëtë descriptive fondamentale. Il donne en- outré ^ ce me semble , une idée asse/ nette des droites nommées directrices ou polaires focales.

On peut aussi en conclure que lorsque deux surfaces coni" ques sont circonscrites à deux sphères , tout plan tangent à tune coupe l'autre suif^ant une conique dont les Jby ers sont lés deux points de contact de ce plan sur les deux sphères»

Lorsqu'une conique tourne autour de son grand axe, un cercle focal, engendre une sphère focale ^ tandis que sa direc trice engendre un plan directeur. Comme précédemment , la distance d'un point à une sphère sera mesurée sur la tangente de ce point , limitée à son point de contact.

On conçoit de suite que les deux théorèmes précédens àni encore lieu en substituant aux mots courbe du second ordre , cercle focal, ^rectrice, ces nouvelles expressions, surface de révolution du secona wavU«, oj^i«ta« lut^ale, plan directeur.

On peut donc tirer de là ce nouveau théorème : si ton coupe

. par un plan une surface de révolution du second ordre , deux

de ses sphères focales et les plgns directeurs correspondans-;

la section se composera d'une courbe du second ordre , de deux

de ses cercles focaux et de leurs directrices»

Si Ton suppose que le plan sécant est tangent aux deux sphères, on tombera sur le théorème annoncé par M.Dandelin , et on aura en plus , ce qui est relatif aux deux directrices. ( Foyez n» I , vol. IIL)

3. IJig* 4^.) SoitCAB une surface conique de révolution dont l'âlipse AZB est l'une des sections planes , surface dont le sommet G se trouve essentiellement dans le planCAB, qui liii est perpendiculaire et qui passe par son grand axe AB. Si on y inscrit une sphère D£F , qui soit en même temps tangente

MATBKMATIQVE £T PHYSIQUE* 2*]i

aQplaii de la section , le. point de contact F sera Fonde ae% fojçFS. Conséquemment AC — CB s=b AF — FB as= const. En raisonnant de la même manière sur les autres courbes du second ordre, on aura donc cette proposition : si deux courbes du second ordre ont leurs plans perpendiculaires et sont telles que les foyers de l'une , soient aux sommets de l'autre et réciproquement , cette surface conique , qui aura son sommet en un point de l'une de ces courbes et pour base l'autre , sera de révolution. — ^Les axes des deux systèmes de cônes, envelopperont les deux courbes. — Les centres des sphères inscrites ' dans les deux systèmes de cônes parcourront quatre droites parallèles ou rectangulaires deux à deux. -^ Les plans des cercles de contact se diviseront enfin , en quatre groupes passant chacun par une même droite. — Les quatre droites ne seront autre chose que les quatre directrices ordinaires des deux courbes.

Soient T et C les sommets de deux de ces cônes 9 on aura, en tirant les droites TZ , ZC , F'Z , FZ ,

TZ4-ZC=TK.f-KZ -f. CLh-LZc=TK-4-CI- ^lF'Z-h.FZ«=const.

Si les points T et C étaient sur une même branche , on aurait TZ — ZG ssconst; les résultats scmt les mêmes pour la parabole et Thyperbole. Donc tous les foyers é^une courbe du second ordre ^ sont situes sur une autre courbe du mente or- > dre (i). Donc aussi toutes les surfeuses de réi^olutions du second ordre ^ astreintes à passer par une courbe du même ordre , ont leurs foyers sur une courbe du même, ordre. Donc enfin ,

(1^ Je crois avoir dëmonlrë ]• premier cette singulière propriété des foyers, dans les Jlfemoi>e« de l'Académie de Bruxelles, en 4820. M. Dupin ne Fa publiée qa^en 1822 , et a réclamé l'antériorité sur M. De Monferrand ^ qui Tayait également donnée comme nonvelle en 1825. Voyez da reste, au sujet de ces sortes de théorèmes , la note que j'ai insérée dans ce cahier, et un article inaéré à ht page 78 du vol. II de la/Jovrespondance. A. <1.

3^4 GORRESPOVDANCE

toute section piane d'une surface de réuoùOmi du second ordre est vue de Fun de ses foyers sous un cercle , car les foyers de cette surface sont aussi deux foyers de ta section.

4* On déduit de tout cela par la théorie des polaires réciproques : i<^ toutes les sections planes d'une surface coniqae du second ordre, vues d'un point quelconque de l'espace sous des cercles (le tableau est une sphère ayant pour centre le point de vue) , enveloppent une même surface conique du second ordre ; ^*» réciproquement toutes les sections planes de la seconde surface conique , vues du même point sous des cercles , enveloppent la première ; 3^ les droites qui joignent le ' point de vue aux deux sommets sont rectangulaires ; 4^ ^^ surfaces de révolution du second ordre, déterminées par le sommet de Fune des cônes et par les sections dont il vient d'être question^ ont un foyer commun placé au point de vue; 5" leurs plans directeurs , relatifs à ce foyer , forment deux systèmes passant chacun par une même droite; 6^ ces deux droites passent par le sommet du cône et leur plan contient le point de vue ; 7® toutes les surfaces de révolution du même système (les deux systèmes correspondent aux deux séries deplans directeurs), 0e touchcut au 6/%mmpt mùaxG du cône; 8^ toutes les surfaces coniques qui touchent les surfaces de révolution selon leurs intersections avec le cône primitif, ont leurs sommets sur deux droites ; 9<> etc. ^ etc., etc.

Note sur les propriétés des foyers, dans les sections coniques,

par Â. QVETELET (i).

J'ai essayé, dans le 2« vol. des Mémoires de VAcadémk^ 1820, de présenter la théorie des sections coniques , d'une ma-

(4) J'ai insère cette note à la suite d*an Mémoire de gëomëtrîe , dansk 4« Tol. des Mémoires de VAccidémie de Bruxelles , et je la reproduis ici parce que plusieurs des thëorémes qui y sont mentionnés, paraissent généralement fort peu connus, quoiqu'il en ait été parlé déjà dans difiérens journaux scientiiiques , tels que le Bulletin des sciences, les Annales mathématifueSj la Revu» encyclopédique^ etc. < A. Q«

MATHJkHATIQVE ET VHTSIQUE. 3^5

nière beaucoup plus gënërale quW ne le fait commtuiémeïit. Pour cela, je considérais un cône de révolution coupé par un plan ; et le sommet du cône devenait im point analogue à celui qu'on nomme^q^er dans les sections coniques. Les rayons vecteurs étaient menés du sommet durcône , et l'on rentrait dans la théorie ordinaire, quand le sommet venait se placer dans le plan cite la section* Voici les principaux théorèmes auxquels j'étais parvenu par liné géométrie très-élémentaire ; je me contenterai de les énoncer pour un cône à base elliptique : on les Modifiera sans peine pour les autres cas.

I. La différence des deux rayons vecteurs menés dw sommet du cône aux extrémités du grand axe de F ellipse , vaut la di* stance des deux foyers de cette même ellipse*

a. Si Von joint un même point quelconque d^une eUipse au foyer de cette èUipse et au sommet du cône , la différence dés rayons vecteurs est une (fuantité constanJte\\).

3.' La somme de deux rayons vecteurs menés du sommet du cône aux extrémités d'un même diamètre déteUipsè esiconstante.

4* La surface aplanie (2) d'un cône à base eÛiptique est une ellipse qui a même excentricité que V ellipse qui sert de base*

5» L'aire d'un cène qui a pour base une ellipse , est à Faire de cette ellipse <, comme Ut sontmeHes rayons vecteurs , menés du sommet aux extrémités du grand axe de VeUipse^ et à ce même grand axé.

6. Tous les cônes qui ont pour base une même section conique , ont leurs sommets sur une autre section conique située dans un plan perpendiculaire à celui de la première , les foyers de l'une

(i) M. Dandelin a déduit de cette propriété, le beau Uiëorème suivant : Un cône droit ëtant coupe par un plan , deux spbères dont chacune est inscrite au cône , touchent le plan en deux points , qui sont les foyers de la section.

(pi) Il faut concevoir que tous les élémens de la surface du cône se désunissent pour venir s'appliquer dans un plan et se disposer, en forme d'ëtoile, autour du sommet du cône. Les bases des petits âémens triangulaires sont alors sur une ellipse.

2^6 COAAESPOVDANCC

de ces courbes servant de sommets à l'autre , et réciproque ment.

£d donnant, dans le Bulletin de la Société philomatique de Paris , un extrait d'un Mémoire de ma composition , M* Hachette cite un travail de M» De Monferrand sur cette question : une cQUrbe du second degré étant donnée , trouver le lieu des sommets des cônes droits qui contiennent ciette courbe. La solution de ce prpblbne se trouve domiée par le 6" théorème cité précédemment* Le rapport faijt sur le travail de M. De Monferrand est du i5 mai i8si5 ; le Mémoire d'oii j'extrais l'énoncé de mon théorème a été reçu à l'Académie de Bruxelles en 1820 ; je crois donc' pouvoir réclamer l'antériorité. M. Dupin donne également le même théorème comme étant de lui ( i ) dans un beau Mémoire sur les routes suivies par la lumière et par les corps Mastiques. Je ferai encore la. même observation sur l'antériorité, plutôt pour écarter de moi le soupçon d'avoir tiré parti du travail de ces savans, que pour m'attribuer la découverte de théorèmes qui pouvaient se présenter h. d'antres comme à moi , en méditant sur les mêmes sujets.

Je citerai encore ici une génération assez simple des sections coniques : ces courbes sont les enveloppes de tous les cercles assujettis. à avoir leurs centres sur une tinntc , et leurs rayons proportionnels aux distances de ces centres à un point fixe* Le mode de génération est tellement simple qu'il suffit, dans le plus grand nombre de cas , d'avoir décrit quelques circonférences , pour avoir entièrement la forme de la section conique qui doit leur servir d'enveloppe. Cette génération ressort de la roiivelle théorie des caustiques que j'ai proposée dans le 3"« volume des Nouveaux Mémoires de C Académie ^ et dans laquelle je considère les.caustiques ordinaires comme les développées d'autres courbes que l'on construit très-facilement.

(1) JppUcaîiom de géométrie et de mécaruque , voL in-i^ , chez Conrcier, 4822.

MATHICUATIQUE BT IPHYSIQUE. 2'J'J

MATHÉMATIQUES TRANSCENDANTES

GÉOMÉTRIE

Sur quelques applications de la théorie des polaires'^ par M. Dandeli5, professeur.à l'École Royale des Mines , à Liège.

Dans un Mémoire lu , il 7 a trois ans, k FAcadémie Royale , j'ai tiré comme conséquence de la théorie des projections stérébgraphiques^ un théorème assez élégant sur la position des foyers dans les seictions d'un cône droite fai démontré vers la même époque, que ce théorème existait non-seulement pour le cône , mais encore pour Thyperboloïde , et en général pour toutes les surfaces de révolution du second ordre ; j'en ai conclu enfin, que toutes les courbes du genre des caustiques par réfle:don des courbes du second degré, pouvaient être considérées comme les développées des courbes analogues^ par leur génération, à la focale parabolique. Ces recherches, quoique de peu d'intérêt pour la science, ayant pourtant paru faire plaisir à quelques personnes , je ' vais consigner ici quelques résultats nouveaux de la même méthode.

Je conserverai les mêmes indices que dans mes Mémoires : ainsi Q désignera le centre du cercle c' sur le plan de projec« lion ou le tableau, c sera> dans l'espace, le cercle dont la projection stéréographique est c' , C sera son pôle , lequel pôle , comme on le sait, se projette en G^ Enfin, on voudra bien se

978 COARBSPONDAlfCK

rappeler la signification que j'ai donnée aux mots pole^ plan relatif à un pôle, courbes et surfaces polaires réciproques, et il ne sera pas didELcile de saisir les théorèmes- aaivans :

I • Soit un cercle f dont le centre est en jP, un cercle c' dont le centre est en O , par rapport au cercle f ' , la polaire réciproque du cercle C sera une courte du second degré , dont un des foyers sera en F' (fig* 43).

Imaginons une sphère tangente en F' au plan du tableau, on pourra concevoir sur cette sphère deux cercles^et c, dont les projections stéréographiques seraient f et cf , et dont les pôles seraient F et G. Gherdions maintenant quelle est la courbe polaire réciproque du cercle c\

Pour cela, par l'extrémité S du diamètre de la sphère perpendiculaire au plan du tableau , concevons un cône passant par le cercle c^ : il passera aussi par le cercle c. Ainsi les plans polaires relatifs aux points du cercle c' , passeront par les droites polaires relatives aux arrêtes du cône, dont la base est c et le sommet S; ôr , toutes ces droites sont tangentes à Tintersection du côtte tangent à la sphère suivant c, avec le plan tangent à cette même sphère en S , et cette intersection est visiblement une courbe du second degré, dont le foyer est en S, et dont le plan est parallèle au plan du tableau. D'une autre part , tous les plans polaires relatifs aux points du cercle c'y doivent passer par le point F' ; ainsi la surface polaire relative au cercle & est un cône dont le sommet est en F' , et dont la basé est la courbe du second degré, dont nous venons de parler.

D'après cela^ la courbe polaire réciproque du cercle c', par rapport au cercle y, étant la projection stéréographique de l'intersection du plan du cercle y* avec la siu'face polaire réciproque du cercle c^ , il est visible que cette projection sera semblable aux sections faites dans cette surface perpendiculairement au diamètre F'S , et par conséquent , sera une courbe du second degré dont le foyer sera quelque part sur ce diamètre à sa rencontre en F' avec le plan du tableau.

Ce théorème donne de suite le moyen de résoudre directement le problème du cercle tangent à trois cercles donnés. En

MATjdaHATIQVS ET PHYSIQUE. 279

effet, soient trois cercles a, b y c^ dont les centres sont A, B, C Le lieu des centres des cercles tangens à la fois aux cercles a et &,»est une courbe m du second degré dont le foyer est en A : le lieu des centres des cercles tangens à la fois à a et c, sera une autre courbe du ^second ordre n , dont le fojer est aussi en A. Le prc^lème se réduit à trouver l'intersection de m et de n. Or, si on prend par rapport a« cercle a les polaires réciproques des courbes m et n, on aura deux cercles, et toute tangente commune à ces deux cercles, sera la polaire d'un' point commun à la fois aux courbes m et n. Donc, on n'aura qu'à construire ces cercles , mener leurs tangentes communes , construire les pôles de ces tangentes , et le problème sera résolu.

On voit donc que le problème du cercle tangent à trois cercles est exactement du même ordre que celui de la tangente à deux cercles donnés. On peut faire la même observation stu* le problème de la sphère tangente à quatre sphères.

On peut déduire facilement aussi de cette propriété la plupart de celles qui sont connues relativement aux courbes du second ordre : soit par exemple hht^ la courbe polaire relative au cercle c (Jlg. 44 ) 5 menons 1» droite Fma, et puis concevons que t soit la droite dont le pôle est <^, d'abord eette droite t sera tangente à la couri^e hht^ et en outre ^ on aura par la définition même des polaires

Fmt = go® etFm X Fût = p\

p étant ce rayon du cercleyi

Or la dernière de ces deux équations indique évidemment que, quelle que soit la position du point variable m, il est assujetti à se mouvoir sur un cercle qu'il est facile de déterminer ; donc , les perpendiculaires abaissées du foyer d'une courbe du 9* degré sur les tangentes , les coupent toutes sur la circonférence d'uti même cercle : théorème dont on se sert avec avantage dans le tracé de l'épure des voûtes elliptiques.

a8o COBRESPORDANCE

On peut se servir de ce thëorème pour résoudre le prdblème suivant : *

' Étant donnés cinq arrêtes d'un cône et un point Jioce F, construire '. le plan d'une ^section de ce cône , dont le foyer soit en F.

' Pour cela, imaginons une sphère dont ce centre soit en F: il est chdr que sa surface polaire réciproque de la section cherchëe , sera un cône droit à base circulaire : cela se déduit ioimëdiatement de. ce que nous venons de dire* Ce cône n'est pas oomm ; mais, pour le déterminer, on observera qu'il doit être tangent aux droites polaires réciproques des cinq arrêtes données, et comme ces droites sont dans un même plan , lequel a pour pôle le sommet du cône. On construira d'abord une courbe du second degré tangente à ces cinq droites ; puis on .déterminera un de ses foyers et son grand axe \ ensuite on choisira parmi les sphères qui touchent le plan de cette courbe à son foyer, celle qui aura pour rayon

selon que la courbe sera une ellipse ou une hyperbole; enfîi on construira , d'après nos théorèmes^ le cylindre tangentà cette sphère et passant par la courbe , et les arrêtes de ce cylindre seront perpendiculaires au plan de la section demandée.

On voit que ce problème répond à celui où il serait question de déterminer Forbite d'un astre par cinq observations , lorsqu'on connaît le foyer de cet orbite, et qu'on peut supposer le lieu de l'observateur immobile. C'est ce qui arriverait dans le cas d'observations faites sur des étoiles tournant autour d^uDe étoile fixe, si de telles observations pouvaient se faire avec exactitude.

On pressent déjà comment on pourrait aborder la question plus importante et plus compliquée de la détermination graphi que de l'orbite d'une planète ou d'une comète par cinq observations , et l'on voit que la seule différence provient de ce que

MJkTHJEMATIQUE ET PHYSIQUE* 28 1

dans ce cas le lieu de l'observateur variant à chaque observa^ tion, ces cinq droites données ne sont plus sur un cône* Comme ce dernier problème est doublement intéressant sous le rapport de ses applications , et sous celui d'une généralisation assez singulière des théorèmes que nous avons donnés , nous j reviendrons une autrefois*

Ceux qui aiment ces sortes des recherches trouveront peutêtre quelque agrément à étendre et à utiliser les résultats qu'on peut déduire des projections stéréographiques : j'avoue franchement que je verrais avec plaisir que quelques-uns des jeunes mathématiciens instruits, sortis de nos universités voulus^ sent s'en occuper : les courbes et les surfaces du second degré jouissent de tant de propriétés utiles aux arts et à la mécanique , qu'il est toujours à espérer quelque résultat utile des recherches qui leur sont relatives*