SOCIÉTÉ BELGE DE LIBRAIRIE

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Sur la doctrine des porismes d'Euclide, par M. Chaslis, ancien élève de l'école polytechnique.

Le t. XI des Mémoires couronnés par l'Académie de Bruxelles , qui Tient de paraître , est tout entier consacré à un ouvrage de M. Chastes , qui a pour titre : aperçu historique sur V origine et le développement des méthodes en Géométrie , particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne; suivi d'un Mémoire de Géométrie sur deux principes généraux de la science , ia Dualité et V Homographie (in4°, 880 pages) (t.

l) Cet ouvrage important renferme, sans contredit, l'exposition la plus complète et la plus approfondie de l'histoire de la géométrie ancienne et moderne. Les différentes méthodes qui ont été successivement employées en géométrie, y sont examinées et discutées sous un point de vue philosophique qui répand un nouveau jour «ur cette branche aujourd'hui trop négligée des mathématiques , malgré les heureux efforts de quelques sa- Tans d'un haut mérite, parmi lesquels M. Chastes a su se placer depuis long-temps L'auteur a présenté, à la fin de son travail , la démonstration de deux principes généraux que l'on peut considérer comme la base de la géométrie actuelle, ou plutôt comme les sources d'où l'on déduirait en général ce que nous connaissons relativement aux propriétés de l'étendue. Ton. X. 1

2 COBR1SPON0ANCS

Cet ouvrage contient, à la suite de la partie historique, plusieurs notes, dont les unes sont destinées au développement de certains passages que l'auteur a dû traiter brièvement dans le cours du discours , et dont les autres sont le fruit de ses propres recherches sur différentes parties de la géométrie. L'une de ces notes est consacrée à la doctrine des porismes d'Euclide. M. Chasles nous paraît y avoir émis des idées nouvelles , et avoir répandu quelque jour sur cette grande question qui n'a point été complètement résolue par R. Simson, et qui occupe encore les géomètres de nos jours. Nous allons extraire de son ouvrage ce qui s'y rapporte ; le point de vue sous lequel il envisage le Traité d'Euclide, et dont il promet de faire l'application aux énoncés de porismes laissés par Pappus, pour en rétablir le sens, pourra provoquer d'autres travaux qui hâteront la solution de cette question énigmatique.

Sur les Porismes.

« D'après la préface du 7e livre des collections mathématiques de Pappus, il paraît que ce traité des porismes brillait d'un génie pénétrant et profond \ et qu'il était éminemment utile pour la résolution des problèmes les plus compliqués. {Collectio artificiosissima muliarum rerum, quœ spectant ad analysin difficiliorum et gèneralium problematum.) Trente-huit lemmes , que ce savant commentateur nous a laissés pour l'intelligence de ces porismes 9 nous prouvent qu'ils formaient un ensemble de propriétés de la ligne droite et du cercle, de la nature de celles que nous fournit, dans la géométrie récente, la théorie des transversales.

Pappus et Proclus sont les seuls géomètres de l'antiquité qui aient fait mention des porismes ; mais déjà, au temps du premier, la signification de ce mot s'était altérée, et les définitions qu'il nous en donne sont obscures* Celle de Proclus n'est pas propre à éclaircir les premières. Aussi 9 ça été une grande question parmi les modernes , de savoir la nuance précise que tes anciens avaient établie entre les théorèmes et les problèmes d'une part , et ce troisième genre de propositions , appelées porismes , qui

MATBttfàTIQUl ET PHYSIQUE. S

participaient, à ce qu'il parait, des uns et des autres ; et de savoir particulièrement ce qu'étaient les porismes d'Euclide.

Pappus, il est vrai, nous a transmis les énoncés de trente propositions appartenant à ces portâmes, mais ces énoncés sont si succincts, et sont devenus si défectueux par des lacunes et l'absence des figures qui s'y rapportaient , que le célèbre Halley, si profondément versé dans la géométrie ancienne , a confessé n'y rien comprendre (* , et que , jusque vers le milieu du siècle dernier , bien que des géomètres d'un grand mérite aient fait de cette matière l'objet de leurs méditations , aucun énoncé n'avait encore été rétabli.

Ce fut R. Simeon, qui eut la gloire de découvrir la signification de plusieurs de ees énigmes , ainsi que la forme des énoncés qui était propre à ce genre de propositions.

Voici le sens de la définition que ce géomètre a donnée des portâmes :

Le porisme est une proposition dans laquelle on annonce pouvoir déterminer, et où l'on détermine effectivement certaines choses, ayant une relation indiquée , avec des choses fiscs et connues , et avec d'autres choses variables à l'infini; celles-ci étant liées entre elles par une ou plusieurs relations connues, qui établissent la loi de variation à laquelle elles sont soumises.

Exemple : Étant donnés deux axes fixes , si de chaque point d'une droite on abaisse des perpendiculaires p,q, sur ces deux axes, on pourra trouver une longueur de ligne a, et une rai* son a. , telles que Ton ait entre ces denx perpendiculaires la relation constante ^^ = *.

(Ou , suivant le style ancien , la première perpendiculaire sera plus grande a l'égard de la seconde <T une donnée qu'en raison.)

Ici , les choses fixes données sont les deux axes ; les choses variables sont les perpendiculaires p, q; la loi commune a la-

*) Hôte de Balley, à la suite du texte de Pappus sur les pommes , reproduit avec la préface du 7« livra des collections mathématiques , au comneocement du traité AApolhniusT}* sicnosi ratiohii , in-4», 1700.

quelle ces deux choses variables sont assujetties, est que le point variable , d'où ces perpendiculaires sont abaissées , appartient à une droite donnée ; enfin , les choses à trouver sont la ligne « et la raison a, qui établiront entre les choses fixes et les choses variables de la question la relation prescrite.

Cet exemple suffit pour faire comprendre la nature dçs porisraes, comme Ta conçue M. Simson , dont l'opinion a été généralement adoptée depuis.

Cependant nous devons ajouter que tous les géomètres n'ont pas reconnu , dans l'ouvrage de Simson , la vraie divination de celui d'Euclide. Pour nous , en adoptant le sentiment du célèbre professeur de Glasgow , nous dirons pourtant que nous ne trouvons pas, dans son travail , la divination complète de la grande énigme des porismes. Cette question, en effet, était complexe , et ses différentes parties exigeaient toutes une solution que l'on cherche en vain dans le traité de Simson*

Ainsi l'on devait se demander :

1° Quelle était la forme des énoncés des porismes ;

2° Quelles étaient les propositions qui entraient dans l'ouvrage d'Euclide ; notamment celles dont l'indication , très-imparfaite, nous est laissée par Pappus;

3° Quelle a été l'intention et le but philosophique d'Euclide , en composant cet ouvrage dans une forme inusitée;

4° Sous quels rapports il méritait l'éminente distinction qu'en fait Pappus, parmi les autres ouvrages de l'antiquité; car la forme seule de l'énoncé d'un théorème n'en constitue pas le mérite ni l'utilité ;

5° Quelles sont les méthodes , ou les opérations actuelles qui se rapprochent le plus, sous une autre forme , des porismes d'Euclide, et qui les suppléent dans la résolution des problèmes ; car on ne peut croire qu'une doctrine aussi belle et aussi féconde ait disparu complètement de la science des géomètres ;

6° Et enfin, il y aurait à donner une interprétation satisfaisante de différens passages de Pappus sur ces porismes ; par exemple, de celui où il dit que les modernes ne pouvant tout trouver par eux-mêmes , ou , en quelque sorte , porismer complètement , ont

■AtatKàTIQlIB 1T PHYSIQUE. 8

changé la signification du mot ; car si le porisme n'avait consisté que dans la forme de son énoncé , comme il semble résulter du traité de R. Simson , il aurait toujours été facile de porismer toutes les propositions qui en auraient été susceptibles , et on ne voit pas pourquoi les modernes y auraient trouvé des difficultés qui leur auraient fait changer la signification du mot.

Nous dirons , en un mot , que la doctrine des porisraes, son origine, ou la pensée philosophique qui Ta créée, sa destination , ses usages, ses applications et sa transformation dans les doctrines modernes , sont autant de mystères , qui ne nous sont pas dévoilés dans le Traité de Simson. Ajoutons que nous n'y trouvons rétablis que six des trente propositions énoncées par Pappus.

Un certain nuage nous a donc semblé couvrir encore cette grande question que nous a léguée l'antiquité ; à moins que d'antres écrits , qui nous seraient inconnus , ne soient venus depuis l'éclairer d'un plus grand jour , ou bien que notre faible intelligence n'ait pas compris l'ouvrage du célèbre Simson.

Ces réflexions nous ont long-temps préoccupé, et détourné souvent de l'étude à laquelle nous aurions voulu nous livrer ; car l'intérêt que le sujet est de nature à inspirer, était plus puissant que notre volonté* Nous avons été conduit de la sorte à for* mer quelques conjectures sur cette doctrine des porismes , et à rétablir les 24 énoncés de Pappus , qui ont été laissés intacts par Simson. Nous allons présenter succinctement une analyse de notre travail , en réclamant l'indulgence du lecteur , car nous n'abordons une telle question , qui a excité la curiosité de grands géomètres , qu'avec la timidité et la défiance que doit nous inspirer le sentiment de notre faiblesse.

Faute de docuraens suffisans pour rétablir par la voie analytique la doctrine complète des porismes, il faut , en quelque sorte, recomposer cette doctrine à priori, par la pure synthèse. C'est un système qu'il faut former , et soumettre à toutes les questions et aux épreuves auxquelles peuvent donner lieu les fragmens qui nous restent.

La conception des porismes nous paraît dériver de celle des données; et telle a été , selon nous , son origine dans l'esprit à'Euclide.

Les poriêmeê étaient par rapport ans propositions locales, ce que les données étaient par rapport aux simples théorèmes des élément.

De sorte que les portâmes formaient arec les données an complément des élément de Géométrie, propre à faciliter les usages de ces élément pour la résolution des problèmes ('.

Sons ce point de vue , la destination spéciale des portâmes était de procurer la connaissance des liens ; en offrant les moyens de tirer des conditions par lesquelles un lieu inconnu était déterminé, une autre expression plus simple de ce lieu, propre à en faire connaître la nature et la position.

Par exemple, si on demande un point dont les carrés des distances à deux points fixes , multipliés respectivement par deux constantes , aient leur somme constante , on démontrera qu'il existe un certain point fixe tel que la distance de chaque point cherché à ce point fixe sera constante , et l'on déterminera par les seules données de la question la position de ce point fixe et cette distance constante.

Ce sera là un porisme, et ce porisrae fera voir que le lieu du point cherché est une circonférence de cercle.

Cet exemple montre quel a été l'usage des porismes. Nous dirons dono qu'un recueil de porismes était un tableau de diverses propriétés ou expressions différentes des courbes (droites et circu-

0 Ici nous hasarderont une réflexion que nous n'avons pas osé nous permettre en parlant du livre des donnais d'Euclide.

Dans les énoncés de porismes laissés par Pappus, bien qu'il soit difficile d'en deviner le sens, on reoonnait cependant que, dans ces sortes de propositions, il y a quelque chose à trouver; et Pappus désigne cette chose oherohée par le mot donné, comme a fait Euclide dans le livre des Données, et il applique en même temps le même mot à chacune des choses données par l'hypothèse de la question. Les énoncés de Pappus auraient été plus intelligibles s'il n'avait désigné que celles-ci par le mot donné, et les autres, c'est-à-dire celles qu'il faut trouver , par le mot déterminé.

Cette observation s'applique au livre des Donnais tf Euclide ; mais c'est surtout en m'occupent de la divination des porismes , que les inconvénient d'un même mot pour deux choses différentes m'ont paru sensibles.

{Note de l'auteur.)

laires seulement dans le traité d' Euclide) , et que ce tableau présentait les transformations de ces propriétés les ânes dans les antres.

De sorte que les porismes , dans l'esprit d'Euclide , étaient , en quelque sorte , les équations des courbes.

Ils donnaient la facilité et l'art de changer de coordonnées (eu comprenant sous ce mot , toute» les manières possibles d'exprimer une courbe par deux ou plusieurs variables).

La doctrine des porismes était donc la Géométrie analytique des anciens : et peut-être , si elle nous était parvenue , y trouverait-on le germe de la doctrine de Descarte»; nous croyons au moins que l'équation de la ligne droite (abstraction faite de la forme algébrique sous laquelle nous l'employons) , a fait partie des porismes mêmes d'Euclide; et c'est pour cela, que nous l'avons choisie pour exemple de porisme dans le texte du discours. Nous appuierons cette opinion de plusieurs preuves, dans un autre moment. Et si ces premières conjectures ne paraissent pas dépourvues de toute vraisemblance , nous ajouterons qu'il n'a manqué à Euclide que l'usage de l'algèbre pour créer les systèmes de coordonnées qui datent de Descartes.

Voici quelle est la question générale à laquelle il nous semble qu' Euclide a pu destiner ses porismes :

« Un lieu étant déterminé par une construction commune à tous ses points , ou par un certain système de coordonnées, trouver une autre construction , ou un autre système de coordonnées qui satisfasse à tous les points de ce lieu , et qui en fasse connaître la nature et la position. »

D'après l'énoncé de cette question générale , l'objet des porismes aurait été de faciliter les changera en s de construction des lieux , ou les cbangeraens de coordonnées propres à tous leurs points ; et le traité d'Euclide aurait été une collection de formules propres à remplir ce but.

Ces changemens de construction , en effet , et ces transformations de coordonnées étaient les seuls moyens que la géométrie , chei les anciens, pût employer pour étudier les courbes qui ie présentaient dans leurs spéculations , et pour s'en servir dans la résolution des problèmes.

8 coebespoudance

Proclus a donc raison de dire qu'il s'agit , dans les porismes , de l'invention d'une chose, que l'on ne recherche ei que l'on ne considère point pour elle-même.

En effet , ces nouveaux modes de construction , ces nouvelles coordonnées , que l'on cherche , ne sont que des auxiliaires qui ne doivent servir qu'a l'étude et à la contemplation de la courbe sur laquelle on opère»

Les porismes renfermés dans les trois livre» à'Euclide étaient un recueil de formules propres à la construction des lieux à la droite, au point et au cercle. C'étaient les manières connues alors, ou inventées par Euclide, pou? exprimer par deux coordonnées , liées entre elles par une certaine relation , les descriptions diverses de ces trois lieux , et pour passer de l'une de ees descriptions à une autre.

Cela avait pour objet de ramener à une même description , ou à un même système de coordonnées , les différentes parties d'une figure qui, par les hypothèses de la question, étaient produites par des descriptions ou des coordonnées différentes. Opération en quelque sorte analogue à la réduction de plusieurs fractions numériques ou littérales à un même dénominateur. Opération du reste , dont l'utilité doit être bien sentie des géomètres modernes qui la pratiquent journellement dans toutes les parties des mathématiques , en se servant de différons modes de coordonnées auxiliaires, et en les transformant les unes dans les autres, suivant les besoins de la question.

Nous allons peut-être mieux faire comprendre l'usage des porismes , par un autre rapprochement avec les méthodes modernes.

Les anciens n'avaient pas, comme nous avons depuis Descartes , des termes de comparaison entre les lieux auxquels ils étaient conduits dans leurs recherches géométriques. Pour nous , il suffit d'exprimer un lieu en coordonnées ordinaires ; et nous en savons immédiatement la nature : la discussion de son équation nous apprend ensuite les affections et les circonstances singulières de ce lieu , et le rang qu'il occupe , comme variété , dans la famille à laquelle il appartient. Ainsi l'équation du lieu , dans

HATBftHATIQCB ET PHYSIQUE. 9

la doctrine de Deecartee, est en quelque sorte l'expérimentation unique à laquelle il nous suffit de le soumettre , pour en connaître la nature , la position et les rapports avec les antres lieux connus.

Les anciens , au contraire , ne possédaient pas un tel procédé général et uniforme d'investigation : et n'ayant pas un terme unique de comparaison , ils ont dû inventer divers moyens auxiliaires pour arriver à reconnaître les rapports d'un lieu , qui se présentait pour la première fois , avec les autres lieux déjà connus. Ces moyens ne pouvaient être que des changeraens de description ou de coordonnées du lieu , pour parvenir à quelques rapports assez simples , et même d'identité, avec les modes de description des lieux connus.

Telle est l'origine de leurs porismes. Ils avaient pour objet de substituer à une expression géométrique ou analytique d'un lieu, une autre expression , géométrique ou analytique du même lieu.

Ces considérations montrent les rapports qui existent entre la doctrine des porismes et nos méthodes modernes ; elles font voir aussi combien ces porismes devaient être utiles; car, envisagés de la sorte , ils formaient véritablement une Géométrie analytique, qui ne différait de la nôtre que par les symboles et les procédés de l'algèbre, que Descartes a la gloire d'y avoir introduits. Ainsi ces porismes suppléaient , chez les anciens , notre analyse moderne, qui les a remplacés à notre insu. Mais il est fort remarquable que la chose n'a fait que changer de nom ; car l'analyse de Descartes ne présente elle-même , dans ses applications , qu'un porisme continuel , mais toujours d'une même nature , et d'une forme convenue , qui est très-propre aux usages auxquels nous l'employons. Car cette analyse a pour but, comme la doctrine des porismes d'Euclide , de tirer des conditions d'un lieu , une expression nouvelle de ce lieu , qui nous soit connue , et qui, par ses rapports avec certains termes de comparaison , nous fasse connaître la nature et la position de ce lieu.

Par exemple , qu'on demande de trouver un point tel que le carré de sa distance è un point fixe, soit dans un rapport donné avec la distance de ce point à une droite fixe.

10 CORRESPOND kJUCM

En prenant dans le plan de la figure deux axes rectangulaires , et en appelant xety les distances du point cherché à ces deux axes , on trouve entre ces variables une relation de la forme :

** ■+- ya ■+■ «* -+• by = ca ,

où a, £, c sont des coefficiens constans , composés avec les données de la question. Cette équation exprime donc ce porisme :

« On peut trouver deux lignes, a, h et un carré c% tels que les carrés des distances du point cherché , aux deux axes menés dans le plan de la figure , plus les produits de ces distances par les deux lignes a , b respectivement , forment une somme égale au carré c\ »

Ce porisme fait voir , par les élémens de la géométrie analytique , que le lieu cherché est un cercle.

Mais si ces élémens n'étaient pas formés , ou qu'on voulût s'en passer, on simplifierait l'équation ci-dessus en changeant l'origine des coordonnées , et l'on arriverait à une équation de la forme :

qui exprimerait ce second porisme :

« Il existe dans le plan de la figure un certain point, qu'on peut déterminer, et qui se trouve toujours à une même distance, qu'on peut déterminer aussi , de chacun des points cherchés. »

Ce porisme fait voir que le lieu du point cherché est un cercle, de grandeur et de position déterminées.

Ces résultats , auxquels nous sommes parvenu par la méthode des coordonnées de Descartes, auraient pu s'obtenir aussi sans calcul et d'une manière purement géométrique. Mais quelle que soit la voie que l'on suive , on voit qu'on peut les considérer comme des porismes. Et cela explique comment nous concevons que la méthode de Descartes a remplacé les porismes , en substituant, à l'aide du calcul , aux divers genres de porismes dont les anciens faisaient usage , une seule et unique formule gêné-

■ATHtlUTlÇVS BT FBTSIQOI. 11

râla qui fe prête avec une facilité merveilleute à toutes sortes de questions.

Après avoir émis les idées que nous nous sommes faites sur la doctrine des porismes , il nous faudrait les soumettre à une interprétation du texte que Pappus nous a laissé sur cette matière. Mais cette Note est déjà trop longue , et nous ne pouvons entrer ici dans de tels développemens.

Nous nous bornerons à dire qu'en prenant pour point de départ , et pour base , notre manière de concevoir la doctrine des porismes, nous avons obtenu assez naturellement une interprétation des vingt-quatre énoncés de porismes que n'a pas rétablis Simson. Nous nous sommes aidé, dans ce travail , des trente-huit lemmes de Pappus sur les porismes , et de ses propositions sur les loca plana d'Apollonius. Car les porismes d'Euclide étant des propositions locales sur la ligne droite et le cercle , nous avons pensé qu'Apollonius avait dû s'en servir pour former ses loca plana, qui, à leur tour, pourraient servir pour former un traité des porismes.

Les limites dans lesquelles nous devons nous renfermer ne nous permettent pas d'énoncer ici les porismes que nous avons trouvés comme répondant au texte de Pappus. Mais nous allons donner deux propositions très-générales qui nous ont paru comprendre, dans leurs nombreux corollaires, les quinze énoncés de Pappus j appartenant au premier livre des porismes d'Euclide, et desquelles par conséquent on pourra déduire autant de théorèmes répondant a ces énoncés. %

De ces deux propositions dérivent aussi plusieurs systèmes de coordonnées , particulièrement celui de Descaries.

Il résulte de là une véritable connexion entre les porismes d'Euclide et les systèmes de coordonnées modernes , qui sera peut-être un commencement de justification des idées que nous avons émises sur la doctrine des porismes.

Voici quelles sont les deux propositions en question ; nous les énonçons sous forme de porismes :

Premier porisme : Étant pris , dans un plan, deux points P, Pr, et deux transversales qui rencontrent la droite PPf aux points E, Ef;

et étant pris sur ces deux transversales respectivement deux points fixes, O , O* ;

Si de chaque point d'une droite donnée on mène deux droites aux points P, P', qui rencontreront respectivement les deux transversales EO %E'0' en deux points a, a';

On pourra trouver deux quantités A, /k, telles que l'on aura toujours la relation :

(l) ; E + Aiv-^-

Second porisme : Étant menées dans un plan , deux droites fixes qui se rencontrent en un point S9 et étant pris sur ces deux droites respectivement, deux points fixes O, O' ;

Si autour d'un point donné on fait tourner une transversale , qui rencontrera les deux droites fixes en deux points a,a';

On pourra trouver deux quantités A, p, telles qu'on aura toujours la relation :

(2) S -,"As7 = '"

Les réciproques de ces deux propositions sont vraies ; c'est-àdire que :

1° Quand l'équation (1) a lieu entre les segmens que les deux points variables a, a' font sur les deux droites fixes EO, E'O', les deux droites Va, Va' se croisent en un point dont le lieu est une droite déterminée par les valeurs des deux constantes A et fi.

2° Quand l'équation (2) a lieu entre les segmens que deux points variables a, a' font sur deux droites fixes SO, SO', la droite aa' passe toujours par un même point qui est déterminé par les valeurs des deux constantes A et p.

Du premier porisme et de sa réciproque , on conclut aisément ce porisme très-général qui concerne toutes les courbes géométriques :

Porisme? général. Les mêmes choses étant supposées que dans le premier porisme , si de chaque point d'une courbe géométrique don-

née on mène des droites aux deux points P, P', qui rencontreront les deux transversales fixes , aux points a , a', respectivement ;

Il existera des valeurs des ceefficiens a, G, y, <?, etc., qui satisferont à l'équation générale du degré m entre les deux rapports

Oa <©v

Ea > EV

/OaV» / OV \ /OaV»-'

etc. as O.

De là résultent une infinité de systèmes de coordonnées , propres à représenter tous les points d'une courbe ; on y trouve celui de Descartes, en supposant le point P à l'infini sur la transversale O'E', et le point P' à l'infini sur la transversale OE, et que les deux points 0, 0' soient l'un et l'autre à l'intersection des deux transversales.

Le second porisme et sa réciproque donnent pareillement lieu à un porisme très-général, qui concerne toutes les courbes géométriques ;

Porisme général : Étant menées dans le plan d'une courbe géométrique deux transversales qui se rencontrent en S, et étant pris ■ sur ces droites respectivement deux points fixes O, O' ;

Une tangente quelconque à la courbe rencontrera ces deux droites en deux points a , a';

Et si la courbe jouit de ce caractère général que , par un point pris au dehors, on puisse lui mener généralement et au plus m tangentes ,

Il existera des valeurs des coefficiens a. , G, y, , qui satisferont

à l'équation générale du degré m entre les deux rapports $£■ , $£- i

0a\* / OV \ /OaV

Fa) +('iT + c;(sJ

etc.

Revenons à nos deux propositions générales primitives exprimées par les équations (1) et (2).

Chacune de ces équations peut se transformer de différentes

manières en d'autres, qui auront deux, trois ou quatre termes. Plusieurs de ces transformations sont nécessaires pour donner l'interprétation des porismes du premier livre d'Euclide. Nous devons ajouter que chacune des équations que l'on obtient ainsi , sert à exprimer plusieurs porismes di fier en s , parce qu'on y peut prendre pour inconnues du porisme , au lieu des coefficiens constans, comme nous l'avons fait, différentes parties de la figure, telles que les points 0, 0% ou les directions des transversales.

On tirera de la sorte , de nos deux propositions générales , une multitude de porismes, et nous croyons ne pas exagérer en en portant le nombre à deux ou trois cents. Une telle abondance s'accorde bien avec ce que dit Pappus , de la fécondité des porismes d'Euclide : « Per omnia Porismata non nisi prima principia , et » semina tantum multarum et magnarum rerum spàrsisse vidktur » (Euclides). »

Des différentes équations identiques dont nous venons de parler, nous avons choisi pour exemple les deux (1) et (â) , parce que ce sont celles qui embrassent le mieux l'infinité de propositions que comporte cette matière , et surtout parce que ce sont celles qui ont leurs analogues dans l'espace, et qui servent à * étendre la doctrine des Portâmes d'Euclide à la géométrie à trois dimensions.

Voici les deux théorèmes généraux qui rempliront cet objet ; nous les énoncerons sous forme de porismes :

Premier pôrisme : Etant donné dans l'espace un triangle ABC, et trois transversales quelconques , qui rencontrent le plan du triangle enE^E'+E"; et étant pris sur ces trois droites, trois points fixes 0, 0\ O" ;

Si de chaque point d'un plan donné on mène trois plans passant respectivement par les trois côtés AB , BC , CA du triangle , et rencontrant respectivement les trois transversales auxpo ints a , a' , a" ;

On pourra trouver trois quantités constantes, telles qu'on aura toujours l'équation :

Oa OV (TûT

Ea + A EV + " È V> ~ *'

■ATÏtMATIQtiE «T FIYftlQUK. 18

Et , réciproquement , les trois coefficiens A , fi f v> étant don* nés , il leur correspondra toujours un certain plan qu'on pourra déterminer.

Second porisme : Étant prié dans l'espace un angle trièdre dont le sommet est en S, et étant pris sur ses arêtes trois points fixes 0,0 , O";

Si , autour d'un point donné , on fait tourner un plan transversal qui rencontrera les arêtes de l'angle trièdre en a, a' et a";

On pourra trouver trois quantités constantes, A, /ce, v, telles qu'on aura toujours l'équation :

Oo OV O'V

Et , réciproquement, si dans cette équation les trois coefficiens A, /te, y sont donnés, il leur correspondra toujours un certain point dans l'espace.

Ces deux théorèmes généraux sont susceptibles d'une infinité de corollaires , au nombre desquels se trouvent le principe de transformation des figures en d'autres du même genre , et celui de la dualiêation des propriétés de l'étendue. Mais, nous ne pouvons entrer ici dans tous ces détails.

Les deux porismes de géométrie plane que nous venons d'appliquer à la Géométrie à trois dimensions ont aussi leurs analogues sur la sphère. En voici les énoncés :

1er porisme. Étant pris sur la sphère deux points fixes P, P\ et deux arcs qui rencontrent l'arc PP* en E et E' ; et étant pris sur ces deux arcs, respectivement, deux points fixes O, O' ;

Si de chaque point d'un arc donné on mène deux arcs aux points Pj Pf , qui rencontreront respectivement les deux arcs EO, E'C/j en deux points a, a', on pourra trouver deux quantités A, fi, telles qu'on aura toujours la relation

gin. Oa si n. OV

~~. — ïT" "*" *• "": — ,. ; =: a*.

sm. Ea > sin. EV

2* porisme* Etant menés sur la sphère deux arcs de grands oer-

16 COBMSPOflDÀflCE

clés, qui se rencontrent en S, et étant pris sur ces deux arcs respectivement deux points fixes O, O' ;

Si, autour d'un point donné de la sphère, on fait tourner un arc qui rencontrera les deux arcs fixes en deux points a, a', on pourra trouver deux quantités A, /*, telles qu'on aura toujours la relation :

sin. Oa sin. OV

sin. Sa sin. Sa

Nous devons prévenir que , quoique nous n'ayons appliqué la doctrine desporismes qu'aux propositions locales, nous retendons cependant , suivant la définition générale de Simson, à toutes sortes d'autres propositions géométriques ou algébriques, où il y a certaines choses variables.

Voici , pour terminer cette note , une liste des auteurs qui ont écrit sur les porismes , ou qui seulement ont employé ce mot , sans dire la signification précise qu'ils lui attribuaient.

Il faut rappeler d'abord que dans son acception commune et générale , le mot , ïlàpurpa , chez les Grecs , signifiait corollaire. Cest dans ce sens qiïEuclide en a fait usage dans beaucoup de propositions de ses Élémens. Mais, dans son Traité des porismes , il avait un sens particulier.

Diophante, dans ses Questions arithmétiques , a plusieurs fois employé le mot porisme, pour désigner certaines propositions concernant la théorie des nombres , sur lesquelles il appuie ses démonstrations , et qui formaient probablement un ouvrage qui ne nous est pas parvenu. ( Voir, par exemple , les propositions 3 , 5 et 19 du livre V).

Pappus et Proclus, comme nous l'avons dit, nous ont laissé des définitions différentes des porismes à'Euclide*

Ce sont là les trois seuls auteurs anciens où nous trouvions le mot porisme employé dans une autre acception que la signification commune de corollaire.

Chez les modernes > on le rencontre d'abord dans le Cosmolabe de Besson (Paris , 1567, in 4°) , où il est employé concurremment avec le mot corollaire , pour désigner des propositions

déduites d'une proposition principale. (Pag. 203 , 207 et 210).

Vers le même temps, Dasypodius, dans son livre intitulé : Vo- Inmen II mathematicutn , complectens prœcepta matkematica, mstronomica, logiêtica (Argentorati , 1570, in-8°), a donné une définition des porismes , suivant le sens de Proclus. ( Pag. 243 et suiv.)

Vtàte s'est servi du mot porisma en parlant du corollaire qui suit la proposition 16 du IIIe livre des Élémens d'Euclide. {Variorum de rébus matkematicis responsorum liber VIII; cap. XIII.)

Neper, dans son immortel ouvrage : Mirifici Logarithmorum eanonis description ejusque usus in utraque trigonometria , etc. (Edimbourg, 1614 , in-4°) , appelle porisma une sorte de scolie général qui résume les règles qu'il vient de donner pour la résolution des triangles sphériques qui ont un angle droit ou un côté égal à un quadrant.

Alexandre Anderson intitule Porisma > un problème local , où il s'agit de trouver le lieu des sommets des triangles , qui , ayant même base , ont leurs deux autres côtés dans un rapport constant. Voir : Animadversionis in Franciscum Vietam a Clémente Cyriaco stuper editœ, brevis &toacpt<rtç9 per Alexandrum Anderson um. Paris, 1617, in-4° (7 pages) (*.

Bachet de Mesiriac , à l'instar de Diopkante, a aussi employé le mot porisme, et l'a donné à une série de propositions sur la théorie des nombres , qui précèdent sa traduction et son commentaire des six livres arithmétiques de l'analyste grec; et qui sont comme autant de lemmes nécessaires pour l'intelligence de cet ouvrage. Ces porismes sont en trois livres intitulés : Claudii

(1 anderson avait écrit plusieurs ouvrages sur l'analyse géométrique des anciens , qui n'ont pas été publiés. Afersenne, dans son livre de la Vérité des sciences (1625 , in- 12 , pag. 752) , fait un grand éloge de ce géomètre , qui , pendant sa vie , dit-il , n'a pas été traité selon son mérite , bien qu'il pût approcher à'Archimède et d'Apollonius. Pais il ajoute qvtJAnderson avait préparé plusieurs ouvrages pour suppléer à ceux des anciens qui ne nous •ont pas parvenus ; et il engage les personnes qui les possèdent à ne pat en priver les scienoes.

Toi. X. 2

Gasparis Bacheti sebusiani in Diopkantum , Porismatum lihri très. Paris, 1621 , in-fol.

Savile, dans ses Prœlectiones tredecim in principium elementorum Euclidis (Oxonii, 1621, in-4°), a donné une définition des porismes, dans le sens de Proclus. (Lectura prima , p. 18.)

Albert Girard annonçait dans sa Trigonométrie (La Haye, 1626, in- 1.6), et dans son Commentaire des œuvres de Stevin (Leyde, 1634, in-fol., p. 459), avoir rétabli les porismes à' Euclide. Mais ce travail n'a pas va le jour. Puisse- t-il n'être pas entièrement perdu 2

Kircher, dans la partie de son Ars magna Lucie et Umbrm (Romae, 1646, in-fol.); qui traite des sections coniques, se sert en même temps des trois mots corollarium, consectarium etporisma, pour désigner des conséquences d'une proposition principale. Mais le plus souvent cependant, le dernier mot s'applique à une proposition qui n'est pas la conséquence de celle qui a été démontrée , mais qui en est au contraire une généralisation , ou du moins qui s'y rapporte comme faisant partie de la même théorie. Par exemple , après qu'une propriété de la parabole vient d'être démontrée sous le titre de proposition , on trouve sous le titre de porisme , les propriétés analogues de l'ellipse et de l'hyperbole (voir pag. 237 et 238 ; 242 et 243).

Schooten, dans ses Sectiones triginta miscellaneœ (livre V des Exercitationes mathematicœ. Leyde, 1657, in-4°) , intitule Porisma la section 24e, où , pour donner un exemple de la manière de découvrir en géométrie les propriétés des figures , il se propose de trouver celles qui appartiennent à la figure formée par différentes droites menées d'une certaine manière dans le plan d'un cercle. (P. 484 des Exercitationes mathematicœ.)

Les quatre géomètres suivans ont traité formellement de la divination des porismes :

Marin Ghétaldi , De resolutione et compositione maihematica, lib. V ; opus posthumum. Romœ , 1640.

Bulliaud , Exercitationes geometricœ très: 1° circa demonstra» tionesper inscriptas et circumscriptas figuras ; 2° circa conicarum sectionum quasdam propositions ; 3° de porismatibus. Parisiis , 1657, in-4°.

MATHÉMATIQUE BT PHYSIQUE. 19

Renaldini , De résolutions et compositions mathematica , iibri duo. Patavii , 1668 , in-folio.

Fermât, Varia opéra tnathematica. Tolosae, 1679, in-fol.

Porismatum Euclidœorum renovata doctrine, et sub forma isagoges recentioribus geometricis exibita* Cet écrit, de quatre pages, avait été communiqué par Fermât , plusieurs années auparavant, à divers géomètres, et entre autres à Bulliaud qui en fait mention dans l'ouvrage que nous venons de citer de cet auteur.

Maintenant, après qu'un siècle s'est écoulé sans nous offrir aucun écrit sur les porismes , nous trouvons :

Lawson , Treatise concerning PorUms, 1777 , in-4°.

Ce géomètre est auteur d'un autre ouvrage sur la géométrie des anciens, intitulé : Geometrical analyste ofthe ancients, in-8°,

Wallace, Geometrical port sms j 1796, in4°.

Playfair , On the origin and investigation of porisms ; Transactions de la société royale d'Edimbourg , tom. III, année 1794, et tom. III , pag. 179 des Œuvres de' Playfair en quatre volumes in-8<>, 1822.

Lhuillier, Élémens d'analyse géométrique et d'analyse algébrique , in-4° 1809.

J. Leslie, Geometrical analysis, liv. IIIe , in-8° , Edimbourg, 1809 et 1821.

Cet ouvrage a été reproduit dans notre langue par M. Auguste Comte , à la suite du second supplément à la géométrie descriptive , par M. Hachette , in-4° , 1818.

Dans ces dernières années , M. Hoënè Wronski a donné une nouvelle interprétation des porismes , et s'est servi de ce mot dans son Introduction à la philosophie des mathématiques (page 217).

M. Eisenman , professeur à l'école des ponts et chaussées de France , qui s'occupe d'une traduction des œuvres de Pappus , accompagnée du texte grec , a porté son attention sur la doctrine des porismes , dont il promet une explication nouvelle. (Voir Traité des propriétés projectives , introduction, pag. 37.)

Nous désirons vivement avec M. Poncelet, que la publication

de cet ouvrage , qui serait si utile à ïa géométrie, n'éprouve pas de trop longs retards.

Castillon , célèbre géomètre du siècle dernier , qui était trèsversé dans la géométrie ancienne, pensait que le Traité des Porismes existait encore en Orient au XIIIe siècle, et qu'un commentaire du fameux astronome et géomètre Nassir-Eddin de Thus, sur un ouvrage d'Euclide, dont parle d'Herbelot dans sa Bibliothèque Orientale, se rapportait à ce traité même, qui seul avait pu mériter d'être commenté par le célèbre géomètre persan. « Heureux , » s'écrie Castillon, si je ne me trompais pas ! Heureux les géomè- » très qui posséderaient ces admirables livres et en connaî- » traient le prix ! » (Mémoires de l'académie de Berlin , années 1786—1787.)

Que de découvertes précieuses pourront être faites dans les bibliothèques de l'Orient (', si un jour elles sont explorées, sous les auspices de quelque gouvernement ami des sciences , et jaloux de la gloire qu'elles ont répandue sur les siècles des Ptolémêes , des Médicis , de Louis XIV.

Note sur quelques développement des fonctions en séries; par J.-N. Noël, professeur à l'Université de Liège.

Formule du binôme. L'examen des premières puissances du binôme l-t-#, conduit aisément à la loi des exposans de x, dans chaque développement ; mais celle des coefficiens n'est pas évidente ; et la difficulté était de deviner comment chacun d'eux se compose de l'exposant n, dans (l+#)n. On sait que Newton y est parvenu le premier; et en multipliant par l-t-#, on vérifie aisé-

') Les Persans prétendent posséder quelques ouvrages grecs que nous n'avons pas ; et nous -voyons en effet que les Arabes en citent plusieurs qui nous sont inconnus. {Voy. Montucla, Histoire des math, , tome 1er , pag. 373 et 394.)

ment que si la loi du développement de (l-t-*)" est vraie, pour une certaine valeur de», elle sera vraie encore pour une valeur plus grande d'une unité. C'est la marche la plus naturelle et la plus directe pour démontrer la formule du binôme , lorsque l'exposant est un nombre entier positif.

11 restait ensuite à généraliser cette formule, en faisant voir qu'elle s'applique encore, lorsque l'exposant est un nombre ou tin symbole quelconque. Cette propriété de la formule de Newton, est trop importante , pour qu'on n'ait pas cherché à la démontrer complètement en algèbre , où elle reçoit d'ailleurs plusieurs applications utiles. Parmi ces démonstrations, celle d'Euler tient «ans doute le premier rang , par sa brièveté et sa rigueur, ainsi que M. Lacroix l'a fait observer ; mais cette démonstration devient plus simple encore , sans rien perdre de sa rigoureuse exactitude , en la présentant comme il suit.

La lettre n désignant un nombre ou un symbole quelconque , réel ou imaginaire , positif ou négatif, cherchons quelle doit être la forme de /», dans

/»=l-t-»:r-4- ■ , A — x"1 -*- — — - — \ xz ■+> etc., a 1 infini.

Quelle que soit la composition actuelle de /», avec n etx, cette composition ne saurait aucunement changer, lorsque n restant indéterminé, vient à représenter un nombre entier positif; car à cause de l'indétermination et l'indépendance complètes de n etx9 l'hypothèse de n entier positif ne saurait amener évidemment aucune réduction nouvelle entre» et x dans l'expression de/n, et par suite la forme de cette expression reste absolument la même. Or, quand n est un nombre entier positif, on sait que fn est le développement de (l-t-a?)n; donc puisque l'hypothèse de n entier positif ne change point la forme de l'expression de/n, il s'ensuit qu'avant cette hypothèse, on avait aussi fn = (1 -*-#)". De sorte que la formule du binôme est vraie , quelle que soit la valeur, positive, négative, rationnelle, irrationnelle ou imaginaire de l'exposant ». C'est la série binomiale la plus générale et l'une des plus utiles des fonctions développées.

22 CORRESPOKDAflCI

Généralisation des formules. — La grande extension et la généra* lité complète que l'on accorde volontairement aux règles et aux formules de l'algèbre , pour les rendre plus utiles et simplifier les théories , nous semble pouvoir se justifier entièrement , par le raisonnement que nous Tenons d'employer, et qui a l'avantage de n'exiger aucun calcul* Il en résulte que toute formule , démontrée pour des valeurs indéterminées , entières et positives , de certaines lettres qui la composent, doit s'appliquer encore, lorsque ces lettres représentent des nombres ou des symboles quelconques.

Tel est le principe de généralisation des formules , dont on fait un usage fréquent, soit par une convention immédiate, motivée ou non , soit en le vérifiant , dans chaque cas spécial , par des raisonnemens analogues au précédent. Par exemple , n étant un nombre entier infini et m un exposant entier positif, on peut démontrer, ainsi que nous l'avons fait ailleurs , que

lm + %>* *. 3™ + 4>» ^. ... + nm «=: n«+*.

fn+1

Donc, en vertu du principe ci-dessus, cette formule, Tune des plus importantes de la méthode infinitésimale, doit s'appliquer encore, lorsque l'exposant m est un nombre ou un symbole quelconque, positif ou négatif, réel ou imaginaire. C'est d'ailleurs ce qu'on vérifierait , par d'autres considérations.

Soient fa et fb deux fonctions semblables quelconques des variables a et bj telles qu'on ait toujours

faxfb*=f(a + b) (1)

Puisque a et b sont quelconques , on peut faire successivement b=o, a, 2a, 3a, etc. Pourfc=o, l'égalité (1) donne nécessairement/b=l. Prenons h=a ; nous aurons (fay=f(%a). Soit ife=2aj il vient f<*Xf(%a)=f(3a), d'où en remplaçant /"(2a) par (/à)% on a (/a)3=/(3a). On trouvera de même, (fo)*=f{Ao)9 (/a)5 =/(&»), et en général ,

(fa)* = f(as) (2)

Cette formule n'est démontrée que pour x entier et positif ;

MATHÉMATIQUE BT PHYSIQUE. 23

mais en vertu du principe établi plus haut , elle est vraie encore, lorsque x est ua nombre ou un symbole quelconque , positif ou négatif, réel ou imaginaire : elle est absolument générale.

Cette généralité de la formule (2) peut se vérifier d'ailleurs , a l'aide de considérations, déjà mises en usage par plusieurs algébristes. D'abord a étant quelconque, on peut 7 changer a en - a, r et x étant entiers positifs ; et alors la formule (2) devient

[/■GO]*"Ba/(n,>-u!,>r ;d'°ù (/■°f=/rGO-

La formule (2) a doue lieu, pour toutes les valeurs rationnelles positives , et par suite irrationnelles, de l'exposant x.

Remplaçant dans (1) , a et j&, respectivement par am et — am9 m étant positif quelconque, on aura /"(am) Xf( — am)=f(am — am) =/b=l; d'où(/a)wX/(— am) = l et (/à)-™ =/"(-- am). Ainsi arpent être quelconque réel, positif ou négatif; mais on ne parvient à faire voir que x peut être imaginaire quelconque, dans la formule (2) , que par le principe de généralisation , ou plutôt par le raisonnement qui l'a fourni.

Pour appliquer la formule (2) , il faudra d'abord établir la relation (1). Or, il existe plusieurs fonctions semblables des variables a et h , propres à conduire à cette relation ; et telles sont , par exemple , celles-ci :

fa = cos. a -+- 1 sin. a et fb = cos. b -f- % sin. b>

dans lesquelles * = \/ — 1,

On parvient encore à la relation (1) , au moyen des notations que voici , soit xv le quotient indiqué du produit des v facteurs xy x — c, x — 2c, x — 3c,..., x — vc -+- 2c, x — vc •+- c, divisé par le produit 1. 2.3.4.5... v ; d'où xt = x , x2 = x (x — c) ; etc. On aura évidemment.

x—vc + c

Xv = Xv— 1 (O)

Il est clair que t? = 1 , dans cette formule , donne xx ou x s=s xx0 ; d'où #o = l. Changeant x en x •+■ c , on aura aussi

À cause de x0 = 1 , si Ton prend v a=a o , la formule (4) donnera or— IB=(ip+ c)0 — x0 = 1 — 1 «=o; d'où a? -i = o. î)e même v = — 1,-2, etc., donneront a?— .* = o, x— 3 = o , etc.

Gela posé , les expressions de {x •+- a)x et (a? -f- a)2, conduisent à écrire, en général,

(*-*-«)„ sss Xn -4- «ff*-i -*- <Iâtf«— a ■+■ 03^n— 3 -H ••• H- «» • (§)

On démontre cette formule combinatoire , soit par les coefficient indéterminés, soit en procédant par induction, comme au tome VII de la Correspondance mathématique et physique, p. 187 et suivantes , où l'on développe plusieurs conséquences remarquables de cette formule, dont voici la plus importante, qui fournit la relation (1). Soient ,

fa = 1 -f- za -+■ j5aoa -*- j53a3 -4- ... -f- zvat> h- etc., à l'infini , fb = 1 -4- zb -+- z7ba h- &*b3 -f- ... -+- zvb„ -f- etc., à l'infini.

Multipliant entre eux ces développemens et réduisant, d'après (o) , on trouvera

faXfb=f(a + b).

C'est le théorème de M. De Stainville (tom. IX des Annales de mathématiques); d'où il vient la formule (2), qui fournit immédiatement les séries binomialeset exponentielles, et même deux séries circulaires.

Formule très-générale. — La méthode des coefficiens indéterminée est fort commode pour chaque cas spécial de développement en série ; mais elle suppose qu'on ait pu deviner , d'après les propriétés de la fonction proposée , la forme du développement cherché,

MATHÉMATIQUE ET PHTSIQCE. 38

qu'il n'est pas toujours possible de justifier à l'avance. De sorte que , même quand on a obtenu des valeurs réelles et compatibles pour les coefficiens , on n'est pas toujours sûr d'avoir rencontré la véritable loi, parce que cette loi pourrait appartenir au développement d'une autre fonction , ou ne pas se soutenir dans toute l'étendue indéfinie de la série. La méthode des coefficiens indéterminés est encore une sorte d'induction ; mais celie-ci aidée du principe de généralisation , doit lui être préférée , toutes les fois qu'on peut en faire usage, comme plus claire et montrant mieux l'origine du développement.

Enfin, la méthode des différences de fonctions semblables, est peutêtre la plus claire et la plus sûre de toutes ; du moins a-t-elle conduit M. Sert ois, tora. Y des Annales de mathématiques, à plusieurs formules générales , très-remarquables , qui ont l'avantage de donner chaque fois l'expression du terme complémentaire, indispensable pour les évaluations numériques. Nous nous proposons ici d'établir une formule très- générale, par une marche analogue à celle que M. Servois a suivie ; et comme la notation des numéros ou indices est souvent plus commode et plus expressive que la caractéristique /*, pour désigner des fonctions semblables , nous ferons usage de la notation (3).

Soient donc u et u' deux fonctions semblables de x et x -4- c 9 de manière qu'on ait u =fx et u' =/" (a? •+- c) , et soit posé cux =u' — u. Soit t*\ ce que devient wx en y chargeant x en x -+- c, et soit cu2s=s u\ — ti«. Changeant aussi x en x -+- c , dans u2 , soit u\ le résultat, et soit posé cti3 = u\ — ua. Continuant ce procédé , on aura généralement

CUv+x = tt'„ — Uv (6)

Soit encore posé y? — /(# ■+■ y) ■— fr> et soit ?' ce que devient l'expression de f , quand on y change à la fois xenx •+- o et y en y — c : on peut faire <??,= / — y. Soit y', ce que devient ?, par le double changement de x en x -+■ c et y en y — c , et soit c?i s=a ft — f,. Continuant ainsi, on posera successivement

26 COABBSPORDARCB

c?z = *'* — fa » ^f4 = f\ — ?3 » et » en eëné»i ,

cjv+1 = y»'», — y„ £7)

D'après ces notations , il est clair que l'équation identique

f(x-^-y) — fx f{x+y)=fx+y-± , devient f{x+y) = 1

Changeant x en x+-c et y en y — c, la somme x ■+• y restera toujours la même, aussi bien que /(#-+- y); ainsi on aura

Soustrayant de cette équation, celle qui Ta donnée, on a

donc, en vertu des notations admises et en divisant par c, il vient

fatf|-i.(y C)?I; d'où y9>=yu«M-2y2f,.

Changeant encore a? en«+c et y en y — c, ce qui donne ?'=*«/-+- (y — 2c) y/, puis soustrayant de cette égalité, celle qui l'a fournie , on trouvera

2?I = «a -4- (y— 2c) ?9 ; d'où 2ya ?t = ya«a -f- 3y3 ?a.

On peut continuer indéfiniment ce procédé , et Ton aura

3?a =t#3 -t- (y— 3c)?3; d'où 3y3?a = y3*3 ■+- 4y4p3 ;

4?3 = u4+ (y— 4c) ?4 ; d'où 4y4 ?3 = y4u4 -*- 5y5 ?4 ;

5y>4= w5 h- (y— 5c)?5 ; d'où %5Î>4 = y5t*5 -♦- 6y6?5 ;

etc ; etc

Ajoutant toutes les secondes égalités entre elles et avec f(x -t- y)=w -f- yfj puis supprimant les termes communs aux deux nouveaux membres , on aura la formule cherchée

f{x+-y) = w-f-yu, +■ y2u7 -*- y3t*3 -4- y4«4 -+• ysus ■+• etc.-.. (8)

MATHÉMATIQUE ET PIYSIQUE. 17

La loi des termes de cette formule est évidente et facile à retetenir : elle se continue à l'infini , à moins que pour des valeurs particulières de c , x et y, un numéro de y ou de t* et les suivans ne s'évanouissent! Lorsqu'on arrête la formule au terme ynUn , le terme complémentaire est (»+l) y^+irV

C'est à peu près ainsi , mais par des notations beaucoup moins simples , que M. ServoU parvient à plusieurs formules générales, analogues à la précédente, et M« Crelle, tome VII de son journal, où il fait usage de la formule (8) , sous une autre forme , lui donne le nom de série générale de Taylor. Nous verrons en effet bientôt que le théorème de Taylor est une conséquence de cette formule.

La formule (8) ayant été obtenue , par une suite d'opérations identiques, pour lesquelles c, x et y sont des nombres ou des symboles quelconques , positifs ou négatifs, réels ou imaginaires, est absolument générale. On peut donc en déduire d'autres , aussi très-générales, mais mieux appropriées qu'elle à certains calculs. Par exemple , d'après la notation (3) , si l'on pose u = fx s=a xn , il en résultera sur-le-champ la formule (8) ; car on aura f{x-\-y) =(x-*-y)n , puis cut = (x-*-c)n — Xn=cxn—i , d'où 1#Z = xn— i. On aura de même , t*a = xn—a , t#3 = xn— 3 , ... 9

Un = Xo s=l, 1ln+i =0?— 1 =50,«n+a = «- a==0, etc.

Formule exponentielle. Soit u =* fx = a* et soit cz=ac — I; on aura donc cux == ax+c a* = (ac — 1 ) ax = czax , d'où ut = zax. On aura de même , u2 = z*ax , i#3 = z*ax , «4 = js4a* , et ainsi de suite. Substituant ces valeurs dans la formule (8) , où alors f(x-t-y) = a*-*?", puis divisant par ax , on trouvera

a? e= 1 ■+- sy -+- **y9 -f- s3y3 -f- *4y* -4- *5ys -f- etc. . (0)

La loi de formation de cette formule est évidente , jusqu'à l'infini. Si l'on y pose c = 1 et a =a 1 •+- u , il en résulte le développement connu de (1 -f- t*).r, l'exposant y étant un nombre ou un symbole quelconque. Et si l'on prend c = 0 , ce qui donne yyzssyv 1 1. 2.3.4... v et * = £, le nombre 2 sera entièrement arbitraire. On peut donc le choisir tel qu'on ait ez = a et e** = c^ .

Posant alors ys = x, x étant un nombre ou un symbole quelconque , aussi bien que y , la formule (9) donnera le développe-* ment connu due*.

Ces deux belles conséquences montrent l'importance de la for* mule (9) , qui , à cause de {a?)n x=zany, revient à (fy)n =f(ny), fy représentant l+«y+ *2y2 -+- js3y3 ■+■ etc. La méthode des coefficiens indéterminés conduirait d'ailleurs immédiatement à la formule (9) , en observant que aj se réduit à l'unité , dès que y est nul , et que par suite , y étant un nombre ou un symbole quelconque , on peut écrire

ax = 1 -*- Ày -*- Bya -t- Cy3 -*- Dy4 -*- Ey5 -f- etc.,

A , B , C , D , etc. , étant des coefficiens indépendans de y ; et on les détermine, en multipliant le développement proposé par a% en y changeant y en y-+-c9 en soustrayant ce développement de chacun des deux nouveaux , etc.

Séries des sinus et cosinus» — La formule (8) conduit à exprimer le sinus et cosinus en fonctions de l'arc numérique. Le rayon étant 1 , soit c un arc infiniment petit ; on aura donc sin. c = c et cos. c = 1. Soit u=fx=z sin. x : on anra cut = sin. (x -+- c)

— sin. x = c cos. X, d'où ux = cos. x. De même, ua =

— sin. a?, w3= — cos. #, 1*4 = sin. x, 115=003. #,«6 = — sin. or, t*7 = — cos. x9 etc. D'ailleurs c infiniment petit , donne yv = yv : 1.2.3.4... 17; substituant donc ces valeurs, dans (8), où alors f{x + y) = sin. (x-*-y) , puis faisant x = 0 , ce qui donne sin. x = o et cos. a?= 1 , il viendra

sin. v = v — -*- — h etc. . (10)

En posant tt = fx = cos. # , on trouvera de même l'expression de cos. y en fonction de y.

Théorème de Taylor. — Voyons maintenant ce que devient la formule (8) , lorsqu'on y fait c = 0. D'abord pour que cette hypothèse ne rende pas nul et infini , «*, dans cu1 = t*' — u = f{x+c)—fx7 il faut que f(x+c) = /àr -4- eu, ■+- caX , X étant fonc-

tion entière de c et de x; il faut donc que ut soit le coefficient de la première puissance de c, dans le développement que donne u ou fv1 lorsqu'on y change x en x-\-c. Et comme ce coefficient dépend ou dérive de u , on le nomme la fonction dérivée ou simplement la dérivée de u, et au lieu de ul , on écrit du, qu'on énonce dérivée de u ou simplement du. De sorte que d est un signe et non une quantité.

D'un autre côté x les égalités cut =u' — u , ct*a = «/ — «, , c«3 = a'a — wa , etc. , montrent que chacune des fonctions u , ut , t#a , «3 , etc. , se déduit ou dérive de celle qui la précède immédiatement, d'après une règle constante ou la même pour toutes. Cette règle ici consiste à changer x ewj+c, à soustraire du résultat, à diviser le reste par cet à poser c=o , dans le quotient. Désignant donc toujours par d la règle constante , d'après laquelle chacune des fonctions u , », , t#a , w3 , etc. , dérive de celle qui la précède immédiatement , et par da, d3, d4, etc., cette règle répétée 2 fois, 8 fois , h fois , etc., sur u et les résultats , on aura »,= du, tt2 = duT =r ddu = d2u , w3 =s rfua = dd*u = d3» , «4 == tfi#3 = dd3u B=rf4« , etc. Sur quoi il faut observer que d*u est la seconde dérivée de u ou la dérivée du second ordre ; w3 est la troisième dérivée de « ou la dérivée du troisième ordre, indiquée par dzu; ainsi de suite.

D'après ces notions , si Ton pose c=o , dans (8) d'où y^=yy: 1 .2. 3.4... r, on aura

ya y3 y4

/*(:r-4-y)=w.+.ydtt-f. — cPu ■+• — d3» -t- ^-^ d4w -*- etc. (1 1)

Telle est la formule connue sous le nom de théorème de Taylor; car elle ne diffère de celle due à ce géomètre, qu'en ce que, dans cette dernière, .du , d2u, d3u, etc., y sont divisés par dx et ses puissances 2e, 3e, etc.; diviseurs que Ton doit omettre , pour les dérivées , ce qui est plus simple , vu que la dérivée àx de la variable x est toujours l'unité, en vertu de la définition des dérivées.

À cause de ttaff=cfrfa, de cPfirscftPti, etc., la formule (11) montre comment chaque terme se déduit de celui qui le pré» cède immédiatement , d'après la règle constante , dont d est le signe* Cette propriété importante caractérise aussi le théorème de Taylor, et le rend très-commode dans les applications , aussi bien que (11) , qui devient ainsi nécessaire pour simplifier certaines théories algébriques , et notamment celle des équations. Aussi pensons-nous, avec plusieurs géomètres, que le calcul des dérivées, dont les principes sont très-élémentaires, doit faire par* tie d'un cours un peu complet d'algèbre. C'est l'introduction la plus naturelle à l'analyse différentielle, dont il fait descendre plusieurs applications utiles dans les clé mens. Ce calcul suppose * que f(x+c) puisse se développer sous la forme/a?-*- Àc-+-Bc2-+-eto,; ce qui a lieu pour un grand nombre de fonctions de x. Mais si cette forme était impossible, les dérivées n'existeraient pas, du moins passé un certain ordre.

Enfin , le calcul des dérivées n'a besoin , comme on sait , de la connaissance préalable d'aucun développement en série , et y conduit de la manière la plus simple et la plus directe. Prenons par exemple u=xn : on vérifie aisément , par les premières puissances de x-\-c , que cfoc= 1 , d*x2 ==2#, d.x* =3 x29 ef.#4=4.T3, et en général

du = d.x" = «j?n~I.

Cette formule , qui n'est démontrée que pour n entier positif, doit s'appliquer, lorsque n est un nombre ou un symbole quelconque, en vertu du principe de généralisation. On tire delà, d2u=n(n — l)xn"2,d3u=n(n — 1) (n— 2)a?n"3,etc. Par ces valeurs, la formule (11) donne le développement connu de (x-*-y)n9 l'exposant n étant quelconque.

HATItSATIQflB BT MtYSIQUB. 31

Détermination du coefficient différentiel de L.x , par M. Don José Sanchez Cerqueho , directeur de l'observatoire deSan-Fernando, communiquée par l'auteur.

Soit

On aura

Et puisque Ly = m. La, on aura aussi

<*Ly

Des équations (2) et (3) on déduit

dly dlz y. -— == a. -— (4)

9 dy dz W

Maintenant il est visible que Ton peut satisfaire à l'équation (1) avec des valeurs quelconques de y et de s , pourvu que Ton choisisse une valeur convenable de m. Et comme m ne se trouve plus dans l'équation (4) , cette dernière équation a lieu avec des valeurs quelconques de * et de y. Par conséquent la fonction

ne cbange pas de valeur quand on y met s au lieu de y; c'està-dire, que ©(y) = C , C étant une constante. Donc

dhy C

dy ~ y

On peut, si on le préfère, parvenir au même résultat de la manière suivante.

On sait que Ton a en général