On a

(ab9 12) (ac, 34) — {ab, 34) (ac, 12) = ^a^234)+«>iM34)=W'>6c,124)-- a"(aftc, 123)... (F)

Car si nous développons (a£, 12) et (ac, 12), nous trouverons (ab , 12) (ac, 34) — (afc , 34) (ac, 12) =

a'j&"(ac,34) — a"à'(ac,34) = a' [^(ac,34)— c"(ai,34)] — a'c"(ab,3A) + a"ç'(ab,U) — a" [4' (ac,34) — c' (a£>,34)] = a' [ (afcCj 234) -«- a" (&c, 34)] — a" [— (a&c, 134)-4-a' (àc,34)] = a'(a&c,234) -h a" (abc, 134).

La seconde valeur s'obtiendrait , si l'on développait (ac, 34) et (ab , 34) au lieu de (ab , 12) et (ac, 12) ; mais on peut aussi l'établir en considérant que

(aabc, 1234) = o =

af {abc, 234) — a"(a;&c,134) ^ *"'(<ràMM) — a"(afio,133j;

et que par conséquent

— a'(aZw>,234) h- a"(a&c,134) = a"' (afcc, 124 J — a^Ca&c, 123).

Si l'on fait bien attention à la forme de l'équation (F) , il ne sera pas difficile d'en faire l'application à des formes semblables. Soit par exemple la fonction

(afc,13) (6c,24) — (aj&,24) (fo,13) ;

244 COHRBBPOHDAIICE

si nous la transformons en

— (ba, 13) (bcflA) + (to,24) bc,\3) ,

nous aurons à remplacer dans l'équation (F)

a par b, 1 par 1 ,

b par a , 2 par 3 ,

c par c , 3 par 2 ,

4 par 4,

de plus , nous devrons changer le signe , ce qui nous donnera (ab , 13) (bc, 24) — (ab , 24) (bc , 13) =

4- b'(bac, 324) — J»'"(j&ac, 124) = -4- b\abc^lU) -*- £"'(ai&c, 124).

Si nous substituons 1 au lieu de 4 dans l'équation (F) , nous trouverons d'abord

(a/&,12)(ac,31)—(ai&,31)(ac,12) = — a' (abc$3\) + a" (abc, 131); mais , puisque

(abc,131) = o, (oc,31) = — (flc,13), etc. il viendra

(ab, 12) (ac,13) — (a&,13) (™,12) = «' (afcc, 123). (*

') Cette équation n'est antre chose que l'équation X = A s du mémoire de La grange (art. 3, p. 151). Pour s'en convaincre on n'a qu'à remplacer, conformément à la première note, (a6,12) par Ç'% (oc,13) par y', (a&,13) par K\ (ac,12) par j/% et de faire avec Lagrange, J/'S" — y%' =X.

L'équation

(aô,lS) (ac,13) — (a&,13) (ac,12) = a' (aftc,123) . . . . ( I )

nous fait encore parvenir très-facilement à l'équation établie par Lagrange (art. 5, p. 153). Car nous en tirons d'abord, en faisant les substitutions convenables

(oô,13) (fl0>23) — (a&,23)(ac,12)=a" (a&c,123). . . . (H) (a&,l3)(ac,23) — (aô,23) (ac,13) = a'"(aôc,123). . . . (III)

et puis, en multipliant l'équation (I) par -\-{bc, 23); l'équation (II) par

JUTHftMATIQTJE ET PHYSIQUE. 245

IL On a

(Ia&,123) (Iac,124) — (IaU24) (Iac,123) = — (a'— a") (laie, 1234) ... (G)

Car si nous isolons en (lac, 124) la base c , et en (laby 124) la base b , nous obtiendrons

(Ia6,123) (Iac,124) — (Ia&,124) (Iac,l23) = c'(Ia,24) (Ïa5,123) — c"(Ia,U)(Ia)&,123) -4-civ(ï0,12)(Iai&,123) — i'(Ia,24) (Icc,123)h- ^'(IOjl^CIa^nS) +ib'v(Ia,l2)(Iac,123)

= (Ia,12) [— frv (kc,123) h- c" (IaA,123)]

— (Ia,14) [— h" (Iac,128) h- c" (Ïa6,123)] h- (Ia,24) [— h' (ïac,123) -*- c' (Iafc,123)] = (la, 12) [— h" (lac, 123 ) -+- c" (1*5,123)]

— (Ia,14) [(abc, 123) — a"(U>c,123)]

-4- (Ia,24) [(aZrc,123) — a' (lfcc,123)]. (Éq. D.)

— (bc, 13); l'équation (III) par -+- (bc , 12), et en réunissant ces équations ainsi multipliées , il Tiendra

(a&,12) (oc,13) (6c,23) — (aô,13) (ac,12) (£c,23) -*- (ab,\2) (ac,23) (ic,13)

— (a&,23) (ac,12) (Ac,13) -f- (a6,13) (ac,23) (ic,!2) — (a&,23) (ac,l2) (te,12)

= (a&c,123) [a' (ic,23) — a" (4c, 13) -+- a"' (6c,12)] = (a&c,l23)2 ;

ou bien, en se servant des mêmes signes que Lagrawge, et en rangeant les termes d'après son procédé,

m" + *«" + «v - «v - *rr - k>,t = a».

Remarquons encore que , si nous faisons

(a*,12) = C", (oc,») = B'", (*,«) = A-, (a&,13) = C" , (ac,18) = B" , (ôc,13) = A" , (aô,23) = C , (ac,23) == B' , (ôc,23) = A' ;

l'équation ci-dessus peut aussi s'écrire sous la forme

(ABC, 123) == (aie, 123)2;

ce qui n'est qu'un cas particulier d'une propriété beaucoup plus générale que je me réserve d'exposer à une autre occasion.

Tom. X. 17

246 C0HRÏ8P0NDAHCE

Mais en considérant que

(Ha,124) = o; (Iaa,124) = o, ou bien , en isolant respectivement les bases identiques , que

o = (Ia>24 ) — (la, 14) -»- (Ia,l2) ,

o = a'(Ia,24) — a" (la, 14) •+■ a^(Ia,I2),

on transformera la dernière expression aisément en

(Ia,12)[— (ai&c,123)-f-a>v(iic,123)— ^v(Iac,123)-f-c'v(Iai&,123)] = — (Ia,12) (Ia&c,4123) = -*- (la, 12) (Iaàc,1234);

ce qui nous donne enfin , puisque (la , 12) = — (a' — a") ,

— (a' — a") (Iaic,1234).

On voit facilement qu'on trouvera d'une manière semblable

(Iafc,123)(Ii&c,124)^(Ia5,124)(Ii&c,123)= — (&'—i")(Ia&c,1234) ; (Iac,123)(Ii&c,124)-(Iac,124)(Ii&c,12S) = — (cf— c")(Iafcc,1234).

La première de ces équations, par exemple, étant égale à — (Iba , 123) {Ibc , 124) -»- (Iba , 124) (Ibc , 123) , on n'aura qu'à remplacer dans l'équation (G) b par a et vice versa, et à changer le signe , d'où il résultera

+ (V—b") (Iafcc,1234) = — (£'— b") (Iafcc,1234).