PS .4- PS
P' S a= P' S' =s =: 90«— D. Or / étant supposé>if ,
PS' sera < PS , et Pon aura immédiatement PS =a PS -♦- dD\ PS'bsP'S -— dD. Faisons passer un arc de grand cercle ZP' par le zénith et le pôle P; L P sera le complément de la latitude calculée , et la différence entre les arcs ZP , ZP' désignera ^'erreur commise sur la latitude. Décrivons maintenant des points Z , S , comme centres avec des rayons égaux aux cordes des ê arcs ZP, SP, de petits arcs de cercle P^, Vq^ dont le dernier r rencontre en q le prolongement de SP ; il est évident qu'alors
(Q Cette dernière formule a M donnée , pour la première fou, par M. Van Tujrl van Serooskerken , docteur en eciencet , dans une savante disfertatioB publiée en ^823, et intitulée : DUfmtaUo nuUhemaUca inauguraUi de kuUudine ex ohservads duabus astrorum altitudimbu» computanda, dans laquelle il discute ayec beaucoup de sagacité., presque toutes le^ solutions tant directes qu'indirectes du problème dont il s*agit.
lUTliMATIQVï ET JPHYSIQVE. agS
P'r sem in valeur de <2L et P'^ celle de dD. Or les. arcs Pe^ P^ pouvant être considàrés comme étant respectivement perpendiculaires à ZP , ZF et à SP, SP', Fangle tPq , sera égal à Fangle ZPS B=; u ; les triangles rectangles PP'e , PP^ 9 donneront
F< =r <JL as PF sin. PTr * PF sin. (u — P'Py ) PF Gos. PF^ ss P^ ss COS. D sin. PS9 PF sin. PFç = F^ = dD.
Au mojen de ces dernières équations , la première deviendra ^ as sin. Il cos.rD sin, PSF — cos. u X ^ ;
- Il V
Equation qui rétablit la relation entre les erreurs produites dans le calcul du triangle ZSP ; mais on aura de même par le triant gle ZST, en observant que Fangle PS'P' peut être égal à PSP'
éOiSs sin. u' COS. D sin. PSF -t- cos. u' XdD
Multipliant la première par sin. u% et la seconde par sin. u^ et prenant la différence , il en résultera
(sin. u — sin. u[) dL sss sin. (u -t- u') dD donc
sm. u — sm. u sm. f% (m — u)
la ménie fbrmtile que ci-4cssus.
Ainsi en supposant, comme nous- Pavons fait, que les hauteurs aient été prises toutes les deux avant midi , c'est-à-dire que les angles u, u' ^ soient positifs , et que la déclinaison
augmente, dh' exprimera la quantité qu'il faudra ajouta à la latitude calculée pour obtenir la Traie. Là correction est donc additive dans ce cas; elle 'serait soustracttue ^ si les hauteurs avaient été prises de Tautre côté du méridien , l'angle x
ou changeant alors de signe , sans que/? on de-
vienne négatif. Mais en prenant les hauteurs de différens <^âtés du méridien, l'angle u' étant alors négatif, la formule se change en
sin. Va (» — «'),-, , .
dL SB . „ ; i dD (la)
Dans ce cas , la correction éât nddiUve on soustractwe , selon que tt ^ ou < tf% la déclinaison étant toujours supposée croissante , Finverse aura lieu lors d'une déclinaison contraire. Les mêmes conséquences auraient pu être déduites de la formule (i i).
La formule (12) indique:
i« Que l'erreur sur la latitude sera d'autant moindre que «^ sera plus grand, surtout lorsque le mouvement en déclinaison sera peu considérable ^ et qu'elle deviendra nulle lorsque les observations auront été faites à un même intervalle de temps avant et aprës midi ; .
a® Que dL sera > ou < dD selon que les observations sont faites du même côté ou de différens côtés du méridien ;
3<* Qu'en conséquence, pour les mémeis intervalles de temps^ l'erreur dïi qui croît pr<^ortionneIIement au temps , donnera une moindre erreur sur la latitude dans le dernier que dans le premier cas. Les observations faites , de différens côtés du méridien, sont ainsi préférables sous ce rapport.
On peut facilement indiquer les limites dé l'erreur sur la latitude dans les circonstances les plus défavorables de Tannée, c'est-à-dire aux temps des équinpxes » ou lorsque le mouvement en déclinaison s'élève à peu près à une minute par heure ; dans ce cas la quantité dD sera exprimée en autant de minutes que le demi-intervalle de temps /i le sera en heures* Ainsi en désignant
MATHicMATIQUE ET PHYSIQUE* I97
par itt le rapport dedD hp^bi formule pour la correction pourra éti*e mise sous la forme
sm. Va (w— tt' )
Or, l'arc u-hu' surpassant toujours u — u' quand les observations sont de même espèce , on aura ^
sin. */a (u -H u' ) ^ u-^-u'
donc
«Oi < m X Va (m -1- w') et > Va ( w— tt').
On tronTe les mêmes limites lorsque les observations sont de différente espèce , cas qui donne u -l- u' <^ u — u'* Par conséquent le nombre de minutes auquel dL pourra s'élever , en supposant le mouvement du soleil égal à une minute par heure , sera toujours compris entre le demi-intervalle p et le milieu
. tt -4- m' du temps , cbaque heure étant prise pour une minute, et
en général si ce mouvement n'est que de tn* secondes par heure , les mêmes limites auront lieu , en comptant pour chaque heure , un nombre m' de secondes* '
{ VI. Nous allons donner maintenant une application de nos formules , pour faire juger de la facilité qu'elles offrent dans la pratique. Prenons à cet effet l'exemple calculé de différentes manière par Delamhre , {voyez la Connaissances des Temps de 1817 ). Soit pris L sss 48* 5o' ; le premier angle horaire après midi de 3o<* et le second dé 76* ; les déclinaisons respectivement 8** 1 5' et 8^ 18', le calcul donnera pour la première hauteur H = 4^o i4' 9", et pour la seconde ou H' = 160 5' 49"; la latitude et la déclinaison étant de même dénomination.
Les données sont iciD=«/. [8o.i8'-i-8° i5n=8° i6'3o",rfD = ■/48«i8'— ff>i5']=si'3o",/;=a2»3o',H=:4aOi4'9'',H'=i6«5'49".
ag8 » CORBESPOVDAUGB
On pourra disposer le calcul de la'manftre suivante :
D=: 80 16^30'' COS. 9,9954547 'sin. 9,l58i345
. p =s 220 30' fin. 9,6628397
sin. fi 9,5782944 C 0,4247056^
^ 9' 58" co«. 9/ (30 4M 4" sin. 9,
94Hi89 3543709
•in. «9,7474954 oos.a 9,9310990 cos.f 9,9459226
sin. L 9^8770246 L=:48«53'6"5
COS. A d,9663857 ■ ■ ■ \ coÊ.fA 9,4947488
sm. 9,6878350 COS. 9,9886046
êec.0 0,0336443 .a 0,0689040
COS. (?— /Et) 9,7789549
(f-/^)=r=fc53o3'3" /«=:. 8io3'44"
f =s 28»OM4''
Nous ayon^ omis la valeur de f , donnée par lesigpe supérieur, puiâquëLderant être positive, f nepieûf^ti'e'Tm angle (Aisas. Il nous reste encore à évaluer la correction ilL à apporter à ^ latitude trouvée par le calcul précédent ; pour cela , en faisant
sin. a
usaee de la formule oL = = — aD, on voit qu elle'seni
°. , cos. L 8in*p *
soustractwe puisque « est négatif et dD positif, et Ton aura le petit calcul suivant
dD xas igo'/ Log. 1,954^ sm. a 9,71719 COS. L 0,18204 sin. p, C 0,41716
Log. i86"5 = 3' 6" 5 L = 480 53' 6" &
' Donc la vraie latitude égale
MATUiMATIQtJE ET PHYStQVÈ. ig9
Od à pour le calcul des angles horaires d'après la formulé
sim a -,
sin. a: ==: — — = sm. a = 9,7171954
COS> Lé
COS. L as 9,8179424
sin. X 9^899^530
xssSa. 27.50
donc a: h- /)=»=* 74*67 «So ar — /? îsBs 29. 57 . 5o
> On voit par ce qui précède que le calcul de la latitude n'exigé que là recherche de treize logarithmes dont six se trouvent d'ailleurs deux à deux à la même page des tables des sinus , sans qu'on ait besoin de recourir à des tables • particulières» Quanta celui delà correction ^TD, il n'exige que trois logarithmes de pltis , ceux de sin. p et dé sin. a étant d^k trouves. Mais on pourra même se dispenser d'effectuer ce dernier calcul, au moyen de la table placée à la fin de ce mémoire, et que nous avons dressée & cet effet. Elle donne immédiatement la valeur de dL , d'après celle de dD , et les angles horaires u et u'' connus, soit par le calcul , soit approximativement par la mon^ tre.Les demi*intervalle!sJ!> y sont portés dans la première colonne verticale, par quarts d'heure, depuis un demi jusqu'à b^ois heures ; ee qui sufiSra pour les cas qui se présefitent ordinairement dans la pratique. Les valeurs deu indiquées en tête de la table se succèdent également par quarts d'heure jusqu'à 6-V> heures. Les variations dJ) sont prises depuis 3o'' jusqu'à 3', avec des différences de 3o'^, ce qui donne lieu aux six divisions de la table. Oix remarquera que dans la seconde , les valeurs de p ne commencent qu'avec i*, vu que l'erreur dD =sa 1' ne pourra, même lors des équinoxes, convenir à' un* intervalle de temps au-dessous de t^ ; ceci est également applicable aux autres divi-^ sions de la table; < Pour des valeurs intermédiaires de dDy
3oo corhejpokdakce
on prendra sans peine des parties proportionnelles de dLé
L'inspection de notre table , qui suppose la variation dD prise positivement , montre en outre que si p > w , c'est-à-dire lorsque les observations sont de différente espèce , et qu'en même temps le second angle horaire u' surpasse le premier u , la correction aura le signe négatif, et qu'elle ne sera positive que lorsque u^ p ^ ce qui aura toujours lieu quand les obser* valions seront faites avant midi. On aura seulement soin de prendre le signe contraire à celui que la table indique :
i^ Dans le cas oîi les hauteurs sont prises après 'le "passage au méridien, et, a** lorsque la variation dD est prise négativement , c'est-à-dire pendant le temps que la déclinaison boréale ou australe diminue d'un jour à l'autre.
L'emploi de cette table ne pourra ainsi causer aucun embar* ras , pour connaître le sens dans lequel la correction, doit être portée en compte : et en supposant les observations faites sans erreur sensible , elle donnera toujours la latitude eiKicte à un très-petit nombre de secondes près; nous nous en servirons par conséquent dans les applications qui suivront encore*
§ X* Nous ne devons pas omettre défaire remarquer encore une légère simplification qui résulte, pour la pratique, en emr ployantlaméthode exposée ci-dessus.Voici en quoi elle consiste : Les formules données par les autres solutions directes , exigent que chacune des hauteurs observées ou apparentes , soit réduite séparément à la hauteur vraie du centre du scdeil^ afin de pouvoir y appliquer les calculs. Notre méthode dispense le marin d'effectuer cette double réduction ; car , désignant par hh\ les hauteurs app^entes du bord inférieur ou supérieur ^ et nommant ainsi qu'il suit les divers élémens qui entrent dans la rédaction des hauteurs , savoir :
Le demi-diamètre du soleil •••••... =s='/a d La réfraction-parallaxe à la i'« observation =: r
• ••••• 2* idem. =s r'
La dépression de l'horizon . . =• a
L'erreur de l'instrument ••.,.••••• »= c
on aura
MAtllJKMATIQVE ET PRYSI^VS. 3oi
donc V.(H + H') = — ^± ^-Ç-^)-*-J
et 'UÇa'^^^^îl±^Ç^)
Or, en employant une (réfraction - parallaxe) moyenne,
■ a= B., et négligeant la différence V» (r — r') , qui ne s'é-
lèvera en général qu'à un petit nombre de secondes , il en résulte que les corrections à faire portent uniquement sur
V ■ ) en y appliquant la réfraction moyenne comme
une seule hauteur , attendu que les quantités H , H' n'entrent pas isolément dans nos formules.
S XI. Nous terminerons par faire voir encore comment , au moyen de quelques-unes de nos formules, on pourra traiter le cas où il s'agit d'obtenir la latitude par l'observation de trois hauteurs successives du soleil ou d'une étoile , et les intervalles écoulés.
A cet effet , nommons H" la troisième hauteur , i*" le troisième angle horaire ; soit Va (u' -4- u'^) =p' ou le demi-intervalle temps entre la deuxième et la troisième observation. La formule 6 du § I donne la proportion
, sin. '/a (H^ — H) cos. Va (H^ -I- H) sin. p sin. X : sm. x ^.^^ ,^^ (H"— H'; cos. Va (H'> H') ^ sin. p'
Désignons cette fraction par cot. \Ij , il viendra
sin. X : sin* or' = i : tang. \fj , Tom. m. aa
3o2 CORRESPONDANCE
OU bien
j:tang\ y=:^ H-tang. i// ti — tang. ^=laiig.(45oH- 4/):i
donc
— ^J=stang. (^— ^ — J xtang.(45«+.^).
. Or , faisant attention que Fangle horaire j/ + ^' est le même que celui exprime par x — p^ il en résulte que x — x'=/? h- p\ Cette équation se vérifie d'ailleurs en substituant à la place de X9 o[f leurs valeurs Va (a -f- u'), Va ( m' -4- w"). Lâformule précédente devient alors
tang. Va {oc 4- a:' ) s== tang. V» (/»-*- ;ei' ) tang. ( 45° h- ^) ,
au moyen de laquelle les angles x <, x' ^ et, par conséquent, les angles horaires , seront connus*
Si l'on suppose la déclinaison D , donnée en même temps , la latitude se calcule immédiatement par l'une des deux formules § n*
^ , sin* Va (H' — H) COS. Va (H' -1- H )
Cos. L s=s ■ ' ■ T. . :
' COS. D sin p sm* x
, sin. Va ( H" — H' ) COS. Va (H" -*- H')
COS. L =s =r— ; ; — : -7 ^ •
COS. D sm. p sm. x
Mais le problème est également déterminé sans connaître la déclinaison; voici comment on pourra alors calculer ce dernier ^ élément «t la latitude à la fois :
L équation
sin. H' = COS. L cos. D cos. ( x — ;?) -i- sin. L sin. D
MATHEMATIQUE ET PSYSIQUE* 3o3
donne
sin.H' = cos*{L — D) — a cos*L cos.Dsin.' l — j
= — COS. (L -f- D) -f- 2 cos, L COS. D sin. ■ f J •
Mettant
^ sin. V>(H' — H)cos.Va(H'+H) ,,
COS. L COS. D ass i— i : i— : ï— 2 ^=sM
sin. p sm« X il viendra
COS. (L — D)=«aM sin. * (^"^^^^^ + sin. H'
« COS. (L + D) ss aM cos. " [ ^ J — sin. H'.
Poxir rendre ces formules propres au calcul logarithmique , soustrayons-les chacune de l'unité^ après avoir posé H'aasgo— ^ : il vieiidra
sin. * V» ( I- — D) = sin. * V. A — M sin. » (^^)
sîn. • Va ( L 4- D) = cos» ' */» À— M cos, » ^^■^^). Si maintenant nous faisons ^
: : — — XV^Msscos. A , COS. -p— «Xl/Massina',
sm* 79 h COS. Va h
nous aurons enfin
sin. '/a (L-— J))s=8in. Va Asin.A , sin. Va (L -f- D) ss cos. Va h cos. Va A'
d'oii l'on déduit facilement les valeurs de L et de D.
3o4 CORRESPOlfDAVCE
On peut encore y parvenir par un autre prooëdé , mais qui ne s'applique qu'au cas où Ton aurait sin* H' < M. En effet, il suit de Fëquation
$in. H' = cos. L cos. D cos. (or — p) -^ ^^* ^ sin. D
en posant
sin. H' sin. H'
cos» L cos. D M
cos* z
tang. L taiig.D= cos.z— co8.(a>-^|?)= a gin/ — i-H — jain/—L \=s
z' étant un second angle auxiliaire ; donc
COS. s
COS. (L — D)=:M(i +tang. Ltang. D)=^M(x-t-cos. z') = aMcos. » «/az'
et
COS. (L rf. D)= M (i —tang. L tang. D) =M (i — cos. z') = a M sin. » «/a s'
Ces dernières formules , outre qu*elles sont moins générales que les précédentes , n'en sont pas plus expéditives , vu qu'elles exigent la. recherche d'un logarithme de plus; ainsi il sera préférable de s'en tenir toujours aux premières.
Nous allons en montrer une seule application à l'exemple suivant :
Soient H = 52*» 33', H' = 620 29' 5o", H" ='67» i5' 3o" : Les intervalle^ de temps
y =oK 67' 28" = i4^ 22'. oup =7° II" y>' =0. 3a. 40 :=! 8. 10 — p' = 4 5 ■/, {p -t- p') =± 5° 38'
MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE. 3o5
On cherchera- d'abord l'angle auxiliaire ^ pai' la formule
sin. Va (H" — H') COS. Va (H" H- H') sin. p tang. yp— ,^ ., ,„, „ . ^^, i, ,„, — —n\ X TT.
sin. Va (H' — H) COS. Va (H' + H ) ^ sin. p'
■ Il ' « ■ ■ m J 11* ^
H'-i-Hs=ii5. 2. 5o 57.31.25 COS. 9,7299354
H' — H = 9. 56. 5o 4* 58. 25 sin. 8,938oo36
p =ss 7. II Csin. 0,9829349
H' == 62.29.50 /?'=4® 5'....Csjn. 1,1474755
H" -*- H' =2 129. 45. 20 64. 52. 4o COS. 9,6279295 H" — H' = 4. 45. 40 2. 22; 5o sin. 8,6184307
9,8229618 tang.t^ t// = 33. 37. 56
xfj -+■ 45® = 78. 37. 56 tang. 0,6966955
Va (p -H p') = 5. 38. tang. 8,9940454
—7- J 9'6y>74^ Va ( a: H- x' ) = 26. 8, Va(jr-cc')= 5. 38 j7 = 3i.46, x'=20.3o
ce qui donne , pour les angles horaires ,
X ^p = 38o 57' = 2*. 35'. 48" a: — ^ =24» 35 = I. 38. 20 a;' — ;5' = ii6. 25 = I. 5. 4©
Pour avoir le logarithme de la quantité M , on n'aura qu'à
3o6 CORRESPONDANCE
soustraire celui de sin. ô; , de la somme (A), indiquée ci-dessus :
(A) 9,5708789 ^ = 90 — H' = 27<> 3o' 10" sin. X 9,7213664 - = i3. 45. 5
log. M 9,8495075 long. M Va 9,9^47537 9,9247537
sin. 9,32815 i 8 • . «COS. 9,9899286
-sin. 9,3760464 COS. 9,9873696
COS. A 9,8768591 sin. A' 9,9273127 Jo
sin. A 9,8i8i56o coSé A' 9,7270212
-sin. 9,3760464 COS. 9,9873696
••sin. { — — ) 9,1942024 sin. ( — — ) 9,7143908 V> (L— D) =8.59.50 Va (L 4- D) =3i. 12. II
Le problème que nous venons de traiter, a déjà éxé l'ob- )et des recherches de plusieurs géomètres et astronomes mo- ^ dernes. Parmi les diverses solutions qui en ont éXé don- j^ nées, celle exposée par M. Duhourguet^ dans son Traité de navigation , est sans doute une des plus simples et des pins élégantes. En la comparant à la nôtre, on remarquera qaé K la marche que nous avons suivie est différente, et réduit en outre les calculs à un plus petit nombre de logarithmes. Cet auteur observe que ce problème est plus curieux qu'utile aux marins; il nous semble cependant qu'il peut avoir son utilité, dans le cas , à la vérité fort rare , oîi l'on ne serait pas pourvu d'éphémérides astronomiques , pour en obtenir la déclinaison du soleil ou d'une étoile , lors des observations.
Au reste, nous n'entrerons pas, pour le moment^ dans de plus grands développemens à cet égard , ce problème n'ayant qu'un rapport indirect avec celui qui fait la matière du présent Mémoire.' {Adi^ent lés tableaux.)
