ANALISE APPLIQUÉE A LA GEOMETRIE

Sur les propriétés des foyers dans les surfaces du second ordre; par M. BoBiLLiEB , professeur à l'Ecole des Arts et Métiers de Châlons.

Soient X, y^ z, les coordonnées courantes d'une surface de révolution du second ordre, rapportée à trois axes rectangulaires menés arbitrairement par Tun des foyers ; soit aussi :

A M- Bz< H- Cp H- D^ =s= ô

réquation du plan directeur correspondant, ou, si Ton aime mieux, l'équation du plan polaire de ce foyer; les distan-

«8» coABzsPOirDAircE

ces d'un point de la surface à l'origine et au plan directeur seront respectivement exprimées par

ya:^ H- r' -f- z'

A H- Bx -f-, C^ -♦- Dz |/A' H- B' ^- C» '

or, on sait que ces distances sont constamment entr'elles dans un rapport invariable; en désignant donc ce rapport par p, on aura, pour l'équation générale des surfaces de révolution du second ordre données de foyers,

A -4- Bx H- Cy -f- Dz

ou bien -9 en posant

yA /,B ^^

>/A»-4-B'-4-C» VA'h-B»-4-C»

/jC /jD

KA'-t-B'-f-G» KA'h^B»-i-C»

et, en élevant au carré,

ar* H-^" -I- z' =s (a + ^x -♦- çy -f- cfe)'. (i)

On peut remarquer, en passant , que tout autre surface confocale aura une équation, de la forme

X' ^- ^» -f. z' =: (a' + b'x ^ dy h- rf'z)';

MATRÉMATIQUX El PHYSIQUE. 383

et que si on la retranche de la précédente , Péqfuation résultante

(a -♦- ftar -f- c^ H- dzy — (a' 4- b'x ^^ c'y ^ rf'z)* = o,

que Ton peut écrire ainsi

appartiendra à une troisième surface renfermant la ligne de pénétration des deux premières; d*oîi il suit que plusieurs surfaces confocales du second ordre se pénètrent^ deux à deux^ suwant deux courbes planes* (Connu)*

L'équation du plan tangent au point x'y/i' de la surface (i) étant

dz' dz'

celle du plan parallèle mené par l'origine sera évidemment

dz' dz' , '

dz' dz' les coefficiens --, --; seront d'ailleurs déterminés par les

deux équations différentielles partielles de la surface

s/dx^ -^ z'dz' = (a + ia:' -I- cjr' -H dz') {bdx' -1- ddz')

y dy -f. z'dz' = (a -H 6a/ 4- c/ -i- dz') (cdy ^Jdz')'. '^

Supposons que le point considéré ait pour rajon vecteur l'axe des z, ce qui ne particularisera en rien les résultat» auxquels nous nous proposons de parvenir , attendu que le» axes coordonnés ont été conduits arbitrairement par le foyer ; on aura le z de ce p<Hnt , en posant dans (i}a: = o,jr=:o;r on trouvera ainsi

s' =s (a + cfz)' d'où dz z sss a + dz^

284 GOBBESPOirPAlICE

En considérant donc le point qui correspond à la râleur positive du premier membre , il vient

et par suite, les équations (3) se réduisent à

dz' = hda^ ^ ddz\ dz' « cdf -¥■ ddz\

d'où Ton tire aisément

d^ h dz' c

da^"^ \—d dy~T^^ét

l'équation (a) devient par là

elle représente , comme on l'a vu plus haut , un plan mené par l'origine parallëlement au plan tangent en l'un des points dont le rayon vecteur eaâ dirigé «uirant Taxe àe& z.

Actuellement, il est visible que la section faite par ce plan dans la surface de révolution est exprimée par le système des équations (i) et (4); en éliminant donc la variable z, l'équation finale appartiendra à la projection de cette section sur le plan des xy. Or, cette équation est

(i — df (x* H- y^) -f- {}>x -♦- eyf = [a {i^d)^ fpx ^ cy)^

ou, en réduisant,

x* H- j^' = (Jx -f. <y) -^ a';

conséquemment , cette projection est une circonférence de cercle.

MATRKMATtQITE ET PRTSIQUE. a85

Il est connu que toutes les sections parallèles d'une surface du second ordre sont semblables , ainsi que leurs projections sur un plan quelconque; on sait d'un autre côté que les centres de ces sections sont situés sur le diamètre qui contient le point dé contact de l'un des plans tangens qui leur est parallèle; on peut donc conclure de l'analise précédente ce théorème remarquable :

Si l'on joint les foyers Hune surface de révolution du second t

ordre h F une des extrémités du diamètre qui passe par le centre dune section plane quelconque , la projection de cette section sur un plan perpendiculaire à Vun ou à Fautre des rayons vecteurs est une circonférence de cercle*

Lorsque la surface est dépourvue de centre , l'un des rayons vecteurs est parallèle au grand axe; il s'ensuit donc que :

Toutes les sections planes dunparabolo'ide de révolution sont projetées suivant des cercles sur un plan perpendiculaire à Taxe.

Cette dernière propriété est démontrée dans la Créométrie tmalitique de M* Bourdov.

Nous ferons encore remarquer qu'en s'appuyant sur le tiiéorème dont M. Dandelin a donné une nouvelle démonstration fort élégante à la page 1 1 , tom. m , de la Correspondance , on a celui-ci :

Lorsque le point devue est placé sur une surface de révolution du second ordre , et que le tableau se trouve parallèle au plan tangent en ce point, les perspectives des diverses sections planes de la surface sont projetées ^ suivant des cercles, sur un plan perpendiculaire à Vun ou à l'autre des répons vecteurs qui passent par le point de vue (i)«

Gh&Ioiu, k 24 noireii^e i827.

(1) Nous donnerons dans le prochain cahier un nouveau m^moii*e dans lequel M. Bobilier continue à dëmontrer des propriétés très curieuses des courbes du 2« degré. A. Q.

Tom.III. ai

a86 eOKBESPONDAVCE

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

ASTRONOMIE

NouifeUe méthode pour calculer là latitude par deux hauteurs du soleil f prises hors du méridien , par M. Lobatto.

§ L Le problème dont nous allons entreprendre une nouvelle solution, est sans contredit un de ceux qui intéressent le plus l'astronomie nautique. Aussi depuis environ un demi-siècle, plusieurs géomètres et astronomes du premier ordre, ont cru devoir s'en occuper, afin de lui donner dans la pratique tout le degrë de simplicité dont il est susceptible. Au temps de Douwes, les marins encore peu familiarisés avec les calculs trigonométriques 9 ne pouvaient guères obtenir leur latitude , qu'en attendant le passage du soleil ou d'une étoile dans le- méridien. Poiu* leur faciliter les calculs à effectuer dans le cas del'observation de deux liauteiu*s bors du méridien, et leur o&îr ainsi on moyen plus généralement applicable , Douwes imagina sa méthode indirecte avec les tables j relatives (i)* Elles furent suc-

(i) Douwes (Comelis), examinateur des officiers de la marine hollandaise et l'an des mathématiciens les plus instruits de son pays , publia sa méthode pour la première fois dans les: Mémoires de la Société de Harlem t pour Tannëe i754. Elle fut commentée ensuite par Pemherlon, dans la Trans, Philos, de ^766, et par le* célèbre Nieuwland^ dans un Mémoin inséré dans le i«* supplément au Journal Astron, de Bode. Une tiadoction hollandaise de cette pièce a été publiée séparément en i800, aYec dei notes explicatÎTes par le professeur F'an Beek. Calkoen.

MÀTHiMATIQinC ET mYSIQITE. ':^

cessiTemént répandues parmi ia plupart des navigateurs européens, qui ne tardèrent pas à accueillir un semblable expédient. Cette méthode revient , comme Ton sait , h. partir de la latitude estimée pour en déduire une àutrp plus ap|Nrochée de la vraie, et qu'on emploie de nouveau pour parvenir à une seconde approximation plus exacte que la première. Aujourd'hui encore elle semble assez généralement prise en pratique sur mer. Cependant des doutes s'étant âevés plus tard , sur le degré de confiance qi^'elle pouvait mériter dans toutes les circonstances , un examen rigoureux donna lieu à de graves objections. En effet, on prouva facilement, que lorsque la latitude et la déclinaison du soleil sont dé même dénomination et peu différentes entre elles, ce qui arrive en naviguant entre les tropiques , la méthode cesse d'être convergente , et devient au contraire «me source d'erreur , en ce que la latitude calculée s'écartera de plus en plus de la vraie. On sait d'ailleurs, que chaque fois que l'on se sera trompé de beaucoup dans son estime, il faudra faire au moins un second calcul pour être certain^ à un petit iiond>re de minutes près : it la vérité , on pourra y suppléer par des tables de correction , telles que Brinkley en a données ; mais leur emploi exigera toujours une attention minutieuse et embarrassante dans ia pratiqué. Ces défauts, qui ôtent à la méthode h. la fois le mérite de l'exactittide et de la simplicité des calculs , auraient dû la faire abandonner depuis long-temps , et déterminer les marins à ne se servir que de l'une ou de l'autre méthode directe (i).

^armi les astronomes modernes , Delambre surtout a traité cette matière à diverses reprises , en discutant scrupuleusement toutes les solutions directes et indirectes qu'on a proposées à cet effet , il en a conclu , qu'aucune d'elles ne pouvaient rem-

(i) Pour voir un «zemple de prolixitë de calcul dans Li mëlhode de T^ouwes, dans le cas où une seconde approximation est insuffisante , on n'a qu'à consulter l'excellent Traité de navigation , par M. Du Bourguet , page 175.

ft88 CORRESPOKDAKCK

placer avantageusement la solution ordinaire donnée par les formules trigonométriques 9 conune étant toujours plus courte et moins embarrassante qu'aucune de celles déduites de l'anaiise. Il prouve en outre que l'hypothèse d'une déclinaison constante admise dans plusieurs méthodes directes , ainsi que dans celle de Douwes , peut faire commettre sur la latitude, une erreur plus forte que le mouvement en .déclinaison pendant l'intervalle des observations, et avoir par conséquent une influence sensible sur la latitude pendant une grande partie de l'année. Tout en partageant Topinicm de ce célèbre savant , sur une matière qui semblait déjà entièrement épuisée par ses divers travaux (i), nous allons néanmoins soumettre ici au jugement des astronomes et des navigateurs , une nouvelle méthode directe , plus simple dans la pratique que la solution trigonométrique CH^dinaire , et quoique également fondée sur l'hypothèse d'une déclinaison moyenne constante , elle n'en sera pas moins exacte dans la pratique, puisque nous indiquerons en même temps un moyen aussi simple que sûr , pour corriger k quelques secondes près , l'erreur qui en résultera sur la latitude trouvée*

S n. Soient donc {fig. 45) Z, le zénith; P, te pôle et S, S', les lieux du soleil lors des observation». iSupposons que les hauteurs soient prises toutes deux avant midi, et ainsi du. même côté du méridien^ qu'en outre la déclinaison soit de même dénomination que la latitude du lieu* Nommons H la première on la plus petite , et H' la seconde ou la plus grande des deux hauteurs vraies du centre du soleil, u, u\ tes angles horaires correspondans , ap l'intervalle de temps entre les observations ou u' — u; D la déclinaison moyenne du soleil, regardée comme constante , et L la latitude inconnue*

Soit encore u'^usst^Xf ou bien u sssx -t-p et u'zssx — p»

(i) Voyez les Cçnnaiê. des iemps^deê années ji809, iSif , 4847 et 4822.

MATHinfATIQirZ ET PHTSIQUE. 189

L(es triangles sphériques S'ZP , SZP donnent les équations

Sin. H' =: COS. L cos. D co&. {x-^p ) -t- sin. L sin, D...««.«.». (i).

Sin« H = COS. L cos. J3 cos. (x -hp) H- sin. L sin. D.... ••••.. (a).

Prenant la somme et la différence de ces deux ëquation^i on obtiendra

Sin. H' -4- sin. Hsse2cos.Lcos.Dcos.â?GOS«;9 -»- a8in.L6in«D(3). Sin. H' — - sin. Hsssa cos. L cos. D sin. x sin. p. (4)*

Ou ce qui reyient au mêpie

sin.'/,(H'-*^H)co8.V4(H'— H) * «in.Ltang.D^^^

' ag8COS.LcOS>JP>»' 2 — #5)

cos.Dcos.p cos.p.

Sin.«/.(H'— H)cos,V3(H'h-H) , .

=—: aasCOS.Lsin.X........ % (O)

cos.'Dsux.p

Le premier membre de cette dernière ëquation étant une quantité connue et plus petite que Tunité, nous la désignerons par sin. a, de manière que nous aurons sin. a ms cos. L sin. x

d'où il suit sin. jTass ^-.•. ••••••••••••••••••.••••.« (n)