On a
(Ia6,123)(aJc,124)-(Iaô,124)(a5c,lS3) = -4-(aJ,12)(Ia6c,1234) .... (H)
Car on trouve (éq. D)
(afc,124) = a' (Ifcc,124) — V (lac, 124) -t- c' (Iai&,124) i (afcc,123) = a'(I6c,123) — fc'(Iac,123) -f- c' (Iafc,128);
en substituant ces valeurs en (H), les termes multipliés par c' s'en iront , et il viendra
a' [(Ia&,123) {lbc,\U) — (Ia&,124) (1^,123)] — fc'[(Iai&,l23) (Iac,124) — (Iafc,124) (I«c,l23)] = (Iaôc,12â4) [— a' (b'—b") + b' (a'— a")] (Éq. G) , = -*- (afe,12) (Iafc,1234).
«ATHtXATIQUE IT PHYSIQUE. 347
13. Je signalerai encore une relation de ces fonctions symétriques avec certaines autres qui sont très en usage dans l'analyse, savoir : les fonctions de la forme a' a" -4- b' b" -4- c' c". Faisons en général
a*a& -+- b*b& -+• c*d* = [a/3]. (« On aura
(a4,12) (a4,34) -4- (tfc,12) (ac,34) -4- (4c,l2) (4c,34)
Le chemin le plus expéditif pour démontrer cette propriété est de développer (a4,12) en a'4"— o"4', (ai,24) en a'"frv— a"*"', etc. Le premier membre de l'équation (I) deviendra alors =
l) Cette désignation n'est rien moins que générale. Car d'abord , s'il existe encore d'autres bases que a, b,c, vile est évidemment défectueuse, parce qu'elle n'indique pas si toutes les bases y sont comprises, ni dans le cas contraire, quelles sont celles qui y entrent, et celles qui en sont exclues; et puis , des fonctions comme aa Ifi -f- a? h$ -4- aYby devant être désignées par [ai], on voit qu'il pourrait en résulter de l'obscurité dans le calcul. Il y aura peut-être plus de précision à désigner généralement
a* a#... aP -4- 4*40... bP + ... -4- r*
et
a* b*... r* -H a£A0... r& -4- ..• -4- aP bP.
A.. r/>par f 4,*0.../> j , bP... rP par J «4...r,0 J ;
le nombre des bases étant ou n'étant pas égal a celui des exposans. Hais puisque nous n'avons ici à considérer que trois bases , et que ce sont toujours les exposans qui restent les mêmes dans tous les termes , nous pourrons sans inconvénient nous servir du signe plus commode [* pj.
= a' a'" (a" a" ^ 2," &iv + c" c") — a' a™(a" a"' -+- b" b'" -+- c" c"') + VV"\*"a™ + b"b™ + c"c") — b'b™{an a!" +-b" b"' -\-c" c"') -*- c' c"' (a^o^ -+- b" b" -f- c'Vv) — c' c" \a"o!" +■ b" b'"+ c" c'") - [13] [-24] [U] [23].
Si Ton remplace les exposans 3 et 4 , le premier par 1 , le second par 2 , il viendra
(oft, ny -*- (ac, 12) ' -h (&c, 12)' = [11] [22] -~ [12]a
= (a" + fc" .+. c") (a'" -+- fc"3 -+- c"2) — [12]\..(K) (l
§ H. Questions élémentaires de géométrie,
1 . Avant d'aborder les questions snr le tétraèdre , il ne sera pas superflu de résoudre plusieurs questions de géométrie trèsconnues à la vérité , mais indispensables pour les recherches du troisième paragraphe. Je crois d'autant plus pouvoir leur assigner ici une petite place , qu'elles sont , la plupart, très-propres à faire ressortir l'utilité de l'analyse précédente, et qu'elles trouvent une application continuelle dans la géométrie analytique.
Je me servirai dans la suite du système de coordonnées rapportées à trois axes X , Y, Z , rectangulaires entre eux , et se coupant à l'origine des coordonnées $ de sorte que la base a se
') L'équation (R) se trouve également, consignée dans le mémoire de Lagrange. C'est l'équation f"a -f- j/'3 -4- Ç"a = a ' (art. T, p. 151). En effet les dénominations reçues par Lagrange nous donnent cl" = aa' — ô"3; et
a = .r3 -t- y2 -4- *3 (= a'3 -f- J'3 -+- c'3 = [11]) ; a' = a;'3 -*- y'2 + ^3 ( = a"3 -*- t"3 -4- c"3 = [22] ) j i"3= xx' -+- yy' -f- zz' ( = a'tt"+i'J"+cV'= [12] ).
rapporte à Taxe X , la base b à l'axe Y , et la base c à l'axe Z. Les lettres x , y, % désigneront les coordonnées d'un point arbitraire , soit d'une ligne droite , soit d'un plan.
2. Problème I. — Etant données les coordonnées a\ b\ cf; a", b", c" de deux points , trouver les équations de la droite qui les joint.
Soient y = A 4- B# ; z = C 4- D# les équations demandées ; on aura évidemment
5' = A + Ba'; c' = C 4- Da' ; &"= A 4- Ba"; c"= C -h Da";
d'où nous tirons d'abord
et puis , en substituant ces valeurs
Les équations de la droite cherchée seront donc
(ab, 12) y — V («c, 12) c' — c"
3. Problème II. — Étant données les coordonnées a', à', c'; a", 6", c"; a"', b"\ c'" de trois points, trouver l'équation du plan qui passe par ces trois points.
Soit l'équation demandée 0 = 1 •+- kx 4- By 4- C*; nous aurons
0 = 1 4- Aa' 4- b\&' h- Co' ;
0= 1 4- Aa"-4-Bfc"-*-Cc"; 0= 1 -h Aa'"-*- B&'" 4- Ce"';
équations qui nous fourniront d'après les articles 6 et 7 du para-
250 COBB18PONDAKCE
graphe précédent
(I6c, 123) (lac, 123) (\ab,m)
(abc, 123) ' ™ "*" (aie, 123) ' ' (abc, 123) '
l'équation demandée sera donc
o = (abc, 123) — (\bc, 123) * -+- (lac, 123) y — (la*, 123) z.
4. Problème III. — a Étant données les équations de deux droites
y = A' + B'^ y = A" -f- B"* ; * = C -+- D'#; * == C" -*- Wx;
trouver l'équation qui lie entre elles les huit quantités A', B',.... C" D", si les deux droites données se coupent*
Si Ç , u , K désignent les coordonnées du point d'intersection , on aura
d'où Ton conclut aisément
Corollaire. — Si chacune des deux lignes est donnée par deux de ses points , le problème revient à celui-ci : étant données les coordonnées a', b', & ; a", b" ', c"; a"', b'" , c"'; a™, &«▼, c" de quatre points , trouver la condition qui existe , si ces quatre points se trouvent dans un même plan. Soit donc o= 1 -f- kx •+- By H- Cz l'équation de ce plan , on aura
o = 1 ■+- Aa' -f- Bj&' h- C& ; o s 1 -+• Aa" -+- Bo" -t- Ce" ; o = l -^ Aa'" 4- W" + Ce'"; o = l-+- Aaiv H- Bj&™ -f- Cc>v ;
en multipliant la première de ces équations par •+■ (abc , 234) ;
MATHÉMATIQUE ET FBTSIQUE. 281
la seconde par — (abc, 134); la troisième par -4- (abc, 134) ; la quatrième par — (abc, 123), et en faisant la somme, il viendra
0 = (abcf&h) — (a£c,134) -4- (afcc,12*) — (aic,123) = (la&c,1234);
ce qui est la condition cherchée,
8. Problème IV. — Étant données les coordonnées a, b, c d'un point, et l'équation 0 = 1 ■+- kx -+- By -4- Cs d'un plan, trouver les équations de la ligne qui , -passant par le point donné, est perpendiculaire sur le plan.
Soient y = a -+- fix ; % = y ■+• S x les équations demandées. La perpendiculaire fera avec les trois axes X , Y, Z des angles dont les cosinus seront respectivement
1 fi *
i/\\+p+t*y y[\+p+ry i/^+^+^i
Or, si l'on mène par le point dans lequel la perpendiculaire rencontre le plan donné , deux plans dont le premier soit parallèle aux axes X et Y , le second parallèle aux axes X et Z , les intersections de ces plans avec le plan donné feront avec les trois axes X, Y, Z des angles dont le6 cosinus seront respectivement :
|/[À' -*- B9] ' t/[Aa-t-Ba]' C A
l/[Aa-f-Ca]' ' i/[Aa-hCa]'
nous aurons donc, puisque la perpendiculaire fait des angles droits avec ces deux intersections ,
0 = B— kfi ; 0 = C— A^: ou fi = 7- ; f == 7- •
Enfin , puisque la perpendiculaire passe par le point donné, nous aurons aussi
&=a-f-/3fl; c = y -f- <f a ;
d'où nous tirons
Les équations cherchées seront donc
Corollaire I. — Il nous sera maintenant très-facile de trouver les coordonnées du point dans lequel la perpendiculaire coupe le plan donné. En effet, si nous nommons m, n} p ces coordonnées , nous trouverons
o = 1 -f- km ■+■ B» ■+- Çp
/* B BN/'CCx
= 1 -+- Àm -4- B ( j& an m )-4-C( c — — an — wt ) ;
V À A y VA A y
d'où nous tirons
