ka h- Bb -h

Ce

A2.+-Ba-+-C2

1 4- \a h- Bb h-

Ce

■ATHÉMATIQEE ET PHYSIQUE. 3$3

En gardant les signes du problème précédent , il est visible que dans ce cas les coordonnées a, b,c sont chacune = o ; on aura donc , à cause du second corollaire ,

A2+B3-t-Caîn A'-4-B'-4-Ca5/> À'H-B3-f.Ca

en faisant la somme des carrés de ces expressions, il viendra

m*+n*+p*= } ou À'-i-B'.4-C' =

Aa-*-Ba-»-Ca m*+n*+p>

d'où Ton tire

w2-t-»a-4-jp3 w3-+-n2-t-pa ma-f-n2-f-pa

l'équation du plan cherchée est donc

o = wa -+- n2 -+- joa — mx — ny — pz.

§ III. Propriétés du tétraèdre, analogues à celles du triangle plan.

1. La partie suivante de cet essai peut être envisagée sous un double point de vue. Si j'y avais principalement l'intention de montrer, par quelques exemples , de quelle manière on pouvait utiliser pour la géométrie, les recherches du premier paragraphe, je ne pouvais me refuser, d'un autre côté , de joindre des démonstrations purement géométriques aux résultats que m'avait fournis l'analyse , et qui , par leur simplicité , paraissaient mériter d'appartenir à la géométrie élémentaire. J'ai même en plusieurs questions entièrement supprimé la partie analytique qui m'aurait entraîné en des calculs trop étendus, quoique de beaucoup d'importance pour des recherches d'une autre nature. Toutefois, j'ose espérer que les développemens analytiques qu'on rencontrera dans ce paragraphe, suffiront pour jeter un jour favorable sur la méthode de calcul que j'ai employée , et pour faire apprécier l'avantage qui en pourrait résulter en des cas plus compliqués.

234 CORHBSPOHDAIfCR

2. Soient I , II , III , IV les quatre sommets d'an tétraèdre ; et soient

a'f •",•'", a" f b', h", fc'", b",

les coordonnées respectives ; l'origine des coordonnées étant dans un point quelconque de l'espace. Le second problème nous fournira d'abord les équations suivantes des quatre plans I II III , I II IV, I III IV, II III

o — (obc,m) — (Ifcc,123>r -+- (Iac,12% - (Iafc,123)s > o = (afcc,124) — (I6c,124>^-(Iac,12%— (Iai&^a^; o = (afo,134) — (I&c,134> -+- (Iac,134)y — (Ia5,134)j5; o « (aic,234) — (I&c,234> -+- (Iac,234)y — (I<u&,234)*.

Nommons p',p"ip'"9 jpIV les perpendiculaires abaissées des quatre sommets sur les faces opposées (de sorte que p' parte du sommet I, />" du sommet II, etc.). Les valeurs de ces. lignes nous sont données par le second corollaire du problème IV. En effet , nous trouverons, par exemple, celle de //, en y remplaçant

a par a' , b par b' , c par c' (I5c,234) „ (Iac,284) „ (I«fc,234)

ce qui nous donne