COS

Or Sin* 41 a*B ' f " ■ ■ : ' ■■».■ ■ ■.■■ I 1 ■ ■■

Sm. ôt:. ' .

■ ; sin. •/« (H' + H) COS. '/» (H' — H) 4" COS.(j)— /t)t= î— i — ^^ ^ * ^ — '-

• c6s« a. COS. i3

6* sin. L &= COS. a COS. )». *

Remarquons ici qu'en faisant les observations après le passage au méridien , on aiira toujours H' ^ H, ce qui donne pour à un arc négatif; mais cos. a restant positif^ le calcul sera le même comme dans le cas de IF ^^ H. Cette circonstance pourra également avoir lieu , lorsque les observations sont faites de différèns côtés du méridien,

^^ S III. n est facile de voir que le choix du signe Émbigu de l'angle )»— **yû>.pour obtenir la latitude qui convient aux circonstances , n'est guère douteux. En effet, comme nous avons supposé la latitude et la déclinaison de même dénomination, et toutes les deux positives , il est évident que la valeur de cos. f , qui seule détermine le signe de L , sera également positive ; par coiïséquent celui des angles f qui surpasse 90*^, devra être

(i) J'avais àé\k publie ces formules en i82..., dans les OEuvres de la Société Mathématique établie à Amsterdam , sous la derise : Een onvermoeide tùéeid konU allés te boven* .

9g2 COBBESPOHDAirCE

rejeté , c'est-à-dire qu'on se bornera au signe inférieur de (f— m)« Si au contraire la déclinaison et la latitude sont de dënœninatîon différente, ce qui est généralement connu d'avance, la dernière sera négative j puisque nous considérons la première comme toujours positive; il faudra alors rejeter la valeur de f moindre que 90*, et se borner au signe supérieur de (f — /k)« Cette règle, très-simple suiDBbra en général pour faire éviter le double calcul d^ la latitude* Il peut arriver cependant que chacune des deux valeurs de Tangle f soit < go®; dans ce cas, comme Le choix en devient incertain, on ne pourra se dispenser de calculer les deux latitudes , afin d'en prendre celle qui s'approche le plus de l'estime ; ce moyen pourra même devenir insuffisant , si en outre les latitudes calculées diffèrent peu entreelles,ou s'écartent presque également de Testîme. C'est alors qu'il faudra déterminer le choix par Je calcul des angles horaires ou des azimuths, lors des observations. Mab ces cas sont assez rares , et aucune méthode ne peut fournir une rè^e sûre pour lever l'incertitude qu'ils présentent» Quant au calcul des angles horaires , notre solution le donne immédiatement, puisque après avoir déterminé a et L , on a

sm. a

sin. X B=s • =- , usBtx ^ p i tt'jKsor— /J!i

$ IV* Avant de montrer une application de nos formules , évaluons d'abord l'effet produit sur la latitude par la supposition d'une déclinaison moyenne constante, afin de pouvoir le corriger en tout temps*

Soient <;, «f'ies déclinaisons vraies du soleil, lors des obserrations , et admettons que &' ^ ^, c'est-à-dire que la déclinaison, soit boréale soit australe , aille en augmentant; on aura

par conséquent l'erreur dD sera négative à la première, et positive à la seconde observation*

MATBÎÉMAtlQVE ET PHYSIQUE. 2q5

Diffi^réncions l'équation relative à la plas grande hauteur sin. H' SB COS. L COS. D cos. u' -4- sin% L sin. D

seulement par rapport aux variables U , D , L , il viendra

osscos. Lcos« Dsin.tt' du' -^-{coaJusinJ) cos. u' — sin. L sin.D} dD

-f-(cos.D COS. u' sin. L — ^sin. D cos.L) dL

ou bien apr^ avoir divisé par cos. L cos. D ,

sin.u'<&'s=(tangJL---tangJ)cos.u')d!D---(co6.u'tang.L--tang.B)<^

On aura pareillement, en différentiant^ la formule qui exprimé la plus petite liauteur , et en observant que dD devra être prise alors avec un signe contraire

sin. wrfr i, -■(tang.Dcos.tt — tang.L)<fl) — (cos.utang.L — ^tang.D)^.

Si l'on multiplie la première de ces équations par sin. », et la seconde par sin. u\ afin d'éliminer la différentielle du^ il viendra en prenant la différence des produits

[( sin. u -f- sin. u- ) tiuig. L -7- sin. ( t» -t- u') tang. D ] dJ} = [ sin. (11 — u*) tang. L •— (sin« u — sin. u') tang. D ] <flL ;

ou puisque ^

sin. U'^sin. u'rasn sin. x cos./i, sin. u — sin. tf's=s2 cos. x sin. p, sin. (u -f- u') =sa sin. x cos. j?, sin. ( u — - 1»' ) =» a sin.p cos. p.

La relation précédente se changera, au moyen de ces substitutions, en

sin. X [ COS. p tang. L — cos. x tang* D] dX} ss f COS. p tang. L — cos. x tang. D] sin/7€2L;

!»94 GOIIAESPONDAIICE

donc en supprimant le facteur c<WmUii aux deux nombres de cette équation 9 on parvient de suite à

sin.j: sin.a

9lU« X BlU* gK •

sin-x^/DassinoicfLy ou liLss-; <CDass — -=— : i/D««.(ii)

^ sm./7 Gos.Lsin./? *

ou bien encore

formules tris-simples à calculer au moyen de la latitude trouvée ou des angles horaires (i)«

§ V. Voici d*àilleurs une construction géométrique qui nous donnera le même résultat, Sans recourir au calcul différentiel :

Soit P (^. 46 ) le pôle vrai , et V celui que donne Phjpo- . th^e d'une déclinaison moyenne constante , c'est-à-dire que