Ao -4- Bi -t- Ce

(abc#3i) — (Ifcc,234) a' -»- (Iac,234) &' — (la&,234) c' (a*c,234)

(Mo,»34) ... , Q . '.

" (abc,*») ? ($!,-••. 1-C.) et

(Iafc,1234)

t/[(Iaô,234)' -*- (Iac,234)2 -+- (I5c,234)']

MATHÉMATIQUE ET PIYSIQUE. 955

Nommons encore *-', *■", *■"', *■»▼ les perpendiculaires abaissées de l'origine des coordonnées sur les quatre faces II III IV, I III IV , I II IV , I II III. En observant que les quantités « , £, c du problème IV, deviennent dans ce cas cbacune = o , on établira facilement

l/KIrf,»*)1 -f- (Iac,234)a -f. (I5c,234)*] ' d'où nous tirons

p' ~ ^ (IaZ>c,1234)"

Il importe de faire ici une remarque concernant le signe de cette expression. Ou les perpendiculaires p' et J seront situées du même côté du plan II III IV , ou bien elles se trouveront des deux côtés opposés. (Le second de ces cas ne saurait avoir lieu à moins que le point O, origine des coordonnées ne se trouve bors du tétraèdre). Si nous faisons passer une ligne droite par les points I et 0, et que nous nommions P' la partie de cette droite comprise entre le point I et le plan II III IV, n'ia partie comprise entre le point 0 et le plan II III IV , nous aurons évidemment

Mais les lignes 01 et n' seront dirigées , à partir du point 0 , en sens contraire ou dans le même sens , selon que p' et **' se trouvent du même côté ou des deux côtés opposés du plan II III IV ; c'est-à-dire , que dans le premier cas les lignes 01 et n' seront de signe contraire, tandis que dans le second elles auront le même signe. On voit donc sans peine que l'expression analytique • de P' est dans l'un et dans l'autre cas ,01 — n7 ; d'où l'on conclut que le signe de

F (ou Ae p)

est ( — ) ou (-+-Ï ,

selon que *-' et p' se trouvent du même côté ou des deux côtés opposés du plan II III IV.

Ainsi donc , en admettant toutes les perpendiculaires abaissées des sommets sur les faces opposées comme positives, les perpendiculaires abaissées de l'origine des coordonnées sur les mêmes faces seront négatives ou positives, selon qu'elles se trouvent ou ne se trouvent pas du même côté des faces respectives que les perpendiculaires abaissées des sommets.

3. Il nous sera maintenant très-facile d'établir les expressions de