M CORRESPONDANCE

L'équation de la courbe rapportée à cette nouvelle origine et aux nouveaux axes sera

M Asin.«'-f--cos.a' jyV/Asin.a-f- -cos.aja?' I

-l-AfD'sin.a'^.E'cos.^y'-f-A^'sin.a^E'cos.ay et comme

COS. a ■

il vient

A sm. — - — E'sin.

COS. — - — cos.

on a de plus , en faisant

H s» A sin. a' •+- — cos. a' = — f A sin. a -+- — cos. « ) ;

en prenant la première valeur de H , on a

Asm.-—— sin.a'cos. cos. a' sin.

H=Asin.a' cosa'=A ■

cos. — - — cos.

sm. i . V 2 J sin. y

« •+• a cos. à

cos. — s —

On parviendrait À la même expression , en posant

b wn--r~

H= — A sin. a — —cos. «== — Asin. «-4-À cos. a

cos.

sin. — ~ — cos. a — sin. a cos. ■

es A ; ;

a -f- a COS. —-

sin. — — •

cos. — r —

Faisons d'une antre part

KœD' sin. «' -+■ E' cos. a'= D' sin. a+£' cos. a ;

on aura :

E' sin. «'sin . — — cos.a'cos. sin.^sin.-^--

K= ; -f-E'cOS.a'^E' ? JL

COS

COS

COS

a' -h « cos. £ v '

cos.

■VâI

En substituant dans l'équation (22) , on trouve VA' + AC «n-Vx

104 CORBESPONDJNCE

Recherches expérimentales sur les abaissemens du thermomètre à boule mouillée, par M. James Prinsep , F. R. S.

L'auteur rappelle que l'association britannique des sciences, dans sa première réunion , attira l'attention des physiciens sur la théorie de l'instrument nommé hygromètre à boule mouillée, sur lequel il avait déjà publié quelques observations dans le Journal Scientifique de Calcutta.

Le docteur Apjohn fit connaître, en 1835, une formule résultant de ses propres expériences, entreprises avec l'aide du docteur Hudson, et le célèbre professeur Gay Lussac donna , vers le même temps , une théorie sur la marche de cet instrument.

L'auteur a entrepris de nombreuses séries d'expériences sur ce sujet, à Calcutta, persuadé que sa position particulière, dans un climat très-chaud , lui promettait divers avantages; et dès 1829 il avait présenté une table de réduction des abaissemens du thermomètre à boule mouillée , en degrés de l'hygromètre ordinaire. Il a depuis continué ses observations avec de meilleurs instrumens.

Dans les expériences hygrométriques ordinaires , on est d'accord de considérer comme extrême degré de l'échelle , ou 100% la saturation complète de l'air par l'humidité , et comme l'autre extrême, ou 0°, l'absence complète d'eau dans ce fluide. Au contraire , dans le thermomètre à boule mouillée , le point de saturation de l'air par la vapeur d'eau est indiqué par 0°, puisque , dans ce cas , aucune évaporation n'est possible , et aucun froid n'est produit.

Pour comparer les indications entre elles , il faut donc établir le maximum d'abaissement qui correspond à 0° de l'hygromètre , ou la sécheresse extrême pour chaque température , et aussi la valeur de chaque degré intermédiaire d'abaissement du thermomètre mouillé en degrés hygrométriques ordinaires.

Pour le premier point , la méthode suivie par M. Gay Lussac fut d'exposer le thermomètre mouillé à l'effet d'un courant d'air sec, élevé à diverses températures. C'est aussi celle que le docteur Apjohn et M. Prinsep ont suivie.

Pour le second^ il suffisait de dessécher de l'air à dhrers degrés , par exemple en l'exposant sur diverses solutions salines , ou sur de l'acide sulfurique plus ou moins étendu, et de placer le thermomètre dans un courant de cet air, plus ou moins échauffé. Mais il est difficile d'obtenir un courant d'air un peu prolongé d'air desséché en tout ou en partie. M. Gay Lussac employait pour le dessèchement de l'air le contact du chlorure de calcium, ce qui parait insuffisant. M. ApjohnXe faisait passer trois fois dans l'acide sulfurique , méthode sûre , mais incommode. M.Primep desséchait l'air d'avance, pendant plusieurs jours ou même plusieurs semaines , dans un grand gazomètre , d'où il pouvait sortir en jet continu. Le secret de cette facilité était dans . l'emploi d'huile de coco, au lieu d'eau, dans les réservoirs do gazomètre , ce qui empêche non-seulement toute humidité , mais conserve les gaz si purs , que l'auteur n'eut aucune inquiétude en allumant un jet d'hydrogène qui était resté deux ans préparé dans le gazomètre.

D'autres moyens ont été employés pour obtenir des degrés de dessèchement intermédiaires ,' tels que l'emploi de l'atmosphère elle-même , en s'assurent à l'avance de son degré d'humidité , à la température ordinaire ou à une température élevée par le passage dans un tube chaud , sans changer la tension aqueuse , ou bien encore l'emploi de l'air raréfié.

Indépendamment de ces questions, il se présente encore à examiner l'influence de la pression atmosphérique plus ou moins considérable , et celle de la nature des gaz , sur l'abaissement du thermomètre; puis enfin l'effet produit par l'accélération du mouvement de l'air, ce qui rend fort compliqué le problème à résoudre.

Dans ses recherches sur le courant d'air sec, M. Prinsep employait un gazomètre de 120 pintes, contenant de l'air desséché au moyen d'une large surface d'acide sulfurique concentré. L'air se rendait par un courant continu dans un grand ballon de verre, où étaient placés un second vase plein d'acide sulfurique , un bon thermomètre et un hygromètre à cheveu. Au robinet supérieur du ballon était adapté un petit tube de verre dans lequel

était introduit un petit thermomètre à boule couverte de mousseline , qu'on plongeait dans l'eau distillée au moment de commencer l'expérience.

Après avoir rapporté les résultats obtenus par M. Gay Lussac avec un appareil à peu près semblable , pour des températures allant de 32° F. (0° cent.) à 77° (25° cent.), l'auteur donne le tableau de ses expériences à Bénarès et à Calcutta, allant de 72%5 F. (22°5 cent.) à 96° F. (35°,5 cent,). Il employa un appareil particulier pour obtenir des températures encore supérieures. Le tube qui conduisait l'air du gazomètre au ballon , fut encaissé dans un large tube en plomb, qui se remplissait de vapeur d'eau bouillante en courant continu. Un thermomètre en indiquait la température, qui s'éleva jusqu'à 190° F. (87°7 cent.). L'abaissement augmenta rapidement avec l'élévation de la température ; et , pour dépasser les limites du point d'ébullition de l'eau, l'auteur employa un courant d'air chauffé , dans un tube rouge de feu , jusqu'au point de l'ébullition du mercure, 656° F. (335° cent.), ou de la fusion de l'étain.

Il était nécessaire de surveiller l'opération , car, dès que l'eau du thermomètre mouillé était évaporée , le mercure s'élevait si rapidement , que le tube se brisait , et la mousseline était charbonnée. Avec ces soins , on vit l'abaissement aller jusqu'à 149° F* (62°,7 cent.).

Après ces données expérimentales , M. Prinsep récapitule dans son mémoire les diverses formules successivement données par Leslie, Gay '• Lussac , Apjohn, etc., et il donne dans un tableau la comparaison des valeurs de D, soit l'abaissement du thermomètre à boule mouillée , d'après ces diverses formules , avec les valeurs observées. Ainsi , par exemple , lorsque la dépression a été de 145° F., si l'on cherchait la température de l'air par les formules , on aurait les nombres suivans :

Leslie 6,53 X 96 -*- 145 = 772° F.

Gay-Lussac 6,53 X 95,7 -*- 145 = 770

Hudson 487 -+■ 145 = 682

Apjohn \ 6,531 X 87 + 145 = 713

Prinsep 6,53 X 84 -♦- 145 = 693

■ATfltMATIQCE ET PHYSIQUE. 107

Or cette température , qui faisait bouillir le mercure et fondait le plomb, devait être un peu au-dessus de 600° F.; aussi l'auteur pense-t-il qu'au lieu de 84 , on pourrait prendre 80 pour multiplicateur, et dire que la tension aqueuse, à la température du thermomètre mouillé , égale la 80e partie de l'abaissement.

M. Prinsep dirige ensuite ses recherches sur les degrés hygrométriques intermédiaires entre l'extrême sécheresse et la saturation. Il présente le tableau des expériences faites à Calcutta par la méthode dite dew point, c'est-à-dire , le degré de refroidissement nécessaire au dépôt de la rosée sur l'instrument. Il profita de l'importation de la glace d'Amérique, pour faire ces essais dans la saison la plus chaude de l'année , et trois fois par jour.

Une autre série d'expériences fut entreprise avec de l'air partiellement desséché, et dont le point d'humidité était exactement mesuré par un hygromètre à cheveu.

Enfin, un troisième tableau, introduit dans le mémoire, présente la comparaison des moyennes mensuelles des abaissemens du thermomètre à boule mouillée et de l'hygromètre à cheveu , pendant trois ans a Calcutta. Il en résulte , en moyenne générale , qu'à la température de 81°,2 F. (27°,3 cent.), prise à dix heures du matin , la tension de la vapeur aqueuse indiquée par le thermomètre était de 0°,71 , et par l'hygromètre à cheveu de 0°,72, et qu'à 83°,8 F. (28°,7 cent.), les deux instruraens sont d'accord et donnent le chiffre 0°,63. Cette partie du travail est terminée par un tableau indiquant la quantité totale d'évaporatioh de l'eau à Bénarès, par jour, par mois et par année, comparée aux indications que donnerait la règle suivante que M. P. propose pour la trouver : multipliez la tension aqueuse à la température du thermomètre à boule mouillée , par l'abaissement observé, et divisez par 34. L'évaporation observée est 0,179 pouces par jour (64 pieds , 4 pouces par année) ; calculée , elle est 0,186 p. par jour.

L'auteur recherche ensuite l'influence de la pression atmosphérique sur l'abaissement du thermomètre mouillé. Dans ces expériences, il modifia l'appareil décrit , de manière à soumettre le thermomètre à un courant d'air entièrement sec , mais dont la

pression était diminuée à un degré connu, au moyen d'une pompe pneumatique. Par ce moyen , il suffit de porter la pression à 7 1/2 pouces , pour déterminer la congélation de l'eau ; tandis que le thermomètre sec , qui n'en était éloigné que d'un pouce, marquait 92° F. (33°,3 cent.); et pourtant il est très-difficile aux Indes de geler l'eau, même avec un vide parfait, lorsque l'air n'est pas renouvelé. Il se forme alors une couche d'air humide qui arrête l'évaporation. Ce fait indique un moyen de modifier utilement, pour ce pays, l'appareil de Leslie pour la fabrication de la glace, qui, introduit tel qu'il est employé en Europe , y a mal réussi. Il résulte des séries d'expériences dont M. Prinsep donne les tableaux , que l'abaissement du thermomètre à boule mouillée , toutes choses égales d'ailleurs , varie inversement comme la pression barométrique.

La même règle se trouva confirmée , lorsqu'au moyen d'une pompe foulante , la pression de l'air fut augmentée jusqu'à soutenir^ 42 pouces de mercure.

L'abaissement de l'hygromètre à évaporation dans des gaz différens de l'air, pouvait donner les moyens de décider la question , si controversée en physique , de la capacité relative des gaz pour la chaleur, puisque la théorie de cet instrument est uniquement fondée sur le rapport des chaleurs spécifiques de l'eau , de la vapeur et de l'air.

La formule de M. Gay-Lussac indique que l'abaissement varie précisément dans la proportion inverse de la capacité de l'air pour la chaleur. L'auteur choisit deux gaz , l'hydrogène et l'acide carbonique, et procéda comme pour l'air et aux mêmes températures. Avec l'hydrogène , le résultat obtenu dans quatre séries d'expériences fut, qu'il produit un abaissement moindre que l'air, dans le rapport de 82 à 100, et la conséquence devrait être que la chaleur spécifique de ce gaz serait de 1 ,22 , celle de l'air atmosphérique étant 1 . Pour l'acide carbonique , des essais semblables ont donné le rapport de 94 à 100 , d'où sa chaleur spécifique devrait être de 1,06. L'auteur n'admet lui-même qu'avec défiance des résultats si opposés aux travaux d'autres physiciens, et la circonstance que les deux gaz , si différens d'ailleurs , pré-

senteraieiit tous deux des chaleurs spécifiques supérieures à celle de l'air, lui paraît comme à nous une induction défavorable à l'exactitude de ses conclusions. La méthode d'ailleurs peut être utilement appliquée à des recherches de ce genre , puisque l'opinion que tous les gaz ont la même chaleur spécifique , n'est pas , comme Ton sait , encore admise par tout le monde.

M. Prinsep termine ce long et important travail par quelques applications pratiques. M* le baron Hugel remarqua que près de Cachemire, la glace se formait, le thermomètre étant à 44° F. (6°,6 cent.) à la hauteur de 15,000 pieds, d'où il concluait que le point de congélation s'élevait à mesure que celui d'ébullition baissait. Ce paradoxe est expliqué. L'air toujours fort sec dans ces latitudes , le devient encore plus sur les montagnes , et en même temps l'abaissement par l'évaporation augmente. Un fait semblable a été observé par M. De Saussure sur le Mont-Blanc. En faisant tourner un thermomètre mouillé , il a obtenu un refroidissement de 0°,3 cent, au-dessous de la température de l'air, qui était à 10°,1. Ainsi, dit l'illustre physicien, l'évaporation peut concourir avec le rayonnement pour déterminer la congélation de l'eau à la surface de la terre , dans un air dont la température serait de plusieurs degrés au-dessus de zéro.

La formation de la grêle s'explique par les mêmes principes. Les gouttes d'eau, passant au travers d'une couche d'air sec sous une faible pression , s'y gèlent , fût-il plus chaud que le nuage qu'elles ont quitté, et doivent même prendre une température au-dessous de 0°, puisqu'elles augmentent de volume en passant dans les couches inférieures. On remarque, en effet , rarement de la grêle dans les temps humides.

L'augmentation des gouttes de pluie dans leur descente des nuages est clairement l'effet du dépôt d'eau formé à leur surface, dans les couches atmosphériques refroidies au-dessous du point où la rosée paraît. Enfin Perkins a remarqué que lorsqu'on jette de l'eau sur un métal chauffé au-dessous du rouge visible , elle se réduit en vapeur avec explosion ; mais qu'au contraire , placée sur du fer, de l'or ou de l'argent chauffés beaucoup plus fortement , il lui faut beaucoup de temps pour s'évaporer. Cela sem-

Lierait prouver qu'à environ 1200° F. (666° cent.) le point d'évaporation s'élève graduellement jusqu'à 212° F. (100° cent.), mais qu'au delà il devient négatif, ou que l'abaissement devient si grand qu'il la fait revenir au-dessous du point d'éhullition. Cette explication est du moins plus naturelle que celle de Perkins , qui admet que l'énorme pression exercée à la surface du liquide en empêche l'évaporation.

P. S. Dans un supplément à son mémoire, publié en décembre 1836, dans le même journal , M. Prinsep annonce avoir répété sur l'oxigène les mêmes expériences que celles pour l'hydrogène et l'acide carbonique, que nous avons analysées. D'après les résultats qu'il a obtenus , la chaleur spécifique de ce gaz ne différerait pas sensiblement de celle de l'air atmosphérique. Il en découle nécessairement que l'azote a aussi la même chaleur spécifique , puisque le mélange de ce gaz avec l'oxigène , qui constitue l'air atmosphérique, n'apporte sous ce rapport aucun changement. (Asiatical journ, juillet 1836, et Bibliothèque univ., sept. 1837.)

Sur les causes des trombes ; par le docteur H are.

L'auteur ayant visité , près de New-Brunswick , les localités qu'une trombe avait dévastées en juillet 1836, recueillit beaucoup d'observations précises sur les effets qu'elle avait produits. Il pense que jamais autant d'exactitude n'a été apportée dans de semblables investigations , sur la marche et les effets de ces terribles phénomènes. Les causes apparentes des changemens produits sur les corps mobiles, paraissent être un courant vertical au centre ou axe de la trombe , et une forte attraction de l'air extérieur vers ce centre lui-même. Des arbres paraissent avoir été renversés à l'approche de la tourmente , soit directement en avant ou de chaque côté, les uns tombaient à angles droits, d'autres obliquement avec sa direction. Le temps nécessaire à leur chute était déterminé par la force de leurs racines et la protection occasionnelle qu'ils pouvaient recevoir d'objets environnans, comme

des maisons, par exemple. Mais ils tombaient tous vers le point occupé par l'axe de la trombe au moment où its étaient déracinés. Ce fait démontre l'existence d'un courant convergeant en tous sens vers le centre ; celle du courant vertical est prouvée par le transport à d'énormes distances de corps légers et de débris de bâtiraens et d'arbres. Ainsi , un sac de femme fut porté à sept milles de New-Brunswick , et une lettre à vingt milles. Une poutre de dimensions assez considérables, arrachée au toit d'une église , fut transportée à un quart de mille et laissée sur des arbres au delà du fleuve Raritan.

D'après ces faits , l'auteur pense que les trombes sont l'effet d'un courant d'air électrisé , dépassant les moyens ordinaires de décharge entre la terre et les nuages par ces étincelles que l'on appelle éclairs. Il lui semble que le résultat inévitable d'un tel courant serait de soulever dans sa sphère d'action le poids de l'atmosphère , et ainsi de permettre à l'air, obéissant à son élasticité, de se précipiter dans le vide produit.

Toutes les fois que l'électricité est produite en assez grande abondance pour donner une succession d'étincelles , il doit pouvoir se former un courant dans des circonstances favorables, et les corps légers placés sur une des surfaces électrisées peuvent être attirés plus ou moins par l'autre.

Les phénomènes de l'éclair et du tonnerre sont la conséquence de décharges électriques entre la terre et les nuages , présentant en grand les apparences d'une bouteille de Leyde. Or, il est bien reconnu que l'éclair ou l'étincelle peuvent être remplacés par on courant 9 et c'est sur ce principe que sont établis les paratonnerres.

. Une cause d'augmentation de l'effet produit par la trombe est l'état habituel de contraction des couches inférieures de l'atmosphère , qui , étant soudainement délivrées de la pression de l'air supérieur, se dilatent avec une sorte de violence explosive. On a la preuve de ce fait dans la destruction des maisons situées sur le passage de la trombe , et dont les murs ont été renversés en dehors et les toits emportés par la subite dilatation de l'air qu'elles contenaient. En même temps l'afflux de l'air extérieur,

lia C0BBE8P0WDAP1CE

pour remplir le vide , renverse en sens opposé les arbres et autres objets de tous les côtés de l'espace occupé par la trombe.

La trombe qui donna lieu à ces remarques éclata en juin 1836, à environ sept milles et demi de New-Brunswick (New-Jersey), et avec une vitesse de vingt-cinq à trente milles à l'heure , se termina à Àmboy , à dix-sept milles et demi de son origine. Elle avait l'apparence d'un cône renversé, dont la base était dans les nuages et le sommet sur la terre. Elle renversa ou emporta tous les objets qui se trouvèrent sur l'espace de 300 à 600 pieds qu'elle occupait. Les arbres qui se trouvaient sur son axe étaient renversés dans une direction parallèle à la sienne, ceux qui étaient d'un et d'autre côté étaient au contraire toujours dirigés vers un point qui avait été dans l'axe, quelques maisons ont comme éclaté, et leurs murs ont été renversés en dehors ; d'autres perdirent leurs toits et même leurs planchers. La tourmente ne restait que quelques secondes dans le même lieu ; une ferme fut entièrement détruite et dévastée et tous les arbres renversés, tandis que le fermier traversait sa cour. Le phénomène était accompagné d'un bruit terrible , semblable à celui d'une multitude de chars pesamment chargés. Tous les objets qui se trouvaient sur son passage étaient couverts de boue du côté tourné vers le lieu d'où venait la trombe.

Le tonnerre et lés éclairs l'accompagnaient dans quatre lieux différens , tous les arbres étaient couchés, avec leurs extrémités supérieures dirigées vers un centre commun. Une maison qui se trouvait à l'un de ces centres, a été dépouillée de son toit, et toutes les vitres ont été brisées , la plupart des morceaux de verre étant lancés au dehors.

La hauteur apparente de la trombe était d'environ un mille. — Un fait remarquable observé pendant la tourmente ou immédiament après , fut l'apparence flétrie que présentait le feuillage de ces petits arbres ou arbrisseaux qui, en vertu de leur flexibilité ne furent , comme le roseau de la fable , ni renversés , ni déracinés. Chaque feuille était en partie flétrie , ce qui parait une confirmation de la supposition que l'électricité était la cause de la trombe et produisait cet effet particulier.

MATHÊHATTQUB ET PHYSIQUE. 113

Tons les faits ont concouru à démontrer l'existence d'un mouvement convergeant de toutes les directions vers le centre de la trombe, en même temps que celle d'un mouvement en haut vers le milieu. L'auteur, passant en revue les opinions des physiciens sur l'origine des trombes, croît être le premier qui , en l'attribuant à l'électricité, ait donné une idée du mode spécial d'action de ce puissant agent dans ce terrible phénomène. {American Journal, avril 1837, et Bibliothèque universelle, septembre 1837).

Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement, par P.-F. Verhclst.

On sait que le célèbre Malthus a établi comme principe que la population humaine tend à croître en progression géométrique , de manière à se doubler après une certaine période , par exemple , tous les vingt-cinq ans. Cette proposition est incontestable , si l'on fait abstraction de la difficulté toujours croissante de se procurer des subsistances lorsque la population a acquis un certain degré d'agglomération , ou des ressources que la population puise dans son accroissement , même lorsque la société est encore naissante , telles qu'une plus grande division du travail , l'existence d'un gouvernement régulier et de moyens de défense qui assurent la tranquillité publique , etc.

En effet, toutes choses égales d'ailleurs, si mille âmes sont devenues deux mille après vingt-cinq ans , ces deux mille deviendront quatre mille après le même laps de temps.

Dans nos vieilles sociétés européennes, où les bonnes terres sont cultivées depuis long-temps , le travail employé à bonifier un terrain déjà en culture, ne peut ajouter à ses produits que des quantités sans cesse décroissantes ; en admettant que , dans les premiers vingt-cinq ans , on ait doublé le produit du sol , dans la seconde période à peine parviendra-t-on peut-être à lui faire produire un tiers en sus. L'accroissement virtuel de la population trouve donc une limite dans l'étendue et la fertilité du pays , et la population tend , par conséquent , de plus en plus à devenir stationnaire.

Tom, X. 8

114 GOUHESPOKDANCK

II n'en est pas de même dans certaine cas , parement exceptionnels à la vérité; par exemple, lorsqu'un peuple civilisé cultive un territoire fertile, jusqu'alors sans habitans, ou lorsqu'il exerce une industrie qui donne de grands bénéfices temporaires. Une famille nombreuse devient alors une richesse et la seconde génération trouve plus facilement à s'établir que la première , parce qu'elle n'a pas comme elle à lutter contre les obstacles que l'état sauvage de la terre offrait aux premiers colons.

Pour juger de la vitesse avec laquelle la population croît dans un pays donné , il faut diviser l'accroissement de la population de chaque année par la population qui l'a fourni. Ce rapport étant indépendant de la grandeur absolue de la population , peut être regardé comme la mesure de cette vitesse* S'il est constant , la population croît en progression géométrique ; s'il est croissant, la progression est plus que géométrique , et moins que géométrique s'il est décroissant.

On peut faire diverses hypothèses sur la résistance ou la somme des obstacles opposés au développement indéfini de la population. M. Quetelet la suppose proportionnelle au carré de la vitesse avec laquelle la population tend à croître (*.

C'est assimiler le mouvement de la population à celui d'un mobile qui tombe en traversant un milieu résistant. Les résultats de cette comparaison s'accordent, d'une manière satisfaisante , avec les données de la statistique et avec ceux que j'ai obtenus par mes propres formules, quand on suppose aux couches du milieu traversé, une densité indéfiniment croissante.

L'accroissement de la population a nécessairement une limite , ne fût-ce que dans l'étendue du sol indispensable pour le logement de cette population. Quand une nation a consommé tous les fruits de ses champs, elle peut à la vérité se procurer des subsistances du dehors par l'échange de ses autres produits, et supporter ainsi un nouvel accroissement de population. Mais il

l) Essai de physique sociale , tome Ier, p. 277.

MATHÉMATIQUE ET PBY8IQCB. 115

est évident que ces importations doivent avoir des bornes , et s'arrêter long-temps même avant que la surface entière du pays soit convertie en villes. Toutes les formules par lesquelles on essaiera de représenter la loi de la population, doivent donc satisfaire à la condition d'admettre un maximum qui ne soit atteint qu'à une époque infiniment éloignée. Ce maximum sera le chiffre de la population devenue stationnaire.

J'ai tenté depuis long-temps de déterminer par l'analyse , la loi probable de la population; mais j'ai abandonné ce genre de recherches, parce que les données de l'observation sont trop peu nombreuses pour que les formules puissent être vérifiées, de manière à ne pas laisser de doute sur leur exactitude. Cependant, comme la marche que j'ai suivie me parait devoir conduire nécessairement à la connaissance de la véritable loi , quand on aura des données suffisantes, et que les résultats auxquels je suis parvenu peuvent offrir de l'intérêt, au moins comme objet de spéculation , j'ai cru devoir céder à l'invitation de M. Quetelet, et les livrer au public*

Soit p la population : représentons par dp l'accroissement infiniment petit qu'elle reçoit pendant un temps infiniment court cft. Si la population croissait en progression géométrique, nous aurions l'équation ~ s mp. Mais comme la vitesse d'accroissement de la population est retardée par l'augmentation même du nombre des habitons , nous devrons retrancher de mp une fonction inconnue de p; de manière que la formule à intégrer deviendra

— a mp — ?{p).

L'hypothèse la plus simple que l'on puisse faire sur la forme de la fonction p, est de supposer ? (p) = np*. On trouve alors pour intégrale de l'équation ci-dessus

t = — [log. p — log. (m — np)"\ «+• constante , m

et il suffira de trois observations pour déterminer les deux

coefficiens constans m et n et la constante arbitraire.

En résolvant la dernière équation par rapport à p , il vient

mp' emt

np' emt -+- m — np'

en désignant par p' la population qui répond à t = o , et par e la base des logarithmes népériens. Si l'on fait f =co , on voit que la valeur de p correspondante est P = - . Telle est donc la limite supérieure de la population.

Au lieu de supposer yp = np* , on peut prendre yp = np^^ a étant quelconque, ou yp=n log. p. Toutes ces hypothèses sa* tisfont également bien aux faits observés ; mais elles donnent des valeurs très-différentes pour la limite supérieure delà population.

J'ai supposé successivement

fpn *p% yp = np\ yp=np*,yp = n log. p;

et les différences entre les populations calculées et celles que fournit l'observation ont été sensiblement les mêmes.

Lorsque la population croit en progression plus que géométrique, le terme — yp devient -+- yp; l'équation différentielle s'intègre alors comme dans les cas précédens , mais on conçoit qu'il ne peut plus y avoir de population maxima.

J'ai calculé les tableaux qui suivent d'après la formule (1). Les chiffres pour la France , la Belgique et le comté d'Essex avaient été puisés dans les documens officiels. Ceux qui concernent la Russie se trouvent dans l'ouvrage du Dr Sadler, Law of population, et je ne puis en garantir l'authenticité, ignorant de quelle manière ils ont été relevés. J'aurais pu étendre les tableaux pour la France et la Belgique jusqu'à 1837, au moyen des Annuaires publiés dans ces deux pays depuis 1833 , et vérifier ainsi ma formule ; mais mes occupations ne m'en ont pas laissé le loisir. Mon travail était terminé en 1833, et je n'y ai plus touché depuis.

Je ferai remarquer en passant que le tableau qui concerne la France semble annoncer que la formule est d'autant plus exacte , que les observations portent sur de plus grands nombres et ont été faites avec plus de soin. Au reste l'avenir seul pourra nous dévoiler le véritable mode d'action de la force retardatrice que nous avons représentée par yp.

HATDÊHATIQVB ET PHYSIQUE.

No l.

Tableau des progrès de la population de la France depuis 1817 jusqu'à 1831 , d'après V Annuaire pour 1834*

AimÉES.

d'apbbs l'état ctyil.

S'AJ&Efl LA POIMULI.

EABEUR

proportion1*.

Logarithmes

de la population

calculée.

l'janv.

(Chiffre du recens1.)

No a.

C0RRE8P0NDAHCB

Population de la Belgique.

AIÏHÊES.

d'après l'état civil.

d'après la formule.